Jacobi und Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mo 29.09.2008 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Sei $f: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^3$ [/mm] gegeben durch $f(x,y)= [mm] \vektor{x+y \\ x-y \\ xy }$
[/mm]
Begründe, warum f differenzierbar ist und bestimme die Jacobi matrix. |
hallo!
ich würde gern wissen, ob die folgenden schritte alle richtig sind.
also hier mal meine rechnung:
1) Da [mm] $f_1 [/mm] (x,y) = x+y$; [mm] $f_2 [/mm] (x,y) = x-y$ und [mm] $f_3 [/mm] (x,y) = xy$ offensichtlich differenzierbar sind, ist es auch $f$.
2) [mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ y}$ [/mm] und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ x}$
[/mm]
Damit ist die Jacobi-Matrix
[mm] $J_f(x,y)= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ y & x }$
[/mm]
Das müsste es doch sein oder?
Und jetzt noch ne Verständnis-Frage zum Gradienten: Ist es richtig, dass der Gradient nur für Abbildungen $g: D [mm] \rightarrow$ [/mm] [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $(J_f(a))^T \in \IR^n$ [/mm] definiert ist?
Vielen Dank!
Julian
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> Sei [mm]f: \IR^2 \rightarrow \IR^3[/mm] gegeben durch [mm]f(x,y)= \vektor{x+y \\ x-y \\ xy }[/mm]
>
> Begründe, warum f differenzierbar ist und bestimme die
> Jacobi matrix.
> hallo!
> ich würde gern wissen, ob die folgenden schritte alle
> richtig sind.
> also hier mal meine rechnung:
> 1) Da [mm]f_1 (x,y) = x+y[/mm]; [mm]f_2 (x,y) = x-y[/mm] und [mm]f_3 (x,y) = xy[/mm]
> offensichtlich differenzierbar sind, ist es auch [mm]f[/mm].
Hallo,
diesr Schluß stimmt nicht.
Die offensichtliche Diffbarkeit der Komponenten liefert Dir die partielle Differenzierbarkeit.
Die partiellen Ableitungen müssen aber eine bestimmte Eigenschaft haben, wenn daraus die totale Diffbarkeit folgen soll.
> 2) [mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \vektor{1 \\ 1 \\ y}[/mm]
> und
> [mm]\frac{\partial f}{\partial y} = \vektor{1 \\ -1 \\ x}[/mm]
>
> Damit ist die Jacobi-Matrix
> [mm]J_f(x,y)= \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ y & x }[/mm]
Richtig.
>
> Das müsste es doch sein oder?
> Und jetzt noch ne Verständnis-Frage zum Gradienten: Ist es
> richtig, dass der Gradient nur für Abbildungen [mm]g: D \rightarrow[/mm]
> [mm]\IR[/mm] als [mm](J_f(a))^T \in \IR^n[/mm] definiert ist?
Vom Gradienten redet man bei Abbildungen in den Raum [mm] \IR.
[/mm]
Ob der ein Zeilenvektor oder Spaltenvektor ist, wird meines Wissens nicht ganz einheitlich gehandhabt.
Aber daß der Gradient die tranponierte Jacobmatrix ist, ist sehr verbreitet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mo 29.09.2008 | | Autor: | JulianTa |
Hm... meinst du ich muss zeigen, dass die [mm] $f_1 [/mm] ... [mm] f_3$ [/mm] stetig sind?
Ich wollte folgenden Satz benutzen:
Sei $f: D [mm] \rightarrow \IR^m$. [/mm] $f= [mm] (f_1, [/mm] ..., [mm] f_m)$ [/mm] ist differenzierbar in a genau dann, wenn$ [mm] f_1, [/mm] ... , [mm] f_m$ [/mm] differenzierbar in a sind.
Hab ich den Satz falsch angewandt?
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Hallo,
in diesem Satz ist aber doch sicher [mm] $D\subseteq\mathds{R}$, [/mm] oder? Bei Kurven gilt das nämlich, bei einem Vektorfeld wie dem, das du hier hast, reicht Differenzierbarkeit der Komponentenfunktionen nicht aus, wie Angela schon sagte.
Da brauchst du noch einen Zusatz, ihr habt bestimmt schon die Inklusionen gemacht: totale Diffbarkeit => partielle Diffbarkeit, totale Diffbarkeit => Stetigkeit.
Es gibt auch eine, da folgt die totale Diffbarkeit aus einer Eigenschaft der Funktion 
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