Jacobideterminante bei Substitutionsformel < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Nadine83 |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt  .
In der Maßtheorie gibt es ja die schöne Formel [mm] \mu (T(x)) = |\det T | \mu\ [/mm] (bzw. [mm] d\mu (T(x)) = |\det T |d \mu\ [/mm] - kann man das so schreiben?)
Eine ähnliche Formel ist mir nun bei der Transformation von einem Koordinatensystem ins andere begegnet. Wenn [mm] T [/mm] beispielsweise die Abbildung von den kartesischen Koordinaten in sphärische Koordinaten (oder umgekehrt) ist, dann lautet die Substitutionsregel (bspw.) [mm] dxdy = |det DT| dr d\phi[/mm]
Die beiden Formeln müssen ja wohl etwas miteinander zu tun haben und sehen auch fast gleich aus.
Aber wieso hab ich bei der 'konkreten' Anwendung diese Ableitung D, die Jacobideterminante drinnen, wo kommt die her?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:35 Fr 27.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nadine!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In der Maßtheorie gibt es ja die schöne Formel [mm][mm]\mu[/mm] (T(x)) = [mm]|\det[/mm] T
>| [mm]\mu\ [/mm][/mm] (bzw. [mm][mm]d\mu[/mm] (T(x)) = [mm]|\det[/mm] T |d [mm]\mu\ [/mm][/mm]
> - kann man das so schreiben?)[/mm][/mm]
Nein. Es gilt im Allgemeinen nur, wenn $f'$ eine messbare, bezüglich [mm] $T(\mu)$ [/mm] integrierbare Funktion ist:
[mm] $\int f'\, dT(\mu) [/mm] = [mm] \int [/mm] f' [mm] \circ [/mm] T [mm] d\mu$.
[/mm]
Ist jetzt speziell [mm] $\mu$ [/mm] das Lebesgue-Maß und $T$ ein [mm] $C_1$-Diffeomeorphismus, [/mm] so gilt:
[mm] $\int [/mm] f' [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] (f' [mm] \circ [/mm] T) [mm] \cdot \vert \det [/mm] DT [mm] \vert\, d\mu$.
[/mm]
Dies liegt einfach an dem Transformationsverhalten des Lebesgue-Maßes unter [mm] $C_1$-Diffeomorphismen:
[/mm]
[mm] $T(\mu) [/mm] = [mm] \frac{1}{\vert \det DT\vert} \mu$. [/mm] (Das ist sehr aufwändig zu beweisen, steht aber in nahezu allen Analysis-II-Lehrbüchern.)
Ist $T$ speziell linear, so folgt:
[mm] $\int [/mm] f' [mm] d\mu [/mm] = [mm] \int [/mm] ( f' [mm] \circ [/mm] T) [mm] \cdot \vert \det [/mm] T [mm] \vert\, d\mu$.
[/mm]
(Ich nehme mal an, das meintest du oben.)
Klar, denn das Differential einer linearen Abbildung ist die lineare Abbildung selbst (denk beim Differential eines Diffeomorphismus naiv immer an die bestapproximierende lineare Abbildung).
Lieben Grüße
Stefan
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