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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Mo 16.02.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe Probleme bei der Berechung von x im Jacobi-Verfahren.
Also ich kann ja einmal mit der Matrixdarstellung arbeiten: [mm] x^{k+1}=D^{-1}Bx^k+D^{-1}b
[/mm]
Oder mit der ausformulieren Variante: [mm] x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{i\not=j}^{}a_{ij}x_j^k)
[/mm]
Ich hab mit dazu mal ein Beipsiel gemacht, aber da glaube ich, dass ich mit der Matrixdarstellung immer auf das falsche Ergebnis komme, weil ich immer eine komplette Nullmatrix erhalte ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Hier mal mein Beispiel:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4} [/mm] und [mm] b=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
So, D ist ja definiert als Diagonalelemente von A, also [mm] D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4}.
[/mm]
B ist definiert als [mm]\ D-A [/mm], also [mm] B=\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}
[/mm]
So, dann noch ein beliebiger Startvektor [mm] x^0, [/mm] nehm ich mal [mm] x^0=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich nun mein [mm] x^1 [/mm] mit der Matrixform berechne, dann erhalte ich:
[mm] x^1=D^{-1}Bx^0+D^{-1}b=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}=\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}
[/mm]
Wenn ich das ganze jetzt mit dieser Summenformel berechne, erhalte ich schon für die erste x-Komponente einen ganz anderen Wert, nämlich [mm]\ -4 [/mm].
Und das mit dieser Nullmatrix kann doch auch irgendwie nicht stimmen, oder?
Muss ich vielleicht erst die Matrix B mit [mm] x^0 [/mm] multiplizieren, bevor ich [mm] D^{-1} [/mm] dranmultipliziere?
Oder mach ich einen anderen Fehler?
LG, Nadine
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Hallo Pacapear,
> Hallo zusammen!
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> Ich habe Probleme bei der Berechung von x im
> Jacobi-Verfahren.
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> Also ich kann ja einmal mit der Matrixdarstellung arbeiten:
> [mm]x^{k+1}=D^{-1}Bx^k+D^{-1}b[/mm]
>
> Oder mit der ausformulieren Variante:
> [mm]x_i^{k+1}=\bruch{1}{a_{ii}}*(b_i-\summe_{i\not=j}^{}a_{ij}x_j^k)[/mm]
>
> Ich hab mit dazu mal ein Beipsiel gemacht, aber da glaube
> ich, dass ich mit der Matrixdarstellung immer auf das
> falsche Ergebnis komme, weil ich immer eine komplette
> Nullmatrix erhalte
>
>
>
> Hier mal mein Beispiel:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> So, D ist ja definiert als Diagonalelemente von A, also
> [mm]D=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4}.[/mm]
>
> B ist definiert als [mm]\ D-A [/mm], also [mm]B=\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}[/mm]
>
> So, dann noch ein beliebiger Startvektor [mm]x^0,[/mm] nehm ich mal
> [mm]x^0=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Wenn ich nun mein [mm]x^1[/mm] mit der Matrixform berechne, dann
> erhalte ich:
>
> [mm]x^1=D^{-1}Bx^0+D^{-1}b=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\pmat{ 0 & -2 & -3 \\ -1 & 0 & -2 \\ -2 & -1 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{1}{4}}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}=\vektor{1 \\ 1 \\ \bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Wenn ich das ganze jetzt mit dieser Summenformel berechne,
> erhalte ich schon für die erste x-Komponente einen ganz
> anderen Wert, nämlich [mm]\ -4 [/mm].
>
> Und das mit dieser Nullmatrix kann doch auch irgendwie
> nicht stimmen, oder?
Ja, da hast Du recht.
>
> Muss ich vielleicht erst die Matrix B mit [mm]x^0[/mm]
> multiplizieren, bevor ich [mm]D^{-1}[/mm] dranmultipliziere?
Nein, die Matrizenmultiplikation ist doch assoziativ, das heißt
[mm]D^{-1}*\left( \ B x^{k} \ \right) = \left(\ D^{-1}B \ \right) x^{k}[/mm]
>
> Oder mach ich einen anderen Fehler?
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Ausser dem, daß [mm]D^{-1}B[/mm] falsch berechnet wurde, nicht.
>
>
> LG, Nadine
Gruß
MathePower
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Du hast geschrieben [mm] $D^{-1}$. [/mm] Das ist die Inverse Matrix zu $D$. Die hast du aber nicht berechnet. Wenn du das machst, dann kommst du auch auf das richtige Ergebnis.
lg Sunny
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