Jacobi Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die folgenden Funktionen
$$f(x) = [mm] \vektor{x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}, \hspace{2em} g(y)=\vektor{y_1^3-3y_1y_2^2\\3y_1^2y_2-y_2^3}$$
[/mm]
Berechnen Sie $f'(x), g'(x) und [mm] (g\circ [/mm] f)'(x)$ für alle $x,y [mm] \in \mathbb{R}^2$ [/mm] |
Hallo,
also ich studiere Mathe im 2. Semester und bin zurzeit echt überfordert mit den ganzen Definitionen usw.
Ich muss ein Übungsblatt machen und des bis zum kommenden Montag abgeben. Die Aufgabe lautet wie folgend:
Gegeben seien die folgenden Funktionen
$$f(x) = [mm] \vektor{x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}, \hspace{2em} g(y)=\vektor{y_1^3-3y_1y_2^2\\3y_1^2y_2-y_2^3}$$
[/mm]
Berechnen Sie $f'(x), g'(x) und [mm] (g\circ [/mm] f)'(x)$ für alle $x,y [mm] \in \mathbb{R}^2$
[/mm]
Also ich weiß nicht wie genau ich mit der Funktion rechnen kann und muss. Ich kann mit der Funktion die irgendwie als Vektor geschrieben ist nichts anfangen....
Kann mir vlt. erst einmal jemand erklären was es sich hier mit der Funktion aufsich hat, damit ich damit rechnen kann.
Danke :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben seien die folgenden Funktionen
> [mm]f(x) = \vektor{x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}, \hspace{2em} g(y)=\vektor{y_1^3-3y_1y_2^2\\3y_1^2y_2-y_2^3}[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]f'(x), g'(x) und (g\circ f)'(x)[/mm] für alle [mm]x,y \in \mathbb{R}^2[/mm]
>
> Hallo,
> also ich studiere Mathe im 2. Semester und bin zurzeit
> echt überfordert mit den ganzen Definitionen usw.
> Ich muss ein Übungsblatt machen und des bis zum kommenden
> Montag abgeben. Die Aufgabe lautet wie folgend:
>
> Gegeben seien die folgenden Funktionen
> [mm]f(x) = \vektor{x_1^2-x_2^2\\2x_1x_2}, \hspace{2em} g(y)=\vektor{y_1^3-3y_1y_2^2\\3y_1^2y_2-y_2^3}[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]f'(x), g'(x) und (g\circ f)'(x)[/mm] für alle [mm]x,y \in \mathbb{R}^2[/mm]
>
> Also ich weiß nicht wie genau ich mit der Funktion rechnen
> kann und muss. Ich kann mit der Funktion die irgendwie als
> Vektor geschrieben ist nichts anfangen....
> Kann mir vlt. erst einmal jemand erklären was es sich
> hier mit der Funktion aufsich hat, damit ich damit rechnen
> kann.
> Danke :)
wird's Dir klarer, wenn ich Dir sage, dass oben für $x,y [mm] \in \IR^2$ [/mm] einfach
[mm] $$x=\vektor{x_1\\x_2}$$
[/mm]
und
[mm] $$y=\vektor{y_1\\y_2}$$
[/mm]
mit [mm] $x_1,x_2,y_1,y_2 \in \IR$ [/mm] geschrieben wird?
Mit der Konvention [mm] $f(x_1,x_2):=f((x_1,x_2)):=f(\vektor{x_1\\x_2})$ [/mm] kann man also
schreiben:
[mm] $$f(x)=f(x_1,x_2)=\vektor{{x_1}^2-{x_2}^2\\2x_1x_2}$$
[/mm]
Beispielsweise wäre [mm] $f(3,7)=\vektor{3^2-7^2\\2*3*7}=\vektor{-\;40\\42}\,.$
[/mm]
(Wenn Du die Konvention nicht benutzt: Mit [mm] $x=\vektor{3\\7}$ [/mm] ist
[mm] $f(x)=f(\vektor{3\\7})=\vektor{3^2-7^2\\2*3*7}=\vektor{-\;40\\42}\,.$)
[/mm]
P.S. Ergänzend: Es sind $f,g [mm] \colon \IR^2 \to \IR^2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke schon mal für den Tipp ;)
Also wenn ich das dann richtig verstanden hab und $f'(x)$ berechnen will, dann muss ich einfach nur wenn wir sagen
[mm] $$x=\vektor{x_1\\x_2}$$
[/mm]
nach [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] Ableiten?
Wenn ich das machen will muss ich ja beide Richtungsableitungen machen oder? D.h. ich muss insgesamt vier mal ableiten.
[mm] $$f'(x)=\vektor{2x_1,-2x_2\\2x_2,2x_1}$$
[/mm]
Ich glaub jetzt zwar nicht dass des so stimmt aber ich hoffs ;)
Weil wenn ich ein Vektor ableiten will wie z.B:
[mm] $$v=\vektor{x^2\\2y}$$
[/mm]
ist die Ableitung ja auch
[mm] $$v'=\vektor{2x\\y}$$
[/mm]
oder?
Grüße HappyHaribo
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Hallo Haribo,
> Danke schon mal für den Tipp ;)
> Also wenn ich das dann richtig verstanden hab und [mm]f'(x)[/mm]
> berechnen will, dann muss ich einfach nur wenn wir sagen
> [mm]x=\vektor{x_1\\x_2}[/mm]
> nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] Ableiten?
> Wenn ich das machen will muss ich ja beide
> Richtungsableitungen machen oder? D.h. ich muss insgesamt
> vier mal ableiten.
> [mm]f'(x)=\vektor{2x_1,-2x_2\\2x_2,2x_1}[/mm]
Passt!
Wobei natürlich das Komma sicherlich signalisieren soll, dass da eigentlich ein neuer Eintrag beginnt. Du erhältst ja schließlich eine 2x2-Matrix.
Also das ganze noch einmal mit g(y) durchführen.
> Ich glaub jetzt zwar nicht dass des so stimmt aber ich
> hoffs ;)
> Weil wenn ich ein Vektor ableiten will wie z.B:
> [mm]v=\vektor{x^2\\2y}[/mm]
> ist die Ableitung ja auch
> [mm]v'=\vektor{2x\\y}[/mm]
Darüber sollten wir noch einmal sprechen ;)
Vektoren an sich kann man nicht ableiten. Deine "Vektorfunktion" allerdings schon.
Nur sollte auch klar sein, nach welcher Variablen man ableitet.
Du definierst offensichtlich [mm] v(x,y):=\vektor{x^2\\2y}
[/mm]
Was soll dann aber v'(x,y) bedeuten? Die Ableitung nach x oder nach y? Oder etwa doch die Jacobi-Matrix? In diesem Fall wäre v'(x,y) ja sowieso falsch.
Möglicherweise hast du dich auch nur verschrieben...
Daher befürworte ich auch die obige Bezeichnung mit f'(x) nicht wirklich. Aber da scheiden sich sicherlich auch wieder die Meinungen. Richtig ist es - ich persönlich finde es nur nicht passend.
> oder?
>
> Grüße HappyHaribo
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:31 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Haribo,
>
> > Danke schon mal für den Tipp ;)
> > Also wenn ich das dann richtig verstanden hab und [mm]f'(x)[/mm]
> > berechnen will, dann muss ich einfach nur wenn wir sagen
> > [mm]x=\vektor{x_1\\x_2}[/mm]
> > nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] Ableiten?
> > Wenn ich das machen will muss ich ja beide
> > Richtungsableitungen machen oder? D.h. ich muss insgesamt
> > vier mal ableiten.
> > [mm]f'(x)=\vektor{2x_1,-2x_2\\2x_2,2x_1}[/mm]
> Passt!
> Wobei natürlich das Komma sicherlich signalisieren soll,
> dass da eigentlich ein neuer Eintrag beginnt. Du erhältst
> ja schließlich eine 2x2-Matrix.
>
> Also das ganze noch einmal mit g(y) durchführen.
> > Ich glaub jetzt zwar nicht dass des so stimmt aber ich
> > hoffs ;)
> > Weil wenn ich ein Vektor ableiten will wie z.B:
> > [mm]v=\vektor{x^2\\2y}[/mm]
> > ist die Ableitung ja auch
> > [mm]v'=\vektor{2x\\y}[/mm]
> Darüber sollten wir noch einmal sprechen ;)
> Vektoren an sich kann man nicht ableiten. Deine
> "Vektorfunktion" allerdings schon.
> Nur sollte auch klar sein, nach welcher Variablen man
> ableitet.
> Du definierst offensichtlich [mm]v(x,y):=\vektor{x^2\\2y}[/mm]
> Was soll dann aber v'(x,y) bedeuten? Die Ableitung nach x
> oder nach y? Oder etwa doch die Jacobi-Matrix? In diesem
> Fall wäre v'(x,y) ja sowieso falsch.
> Möglicherweise hast du dich auch nur verschrieben...
>
> Daher befürworte ich auch die obige Bezeichnung mit f'(x)
> nicht wirklich. Aber da scheiden sich sicherlich auch
> wieder die Meinungen. Richtig ist es - ich persönlich
> finde es nur nicht passend.
es ist üblich - ich bevorzuge aber auch die Notation
[mm] $$J_f(x_1,x_2)$$
[/mm]
anstatt
[mm] $$f'(x_1,x_2)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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OK sehr gut schon mal erklärt danke :)
Also jetzt hab ich:
[mm] $$f'(x)=\pmat{2x_1, & -2x_2\\2x_2, & 2x_1}$$
[/mm]
und
[mm] $$g'(y)=\pmat{3y_1^2-3y_2^2, & 6y_1y_2\\6y_1^2y_2, & 3y_1^2-3y_2^2}$$
[/mm]
Des passt ja hoffentlich soweit.
Dann noch zur Jacobi Matrix. Was genau bringt mir die Matrix? Und wann berechne ich sie?
Wenn ich zum Beispiel die funktion
[mm] $$f(x,y)=(2x^2-y,&2y^2+2x)$$
[/mm]
hab, rechne ich dann, wenn ich die Ableitung will auch die Jacobi Matrix?
Ich kann ja auch hier schreiben:
[mm] $$f(x,y):=f(\vektor{x\\y})$$
[/mm]
Was dann ja bei meinem Beispiel
[mm] $$f(\vektor{x\\y})=\vektor{2x^2-y\\2y^2+2}$$
[/mm]
ist. Oder? :)
Gut und dann zu der verketteten funktion [mm] $(g\circ [/mm] f)$, des heißt ja soviel wie g nach f. Wo setz ich jetzt was ein?
Bei [mm] $f(x)=3x^2-2$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^2$ [/mm] ist [mm] $(g\circ f)=(3x^2-2)^2$
[/mm]
und die Ableitung wäre ja
$$g'(f(x))*f'(x)$$.
Danke :)
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Hallöchen noch einmal,
> OK sehr gut schon mal erklärt danke :)
> Also jetzt hab ich:
> [mm]f'(x)=\pmat{2x_1, & -2x_2\\2x_2, & 2x_1}[/mm]
> und
> [mm]g'(y)=\pmat{3y_1^2-3y_2^2, & 6y_1y_2\\6y_1^2y_2, & 3y_1^2-3y_2^2}[/mm]
Hier ist noch ein kleiner Fehler drin. Sicherlich nur wegen der Unübersichtlichkeit beim Schreiben passiert. Ansonsten machst du das alles sehr gut! Top!
>
> Des passt ja hoffentlich soweit.
> Dann noch zur Jacobi Matrix. Was genau bringt mir die
> Matrix? Und wann berechne ich sie?
Ja, die Frage ist immer gut. Erst einmal wahr wohl das Ziel erst einmal, etwas, was es im eindimensionalen gibt, auch auf den mehrdimensionalen Fall zu erweitern.
Sehr interessant wird die Matrix aber für die Transformationsformel von mehrdimensionalen Integralen. Sagt dir der Begriff der Funktionaldeterminante etwas? Dort findest du die Determinante der Jacobi-Matrix wieder.
Beispiel:
Wir betrachten Kugelkoordinaten, also
[mm] x=r\sin\theta\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r\sin\theta\sin\phi
[/mm]
[mm] z=r\cos\theta
[/mm]
Wir haben also neue Variablen r, [mm] \theta [/mm] und [mm] \phi.
[/mm]
Versuche einfach mal die Jacobi-Matrix der Funktion [mm] $(x,y,z)=f(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta)$ [/mm] zu bestimmen.
Danach berechne die Determinante (Es gilt [mm] \sin^2(x)+\cos^2(x)=1, [/mm] damit kann man sehr viel vereinfachen und es bleibt ein schöner Ausdruck übrig)
Die Aufgabe ist noch einmal eine gute kleine Übung, um das System der Jacobimatrix zu verinnerlichen. Also nur zu, versuche dich daran.
> Wenn ich zum Beispiel die funktion
> [mm]f(x,y)=(2x^2-y,&2y^2+2x)[/mm]
> hab, rechne ich dann, wenn ich die Ableitung will auch die
> Jacobi Matrix?
> Ich kann ja auch hier schreiben:
> [mm]f(x,y):=f(\vektor{x\\y})[/mm]
> Was dann ja bei meinem Beispiel
> [mm]f(\vektor{x\\y})=\vektor{2x^2-y\\2y^2+2}[/mm]
> ist. Oder? :)
>
> Gut und dann zu der verketteten funktion [mm](g\circ f)[/mm], des
> heißt ja soviel wie g nach f. Wo setz ich jetzt was ein?
> Bei [mm]f(x)=3x^2-2[/mm] und [mm]g(x)=x^2[/mm] ist [mm](g\circ f)=(3x^2-2)^2[/mm]
>
> und die Ableitung wäre ja
> [mm]g'(f(x))*f'(x)[/mm].
>
> Danke :)
>
>
>
>
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Schönen Tag :)
> Hallöchen noch einmal,
>
> > OK sehr gut schon mal erklärt danke :)
> > Also jetzt hab ich:
> > [mm]f'(x)=\pmat{2x_1, & -2x_2\\2x_2, & 2x_1}[/mm]
> > und
> > [mm]g'(y)=\pmat{3y_1^2-3y_2^2, & 6y_1y_2\\6y_1^2y_2, & 3y_1^2-3y_2^2}[/mm]
>
> Hier ist noch ein kleiner Fehler drin. Sicherlich nur wegen
> der Unübersichtlichkeit beim Schreiben passiert. Ansonsten
> machst du das alles sehr gut! Top!
Welcher kleiner Fehler ist mir denn unter schlichen? Konnte keinen finden..
> >
> > Des passt ja hoffentlich soweit.
> > Dann noch zur Jacobi Matrix. Was genau bringt mir die
> > Matrix? Und wann berechne ich sie?
> Ja, die Frage ist immer gut. Erst einmal wahr wohl das
> Ziel erst einmal, etwas, was es im eindimensionalen gibt,
> auch auf den mehrdimensionalen Fall zu erweitern.
>
> Sehr interessant wird die Matrix aber für die
> Transformationsformel von mehrdimensionalen Integralen.
> Sagt dir der Begriff der Funktionaldeterminante etwas? Dort
> findest du die Determinante der Jacobi-Matrix wieder.
>
> Beispiel:
> Wir betrachten Kugelkoordinaten, also
> [mm]x=r\sin\theta\cos\phi[/mm]
> [mm]y=r\sin\theta\sin\phi[/mm]
> [mm]z=r\cos\theta[/mm]
>
> Wir haben also neue Variablen r, [mm]\theta[/mm] und [mm]\phi.[/mm]
> Versuche einfach mal die Jacobi-Matrix der Funktion
> [mm](x,y,z)=f(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta)[/mm]
> zu bestimmen.
> Danach berechne die Determinante (Es gilt
> [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,[/mm] damit kann man sehr viel
> vereinfachen und es bleibt ein schöner Ausdruck übrig)
Ok ich habe mich mal an der Aufgabe versucht und hoffe dass sie richtig ist.
[mm] $$J_f(r,\theta,\phi)=\pmat{\sin(\theta \cos(\phi) & -r\cos(\theta)\cos(\phi) & -r\sin(\theta)\sin(phi)\\\sin(\theta)\sin(\phi) & -r\cos(\theta)\sin(\phy) & r\sin(\theata)\cos(\phi)\\\cos(\theata) & -r\sin(\theta)&0}$$
[/mm]
Also ich hoff ich habe mich da nciht verrechnet oder verschrieben.
Dann zur Determinante (ich hab schreib hier jetzt nicht mein Rechenweg, da würde ich Morgen noch dran sitzen... :) )
Kann sein dass ich mich verrechnet hab war etwas unübersichtlich und hatte zwischendurch ein paar Vorzeichenfehler.
[mm] $$det[J_f(r,\theta,\phi)]=r^2\sin(\theta)(-\cos^2(\theta)+sin^2(\theta))
[/mm]
Ich hab hier die Regel von Sarrus verwendet.
https://vorhilfe.de/wissen/Regel_von_Sarrus
>
> Die Aufgabe ist noch einmal eine gute kleine Übung, um das
> System der Jacobimatrix zu verinnerlichen. Also nur zu,
> versuche dich daran.
> > Wenn ich zum Beispiel die funktion
> > [mm]f(x,y)=(2x^2-y,&2y^2+2x)[/mm]
> > hab, rechne ich dann, wenn ich die Ableitung will auch
> die
> > Jacobi Matrix?
> > Ich kann ja auch hier schreiben:
> > [mm]f(x,y):=f(\vektor{x\\y})[/mm]
> > Was dann ja bei meinem Beispiel
> > [mm]f(\vektor{x\\y})=\vektor{2x^2-y\\2y^2+2}[/mm]
> > ist. Oder? :)
> >
> > Gut und dann zu der verketteten funktion [mm](g\circ f)[/mm], des
> > heißt ja soviel wie g nach f. Wo setz ich jetzt was ein?
> > Bei [mm]f(x)=3x^2-2[/mm] und [mm]g(x)=x^2[/mm] ist [mm](g\circ f)=(3x^2-2)^2[/mm]
>
> >
> > und die Ableitung wäre ja
> > [mm]g'(f(x))*f'(x)[/mm].
> >
> > Danke :)
> >
> >
> >
> >
> >
>
Ok dann zu der verketteten Funktion [mm] $(g\circ [/mm] f)$:
[mm] $$(g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))}$$
[/mm]
So weit zur Theorie. Nun zur praxis:
[mm] $$g(f(x))=\pmat{(x_1^2-x_2^2)^3-3(x_1^2-x_2^2)(2x_1x_2)\\3(x_1^2-x_2^2)^2(2x_1x_2)-(2x_1x_2)^3)}$$
[/mm]
Die Ableitung hab ich auch gemacht aber nachdem ich sie hier eingetippt habe und dann auf ne falsch Taste gekommen bin und die Ableitung wieder weg war, wars mir dann zu blöd nochmal 15 min des hier einzutippen ;)
Also ich hoff des was ich hier gemacht hab ist einigermaßen richtig.
Bitte auch formale Fehler sagen, da ich mit der mathematischen Schreibweise noch etwas überfordert bin.
Vielen vielen Danke ohne euch hätte ich das nie geschafft!!!
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Hallo Haribo,
> > Beispiel:
> > Wir betrachten Kugelkoordinaten, also
> > [mm]x=r\sin\theta\cos\phi[/mm]
> > [mm]y=r\sin\theta\sin\phi[/mm]
> > [mm]z=r\cos\theta[/mm]
> >
> > Wir haben also neue Variablen r, [mm]\theta[/mm] und [mm]\phi.[/mm]
> > Versuche einfach mal die Jacobi-Matrix der Funktion
> > [mm](x,y,z)=f(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta)[/mm]
> > zu bestimmen.
> > Danach berechne die Determinante (Es gilt
> > [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,[/mm] damit kann man sehr viel
> > vereinfachen und es bleibt ein schöner Ausdruck übrig)
> Ok ich habe mich mal an der Aufgabe versucht und hoffe
> dass sie richtig ist.
> [mm]J_f(r,\theta,\phi)=\pmat{\sin(\theta \cos(\phi) & -r\cos(\theta)\cos(\phi) & -r\sin(\theta)\sin(phi)\\\sin(\theta)\sin(\phi) & -r\cos(\theta)\sin(\phy) & r\sin(\theata)\cos(\phi)\\\cos(\theata) & -r\sin(\theta)&0}[/mm]
Du hast hier nur ein Vorzeichenfehler, in den Einträgen [mm] a_{12} [/mm] und [mm] a_{22}. [/mm] Deswegen stimmt deine Determinante auch nicht. Als Funktionaldeterminante sollte am Ende [mm] r^2\sin\theta [/mm] herauskommen.
Aber der Weg war richtig. Verrechnen kann man sich immer, als kleine Übung war das dennoch nützlich/praktisch.
Angenommen du möchtest nun das Volumen einer Kugel berechnen, dann kannst du in dem Integral die Variablen x,y und z durch die obigen Kugelkoordinaten ersetzen. Man muss aber daran denken, dass man den Integranden noch zusätzlich mti der Funktionaldeterminante multipliziert.
Das ganze ist hier sehr lasch von mir in Worten formuliert. Das Theorem der TRansformation ist recht komplex, allerdings auch in jedem Analysis-Buch zu finden.
>
> Also ich hoff ich habe mich da nciht verrechnet oder
> verschrieben.
> Dann zur Determinante (ich hab schreib hier jetzt nicht
> mein Rechenweg, da würde ich Morgen noch dran sitzen... :)
> )
> Kann sein dass ich mich verrechnet hab war etwas
> unübersichtlich und hatte zwischendurch ein paar
> Vorzeichenfehler.
> [mm][/mm][mm] det[J_f(r,\theta,\phi)]=r^2\sin(\theta)(-\cos^2(\theta)+sin^2(\theta))[/mm]
>
> Ich hab hier die Regel von Sarrus verwendet.
> https://vorhilfe.de/wissen/Regel_von_Sarrus
>
> Ok dann zu der verketteten Funktion [mm](g\circ f)[/mm]:
> [mm](g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))}[/mm]
Warum denn hier das Komma? Du hast keine 2x2-Matrix, sondern erneut eine 2x1-Matrix (also sozusagen eine Vektorfunktion)
>
> So weit zur Theorie. Nun zur praxis:
>
> [mm]g(f(x))=\pmat{(x_1^2-x_2^2)^3-3(x_1^2-x_2^2)(2x_1x_2)\\3(x_1^2-x_2^2)^2(2x_1x_2)-(2x_1x_2)^3)}[/mm]
Ja, naja stures Einsetzen.
Du kannst auch allgemein die Kettenregel für das Differenzieren im mehrdimensionalen benutzen. Je nachdem, was du lieber magst.
> Die Ableitung hab ich auch gemacht aber nachdem ich sie
> hier eingetippt habe und dann auf ne falsch Taste gekommen
> bin und die Ableitung wieder weg war, wars mir dann zu
> blöd nochmal 15 min des hier einzutippen ;)
Ärgerlich! sehr ärgerlich! Aber es scheint als kannst du schon gut differenzieren. Von daher bin ich guter Hoffnung.
> Also ich hoff des was ich hier gemacht hab ist
> einigermaßen richtig.
> Bitte auch formale Fehler sagen, da ich mit der
> mathematischen Schreibweise noch etwas überfordert bin.
>
> Vielen vielen Danke ohne euch hätte ich das nie
> geschafft!!!
Falls du noch Interesse an der allgemeinen Kettenregel hast, dann gib Bescheid.
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> Hallo Haribo,
>
>
> > > Beispiel:
> > > Wir betrachten Kugelkoordinaten, also
> > > [mm]x=r\sin\theta\cos\phi[/mm]
> > > [mm]y=r\sin\theta\sin\phi[/mm]
> > > [mm]z=r\cos\theta[/mm]
> > >
> > > Wir haben also neue Variablen r, [mm]\theta[/mm] und [mm]\phi.[/mm]
> > > Versuche einfach mal die Jacobi-Matrix der Funktion
> > > [mm](x,y,z)=f(r,\theta,\phi)=(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta)[/mm]
> > > zu bestimmen.
> > > Danach berechne die Determinante (Es gilt
> > > [mm]\sin^2(x)+\cos^2(x)=1,[/mm] damit kann man sehr viel
> > > vereinfachen und es bleibt ein schöner Ausdruck übrig)
> > Ok ich habe mich mal an der Aufgabe versucht und hoffe
> > dass sie richtig ist.
> > [mm]J_f(r,\theta,\phi)=\pmat{\sin(\theta \cos(\phi) & -r\cos(\theta)\cos(\phi) & -r\sin(\theta)\sin(phi)\\\sin(\theta)\sin(\phi) & -r\cos(\theta)\sin(\phy) & r\sin(\theata)\cos(\phi)\\\cos(\theata) & -r\sin(\theta)&0}[/mm]
>
> Du hast hier nur ein Vorzeichenfehler, in den Einträgen
> [mm]a_{12}[/mm] und [mm]a_{22}.[/mm] Deswegen stimmt deine Determinante auch
> nicht. Als Funktionaldeterminante sollte am Ende
> [mm]r^2\sin\theta[/mm] herauskommen.
>
> Aber der Weg war richtig. Verrechnen kann man sich immer,
> als kleine Übung war das dennoch nützlich/praktisch.
> Angenommen du möchtest nun das Volumen einer Kugel
> berechnen, dann kannst du in dem Integral die Variablen x,y
> und z durch die obigen Kugelkoordinaten ersetzen. Man muss
> aber daran denken, dass man den Integranden noch
> zusätzlich mti der Funktionaldeterminante multipliziert.
> Das ganze ist hier sehr lasch von mir in Worten
> formuliert. Das Theorem der TRansformation ist recht
> komplex, allerdings auch in jedem Analysis-Buch zu finden.
> >
> > Also ich hoff ich habe mich da nciht verrechnet oder
> > verschrieben.
> > Dann zur Determinante (ich hab schreib hier jetzt nicht
> > mein Rechenweg, da würde ich Morgen noch dran sitzen... :)
> > )
> > Kann sein dass ich mich verrechnet hab war etwas
> > unübersichtlich und hatte zwischendurch ein paar
> > Vorzeichenfehler.
> >[mm][/mm][mm] det[J_f(r,\theta,\phi)]=r^2\sin(\theta)(-\cos^2(\theta)+sin^2(\theta))[/mm]
>
> >
> > Ich hab hier die Regel von Sarrus verwendet.
> > https://vorhilfe.de/wissen/Regel_von_Sarrus
> >
> > Ok dann zu der verketteten Funktion [mm](g\circ f)[/mm]:
> >
> [mm](g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),\hspace{1em}f_2(x_1,x_2))}[/mm]
>
> Warum denn hier das Komma? Du hast keine 2x2-Matrix,
> sondern erneut eine 2x1-Matrix (also sozusagen eine
> Vektorfunktion)
Ja aber ich kann doch die Vektorfunktion so schreiben:
[mm] $g(f(x))=\pmat{g_1(y_1,y_2)\\g_2(y_1,y_2)}$$
[/mm]
und wenn ich für y jeweils [mm] f_1 [/mm] bzw [mm] f_2 [/mm] einsetz dann hab ich ja immer noch das Komma zwischen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] welches ich dann inzwischen ersetzt habe.
[mm] $$(g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))}
[/mm]
Wollte den Abstand nach dem Komma nur machen damit es übersichtlicher ist.
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> > So weit zur Theorie. Nun zur praxis:
> >
> >
> [mm]g(f(x))=\pmat{(x_1^2-x_2^2)^3-3(x_1^2-x_2^2)(2x_1x_2)\\3(x_1^2-x_2^2)^2(2x_1x_2)-(2x_1x_2)^3)}[/mm]
> Ja, naja stures Einsetzen.
>
> Du kannst auch allgemein die Kettenregel für das
> Differenzieren im mehrdimensionalen benutzen. Je nachdem,
> was du lieber magst.
> > Die Ableitung hab ich auch gemacht aber nachdem ich sie
> > hier eingetippt habe und dann auf ne falsch Taste gekommen
> > bin und die Ableitung wieder weg war, wars mir dann zu
> > blöd nochmal 15 min des hier einzutippen ;)
> Ärgerlich! sehr ärgerlich! Aber es scheint als kannst du
> schon gut differenzieren. Von daher bin ich guter
> Hoffnung.
> > Also ich hoff des was ich hier gemacht hab ist
> > einigermaßen richtig.
> > Bitte auch formale Fehler sagen, da ich mit der
> > mathematischen Schreibweise noch etwas überfordert bin.
> >
> > Vielen vielen Danke ohne euch hätte ich das nie
> > geschafft!!!
>
> Falls du noch Interesse an der allgemeinen Kettenregel
> hast, dann gib Bescheid.
Ja ich hätte da Interesse weil ich weiß nicht genau was du mit der allgemeinen Kettenregel meinst. Ich kenn die Kettenregel nur vom Ableiten im [mm] $\mathbb{R}$.
[/mm]
>
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Hi,
> > Warum denn hier das Komma? Du hast keine 2x2-Matrix,
> > sondern erneut eine 2x1-Matrix (also sozusagen eine
> > Vektorfunktion)
> Ja aber ich kann doch die Vektorfunktion so schreiben:
> [mm]$g(f(x))=\pmat{g_1(y_1,y_2)\\g_2(y_1,y_2)}$$[/mm]
> und wenn ich für y jeweils [mm]f_1[/mm] bzw [mm]f_2[/mm] einsetz dann hab
> ich ja immer noch das Komma zwischen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2,[/mm] welches
> ich dann inzwischen ersetzt habe.
> [mm][/mm][mm] (g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))}[/mm]
>
> Wollte den Abstand nach dem Komma nur machen damit es
> übersichtlicher ist.
Ohja, sorry, ich habe mich diesbzgl mit der Klammerung vertan.
> > >
> > > So weit zur Theorie. Nun zur praxis:
> > >
> > >
> >
> [mm]g(f(x))=\pmat{(x_1^2-x_2^2)^3-3(x_1^2-x_2^2)(2x_1x_2)\\3(x_1^2-x_2^2)^2(2x_1x_2)-(2x_1x_2)^3)}[/mm]
> > Ja, naja stures Einsetzen.
> >
> > Falls du noch Interesse an der allgemeinen Kettenregel
> > hast, dann gib Bescheid.
> Ja ich hätte da Interesse weil ich weiß nicht genau was
> du mit der allgemeinen Kettenregel meinst. Ich kenn die
> Kettenregel nur vom Ableiten im [mm]\mathbb{R}[/mm].
Ja, und im mehrdimensionalen ist es kaum anders. Die Voraussetzung hast du also alle.
Sei [mm] f:\IR^n\to\IR^k [/mm] und [mm] g:\IR^k\to\IR^m [/mm] diffbar. Sei weiter [mm] h=g\circ f:\IR^n\to\IR^m.
[/mm]
Dann ist h diffbar. Für die Ableitung in [mm] x_0\in\IR^n [/mm] gilt dann:
[mm] \frac{\partial h_i}{\partial x_j}(x_0)=\sum_{l=1}^{k}\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(f(x_0))*\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(x_0)
[/mm]
oder schlicht und ergreifend allgemeiner und mit Einsteinscher Summenkovention (ich finde, dass das leichter zu merken ist)
[mm] \frac{\partial h_i}{\partial x_j}=\frac{\partial g_i}{\partial y_k}\frac{\partial f^k}{\partial x_j}
[/mm]
Wir münzen dies also nun auf deine Funktion um:
Wir wollen die erste Ableitung nach [mm] x_1 [/mm] der Komponenten von h=g(f(x)) berechnen, also [mm] h_1
[/mm]
Wir verwenden im Folgenden die Notation: [mm] \frac{\partial}{\partial x_j}\equiv\partial_{x_j}
[/mm]
[mm] \partial_{x_1}h_1=\partial_{y_1}g_1*\partial_{x_1}f_1+\partial_{y_2}g_1*\partial_{x_1}f_2
[/mm]
[mm] =(3y_1^2-3y_2^2)*2x_1+(-6y_1y_2)*2x_2
[/mm]
Jetzt kann man die Komponenten [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] hier einsetzen.
Analog mit den anderen Komponenten.
Welche Methode besser ist, ist fraglich. Eins ist sicher: Auf dem Blatt Papier ist es einfacher zu lösen, als hier auf dem Rechner mit Latex. Ich hoffe ich habe mich hier rechnerisch nicht vertan!
Ist dir das Prinzip jedoch klar? Andernfalls würde ich dir einfach das Beispiel im Wikipedia-Artikel zur verallgemeinerten Kettenregel ans herz legen.
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> Hi,
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>
> > > Warum denn hier das Komma? Du hast keine 2x2-Matrix,
> > > sondern erneut eine 2x1-Matrix (also sozusagen eine
> > > Vektorfunktion)
> > Ja aber ich kann doch die Vektorfunktion so schreiben:
> > [mm]$g(f(x))=\pmat{g_1(y_1,y_2)\\g_2(y_1,y_2)}$$[/mm]
> > und wenn ich für y jeweils [mm]f_1[/mm] bzw [mm]f_2[/mm] einsetz dann
> hab
> > ich ja immer noch das Komma zwischen [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2,[/mm] welches
> > ich dann inzwischen ersetzt habe.
> >[mm][/mm][mm] (g\circ f)=g(f(x))=\pmat{g_1(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))\\g_2(f_1(x_1,x_2),f_2(x_1,x_2))}[/mm]
>
> >
> > Wollte den Abstand nach dem Komma nur machen damit es
> > übersichtlicher ist.
>
> Ohja, sorry, ich habe mich diesbzgl mit der Klammerung
> vertan.
> > > >
> > > > So weit zur Theorie. Nun zur praxis:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]g(f(x))=\pmat{(x_1^2-x_2^2)^3-3(x_1^2-x_2^2)(2x_1x_2)\\3(x_1^2-x_2^2)^2(2x_1x_2)-(2x_1x_2)^3)}[/mm]
> > > Ja, naja stures Einsetzen.
> > >
> > > Falls du noch Interesse an der allgemeinen Kettenregel
> > > hast, dann gib Bescheid.
> > Ja ich hätte da Interesse weil ich weiß nicht genau
> was
> > du mit der allgemeinen Kettenregel meinst. Ich kenn die
> > Kettenregel nur vom Ableiten im [mm]\mathbb{R}[/mm].
>
> Ja, und im mehrdimensionalen ist es kaum anders. Die
> Voraussetzung hast du also alle.
>
> Sei [mm]f:\IR^n\to\IR^k[/mm] und [mm]g:\IR^k\to\IR^m[/mm] diffbar. Sei weiter
> [mm]h=g\circ f:\IR^n\to\IR^m.[/mm]
> Dann ist h diffbar. Für die
> Ableitung in [mm]x_0\in\IR^n[/mm] gilt dann:
>
> [mm]\frac{\partial h_i}{\partial x_j}(x_0)=\sum_{l=1}^{k}\frac{\partial g_i}{\partial y_k}(f(x_0))*\frac{\partial f_k}{\partial x_j}(x_0)[/mm]
>
> oder schlicht und ergreifend allgemeiner und mit
> Einsteinscher Summenkovention (ich finde, dass das leichter
> zu merken ist)
> [mm]\frac{\partial h_i}{\partial x_j}=\frac{\partial g_i}{\partial y_k}\frac{\partial f^k}{\partial x_j}[/mm]
>
> Wir münzen dies also nun auf deine Funktion um:
> Wir wollen die erste Ableitung nach [mm]x_1[/mm] der Komponenten
> von h=g(f(x)) berechnen, also [mm]h_1[/mm]
> Wir verwenden im Folgenden die Notation:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x_j}\equiv\partial_{x_j}[/mm]
>
> [mm]\partial_{x_1}h_1=\partial_{y_1}g_1*\partial_{x_1}f_1+\partial_{y_2}g_1*\partial_{x_1}f_2[/mm]
> [mm]=(3y_1^2-3y_2^2)*2x_1+(-6y_1y_2)*2x_2[/mm]
>
> Jetzt kann man die Komponenten [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] hier einsetzen.
Was ist jetzt [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$? [/mm] bzw. was setz ich da ein?
Und wenn ich dann [mm] $h_2$ [/mm] haben will schaut dass dann so aus?
[mm] $\partial x_1h_2=\partial y_1g_2*\partial x_1f_2+\partial y_2g_2*\partial x_1f_2$
[/mm]
Und [mm] $\partialx_2$ [/mm] muss ich einfach nur alle [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] durch [mm] x_2 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] erstezen?
>
> Analog mit den anderen Komponenten.
>
> Welche Methode besser ist, ist fraglich. Eins ist sicher:
> Auf dem Blatt Papier ist es einfacher zu lösen, als hier
> auf dem Rechner mit Latex. Ich hoffe ich habe mich hier
> rechnerisch nicht vertan!
>
> Ist dir das Prinzip jedoch klar? Andernfalls würde ich dir
> einfach das Beispiel im Wikipedia-Artikel zur
> verallgemeinerten Kettenregel ans herz legen.
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> Was ist jetzt [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm]? bzw. was setz ich da ein?
> Und wenn ich dann [mm]h_2[/mm] haben will schaut dass dann so aus?
> [mm]\partial x_1h_2=\partial y_1g_2*\partial x_1f_2+\partial y_2g_2*\partial x_1f_2[/mm]
>
> Und [mm]\partialx_2[/mm] muss ich einfach nur alle [mm]x_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] durch
> [mm]x_2[/mm] und [mm]y_2[/mm] erstezen?
Ich glaube du solltest noch einmal genau dir überlegen, was bei einer Komposition von Funktionen geschieht.
Im eindimensionalen Fall:
Bsp.: [mm] g(y)=\sqrt{1-y} [/mm] und [mm] y=f(x)=x^2 [/mm] seien Funktionen in [mm] \IR.
[/mm]
Wir bilden nun [mm] h(x):=(g\circ{f})(x)=g(f(x))=\sqrt{1-x^2}
[/mm]
Du kannst auch hier mal h'(x) bilden. Das geht genauso. Im mehrdimensionalen Fall berechnet man nur eben erst einmal die erste Komponente von h, also z.B. [mm] h_1.
[/mm]
Damit ist also dein [mm] y_1=f_1(x_1,x_2)
[/mm]
Beachte: Wenn du die Ableitung, also die Jacobi-Matrix bildest, dann erhältst du wieder eine 2x2-Matrix!!! Und zwar in der Form:
[mm] J(x_1,x_2)=\pmat{ \partial_{x_1}h_1 & \partial_{x_2}h_1 \\ \partial_{x_1}h_2 & \partial_{x_2}h_2 }
[/mm]
Am besten du präsentierst, wenn du willst, ganz allgemein noch mal hier die Komponten. Im Prinzip musst du immer nur gewisse Indizes ersetzen. (Am besten mit Copy-and-Paste - ab und zu fehlen bei dir ein paar Bezeichnungen, das ist dann recht unleserlich)
Hast du das Prinzip so allgemein verstanden?
Du kannst auch das obige eindimensionale Beispiel mal ableiten. Du wirst sehen, dass dir die Vorgehensweise bekannt vorkommt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Do 06.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Die Ableitung hab ich auch gemacht aber nachdem ich sie
> hier eingetippt habe und dann auf ne falsch Taste gekommen
> bin und die Ableitung wieder weg war, wars mir dann zu
> blöd nochmal 15 min des hier einzutippen ;)
Tipp: benutze die Vorschaufunktion (drücke also, während Du etwas abtippsz,
ab und an den Button "Vorschau").
Vorteil: Der Text wird quasi "zwischengespeichert". Du könntest danach
quasi den PC runterfahren, dann nochmal zum Thread gehen, wieder
auf Antwort oder Mitteilung klicken, und die letzte Texteingabe, die bei
der Vorschau übermittelt wurde, wird automatisch wieder hergestellt.
Probier's mal mit einem einfachen Satz: Öffne mal ne Mitteilung, schreibe:
"Hallo, da bin ich!", dann klicke auf Vorschau!
Sende es NICHT ab. Schließe die Mitteilung und öffne eine neue, dann
siehst Du, was ich meine.
Alternativ: Kopiere immer den abgetippten Text in eine Zwischenablage
(öffne also einen Texteditor und kopiere ab und an den Text da rein)! Diese
Methode habe ich früher immer gemacht, also die Vorschaufunktion noch
nicht soweit ausgereift war!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann noch zur Jacobi Matrix. Was genau bringt mir die
> Matrix? Und wann berechne ich sie?
?? Du hast doch eben eine berechnet.
Ansonsten:
![[]](/images/popup.gif) http://www.math.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Kapitel 19 ff.
Insbesondere Definition 19.6, Definition 19.8, Satz 19.10 usw.
Schau' Dir bzgl. Deiner Aufgabe auch mal die Kettenregel, Satz 19.15, 2., an!
Du brauchst die Jacobi-Matrix halt, wenn Du im Höherdimensionalen
differenzieren willst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Mi 05.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke schon mal für den Tipp ;)
> Also wenn ich das dann richtig verstanden hab und [mm]f'(x)[/mm]
> berechnen will, dann muss ich einfach nur wenn wir sagen
> [mm]x=\vektor{x_1\\x_2}[/mm]
> nach [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] Ableiten?
> Wenn ich das machen will muss ich ja beide
> Richtungsableitungen machen oder? D.h. ich muss insgesamt
> vier mal ableiten.
> [mm]f'(x)=\vektor{2x_1,-2x_2\\2x_2,2x_1}[/mm]
schreibe das so:
[mm] $$\pmat{2x_1, & -2x_2\\2x_2, & 2x_1}$$
[/mm]
(Code: $\pmat{2x_1, & -2x_2\\2x_2, & 2x_1}$.)
Gruß,
Marcel
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