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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Mo 13.03.2006
Autor: Tini21

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

In der Vorlesung steht:

f(a+h)=f(a)+Jf(a) h+o(h)

Jf(a) ist die Jacobimatrix von f an der Stelle da.

Dann kommt: f(a+h)=f(a)+df(a)h+o(h)

df(a) heißt totales Differential oder Frechet Differential von f in a.

Demnach wäre ja die Jacobimatrix und das totale Differential das gleiche!? Das ist aber doch nicht so, oder?

        
Bezug
Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:53 Mo 13.03.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> In der Vorlesung steht:
>  
> f(a+h)=f(a)+Jf(a) h+o(h)
>
> Jf(a) ist die Jacobimatrix von f an der Stelle da.
>  
> Dann kommt: f(a+h)=f(a)+df(a)h+o(h)
>  
> df(a) heißt totales Differential oder Frechet Differential
> von f in a.
>  
> Demnach wäre ja die Jacobimatrix und das totale
> Differential das gleiche!? Das ist aber doch nicht so,
> oder?

Also, soweit ich weiß, ist das totale Differential die Summe der partiellen Ableitung. Nun dürfte das wohl eine Funktion der "Form" [mm] f:\IR^n\to\IR^n [/mm] sein, die Frage ist, ob df(a)h nicht genauso aussieht, wie Jf(a)h. Hab's jetzt nicht ausprobiert, aber irgendwie muss das ja schon dasselbe sein hier... [kopfkratz]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
        
Bezug
Jacobimatrix: Landau Symbol
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mo 13.03.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Tini21,

> In der Vorlesung steht:
>  
> f(a+h)=f(a)+Jf(a) h+o(h)
>
> Jf(a) ist die Jacobimatrix von f an der Stelle da.
>  
> Dann kommt: f(a+h)=f(a)+df(a)h+o(h)
>  
> df(a) heißt totales Differential oder Frechet Differential
> von f in a.
>  
> Demnach wäre ja die Jacobimatrix und das totale
> Differential das gleiche!? Das ist aber doch nicht so,
> oder?

Diese Schlußfolgerung  stimmt so nicht da o(h) [mm] \not= [/mm] o(h) sein muß . Was o(h) bedeutet kannst Du herausfinden indem Du z.B. nach "Landau Symbole" googelst.
viele Grüße
mathemaduenn

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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Mo 13.03.2006
Autor: Tini21

ach so, du meinst, das eine ist sozusagen [mm] o(h)_1 [/mm] und das andere [mm] o(h)_2 [/mm] ?
das totale differential ist ja die summe von den partiellen ableitungen, aber die jacobimatrix ist doch ne matrix und keine summe? ich verstehe da den zusammenhang nicht......

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Jacobimatrix: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 01:40 Di 14.03.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> ach so, du meinst, das eine ist sozusagen [mm]o(h)_1[/mm] und das
> andere [mm]o(h)_2[/mm] ?

Nein, so ist das glaube ich nicht gemeint. Aber es gilt z. B. [mm] x^2=o(x^2) [/mm] aber auch [mm] x^2+5x+20=o(x^2), [/mm] aber [mm] x^2\not=x^2+5x+20. [/mm]

>  das totale differential ist ja die summe von den
> partiellen ableitungen, aber die jacobimatrix ist doch ne
> matrix und keine summe? ich verstehe da den zusammenhang
> nicht......

Hast du denn wirklich mal nach Landau-Symbol gesucht? Guck doch mal []hier. Funktioniert das so nicht?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mi 15.03.2006
Autor: kretschmer

Hallo Bastiane!

Ich hätte nicht gedacht, dass Dir ein solcher Fehler passiert: [mm]o(f)\ne O(f)[/mm]; [mm]x^2\in O(x^2)[/mm], aber [mm]x^2\not\in o(x^2)[/mm]. Nimm es mir nicht übel, dass ich Deine Mitteilung als fehlerhaft markiere, ich will dieses Feature nur mal ausprobieren, wenn ich schonmal einen gefunden habe.

Übrigends in dem Link, den Du gegeben hast, steht auch warum: [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2}=1\ne 0[/mm] :-)

--
Gruß
Matthias

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Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Di 14.03.2006
Autor: andreas

hallo

> > In der Vorlesung steht:
>  >  
> > f(a+h)=f(a)+Jf(a) h+o(h)
> >
> > Jf(a) ist die Jacobimatrix von f an der Stelle da.
>  >  
> > Dann kommt: f(a+h)=f(a)+df(a)h+o(h)
>  >  
> > df(a) heißt totales Differential oder Frechet Differential
> > von f in a.
>  >  
> > Demnach wäre ja die Jacobimatrix und das totale
> > Differential das gleiche!? Das ist aber doch nicht so,
> > oder?
> Diese Schlußfolgerung  stimmt so nicht da o(h) [mm]\not=[/mm] o(h)
> sein muß . Was o(h) bedeutet kannst Du herausfinden indem
> Du z.B. nach "Landau Symbole" googelst.

meines wissens nach ist es so, dass bei einere frèchet-differenzierbaren funktion die frèchet-ableitung eindeutig bestimmt ist. da aber die bedingung, die an die jacobi-matrix und die frèchet-ableitung gestellt werden, die selben sind, müssen diese auch übereinstimmen.

kann es sein, dass es sich im zweiten all um eine allgemeinere situation handelt - zum besipiel um funktionen zwischen beliebigen normierten räumen? in diesem fall würde mam dann eben nicht mehr von jacobi-matrix reden (da die ableitung dann nicht mehr als matrix dargestellt werden kann, sondern ein linearer operator ist).


grüße
andreas

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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:47 Di 14.03.2006
Autor: Tini21

df(a) geht von  [mm] \IR [/mm] ^{n} in  [mm] \IR [/mm] ^{m}

Aber das ist doch bei der Jacobimatrix auch so, oder?
außerdem soll df(a) eine lineare abbildung sein.....
hilft dir das was?

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Jacobimatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Di 14.03.2006
Autor: SEcki


> df(a) geht von  [mm]\IR[/mm] ^{n} in  [mm]\IR[/mm] ^{m}

Ja.

> Aber das ist doch bei der Jacobimatrix auch so, oder?

Ja, nach kanonischer Identifikation der Matrizen mit den linearen Abbildungen.

>  außerdem soll df(a) eine lineare abbildung sein.....
>  hilft dir das was?

Also: im wesentlichen sind das totale Differential und die Jacobi-Matrix das gleiche. Genauer: existiert das Differential, so ist es genau die Jacobi-Matrix. Einen kleinen Trick gibt es blos: es kann sein, das alle partiellen Ableitungen im Punkt a existieren, also die Jacobi-Matrix existiert, die Funktion aber in diesem Punkt kein totales Differential hat, dh die Jacobi-Matrix hat nicht die Eigenschaft, dass sie erster Ordnung verschwindet (das ist mit [m]o(h)[/m] (auch) gemeint). Aber diese eher künstlichen Beispiele kann man in der "Praxis" unter den Teppich kerhen ;-)

SEcki

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Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:01 Mi 15.03.2006
Autor: andreas

hi

wie schon geschrieben wurde, kann man im allgemeinen die jacobi-matrix als spezialfall der frèchet-ableitung im fall von abbildungen zwischen endlich-dimensionalen räumen auffassen. frèchet-ableitungen kann man auch noch für allgemeinere fälle definieren. siehe zum beispiel  []hier (insbesondere beispiel 5.3) oder []hier (auch hier der von dir betrachtete spezialfall unter "finite dimensions")

grüße
andreas

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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Mi 15.03.2006
Autor: Tini21

Ok, das hat mir schon mal weitergeholfen, danke!
Aber ich verstehe noch nicht ganz, wie es sein kann, dass die Jacobimatrix im endlich-dimensionalen der Frechet Ableitung entspricht. Bei er Frechet Ableitung addiert man doch die partiellen Albeitungen....... Kann vielleicht jemand mal ein ganz einfaches Beipspiel im endliche-dimensionalen angeben und dazu die jacobi-matrix und frechet ableitung?


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Jacobimatrix: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 09:33 Mi 15.03.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Tini21,
Frechet-Ableitung [mm] \not= [/mm] Totales Differential
Beim Totalen Differential addiert man die Ableitungen.

> Ok, das hat mir schon mal weitergeholfen, danke!
>  Aber ich verstehe noch nicht ganz, wie es sein kann, dass
> die Jacobimatrix im endlich-dimensionalen der Frechet
> Ableitung entspricht. Bei er Frechet Ableitung addiert man
> doch die partiellen Albeitungen....... Kann vielleicht
> jemand mal ein ganz einfaches Beipspiel im
> endliche-dimensionalen angeben und dazu die jacobi-matrix
> und frechet ableitung?

Das wäre einfach gleich.

viele grüße
mathemaduenn
P.S.: Hast Du Dir die links von andreas durchgelesen? Wo steht da was von einer Summe?

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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:39 Mi 15.03.2006
Autor: Tini21

Von einer Summe habe ich auch nichts gelesen..........


Jetzt hast du mich total verwirrt. Ich dachte das totale Differential und das Frechet Differential wäre das gleiche.

mein prof hat folgendes in der vorlesung geschrieben:

f(a+h)=f(a)+Jf(a)h +o(h)               wobei Jf(a) Jacobimatrix von f a.d. Stelle a


f(a+h)=f(a)+df(a)h+o(h)               df(a) heißt totales Differential oder Frechet Differential von f a.d. Stelle a. (df(a) ist eine lineare Abbildung)




Da steht doch jetzt, dass das totale Differential und das Frechet Differential das gleiche ist, ich verstehe das so, dass es nur verschiedene Bezeichungen für df(a) sind...........




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Jacobimatrix: Prof fragen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mi 15.03.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Tini21,
Da mußt Du wohl deinen Prof. fragen. Es steht auch nirgends das die Funktion von [mm] R^n [/mm] nach [mm] R^n [/mm] sein soll und nur dann macht das ja Sinn. Sonst passen die Dimensionen beim addieren ja nicht.
Totales Differential macht aber eigentlich nur für Funktionen von [mm] R^n->R [/mm] Sinn.
viele Grüße
mathemaduenn

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Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:51 Mi 15.03.2006
Autor: SEcki


>  Frechet-Ableitung [mm]\not=[/mm] Totales Differential

Eben doch! Sie fallen im Fall [m]\IR^{n}\to\IR[/m] zusammen!

>  Beim Totalen Differential addiert man die Ableitungen.

Nein, nicht laut []Wikipedia (und meiner Erinnerung an meine Analysis-Vorlesung). Denn man muss aufpassen was man hier addiert. Hier addiert man Differentialformen! Und das ist nach kanonischen Identifikationen wieder der Gradient. Wie gesagt: das totale Differential ist nicht die Summe der partiellen Ableitungen. Was dann wirklich da steht, ist die Linearform - also eben die Linearisierung.

SEcki

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Jacobimatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Mi 15.03.2006
Autor: mathemaduenn

Hallo Secki,
Ja klar!
Da hätte ich mal deine Antwort besser durchlesen sollen. :-) oder genauer informieren halt oder besser wissen oder....
gruß
mathemaduenn

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Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mi 15.03.2006
Autor: Tini21

Kannst du mir vielleicht an irgendeiner funktion mal zeigen,wie das aussieht?

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Bezug
Jacobimatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Mi 15.03.2006
Autor: andreas

hi

also hier ein beispiel: sei $f: [mm] \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 \exp (x_3)$ [/mm] dann ergibt sich doch für den gradienten

[m] \textrm{grad} f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \frac{\partial f}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f}{\partial x_3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ \exp(x_3) \\ x_2 \exp (x_3) \end{array} \right) [/m].


berechnet man andererseits das totale differential bezüglich kartesischen koordinaten (das ist wie schon erwähnt wurde einfach die äußere ableitung [mm] $\textrm{d} \omega^0_f [/mm] = [mm] \omega_{\textrm{grad} f}^1$ [/mm] der $0$-form [mm] $\omega_f^0$ [/mm] - wenn du diese ausdrücke noch nicht kennst ignoriere sie einfach), so erhält man

[m] \textrm{d}f = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot \textrm{d}x_i = 1 \cdot \textrm{d}x_1 + \exp(x_3) \cdot \textrm{d}x_2 + x_2 \exp(x_3) \cdot \textrm{d}x_3 [/m].


vergleicht man nun die koeffizienten der fomalen summe des totalen differntials mit den einträgen des gradienten, so findet man, dass diese übereinstimmen und das ist eben auch die möglichkeit der identifizierung von [mm] $\textrm{grad} [/mm] f$ und [mm] $\textrm{d}f$. [/mm]

grüße
andreas

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Bezug
Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Mi 15.03.2006
Autor: Tini21

und was sagt macht man mit den d [mm] x_{1}, [/mm] d [mm] x_{2} [/mm] hinter den Koeffizienten?



Bezug
                                                                                                
Bezug
Jacobimatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mi 15.03.2006
Autor: andreas

hallo

die [mm] $\textrm{d}x_i$ [/mm] sind einfach formale ausdrücke - sogenannte differentiale. wenn du das totale differential [mm] $\textrm{d}f$ [/mm] von $f$ als lineare näherung der funktion betrachten willst, so kannst du diese differentiale als änderung in [mm] $x_i$ [/mm] richtung interpretieren [mm] ($\textrm{d}x_i$ [/mm] würde dann der $i$-ten koordinate von $h$ in der von dir angegeben definition des totalen differentials entsprechen). aber wie schon erwähnt sind dies zu aller erst einmal formale ausdrücke!

grüße
andreas

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Jacobimatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mi 15.03.2006
Autor: Tini21

ok, das habe ich jetzt verstanden, danke!! ABer ich verstehe nicht wieso die Jacobimatrix das gleich sein soll (im endlich dimensionalen) wie das totale Differential!? das eine ist doch eine Matrix und das andere eine Summe!?
Ist o(h) in den beiden Gleichungen jetzt eigentlich dasselbe oder nicht? Die Antwort, dass es nicht dasselbe ist, ist ja als fehlerhaft gekennzeichnet worden....

Liebe Grüße
Tini

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Jacobimatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:55 Do 16.03.2006
Autor: andreas

hi

> ok, das habe ich jetzt verstanden, danke!! ABer ich
> verstehe nicht wieso die Jacobimatrix das gleich sein soll
> (im endlich dimensionalen) wie das totale Differential!?
> das eine ist doch eine Matrix und das andere eine Summe!?

das totale differential oder eben die frèchet-ableitung einer funktion $f: E [mm] \longrightarrow [/mm] F$ ist einfach eine lineare abbildung $A: E [mm] \longrightarrow [/mm] F$, die die von dir angegebene bedingungen erfüllt. die in meinem letzten post angegeben form des totalen differentials ist einfach eine spezielle darstellung dieses für funktionen $f: [mm] \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. [/mm] im allgemeien solltest du dir aber nicht eine (formale) summe darunter vorstellen, sondern eine lineare abbildung, was es nach definition ist!
im endlich-dimensionalen kann aber jede lineare abbildung (nach wahl der basen) durch eine matrix beschrieben werden - deshalb identifizeirt man lineare abbildungen und matrizen. also kann jede lineare abbildung $A: [mm] \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m$ [/mm] durch eine matrix dargestellt werden, nämlich genau durch die jacobi-matrix.


> Ist o(h) in den beiden Gleichungen jetzt eigentlich
> dasselbe oder nicht? Die Antwort, dass es nicht dasselbe
> ist, ist ja als fehlerhaft gekennzeichnet worden....

das $o(h)$ ist schon das selbe, jedoch sollte man beachten, dass es verschiedene funktionen gibt, die "$o(h)$"-erfüllen, so geht etwa [mm] $h^2$ [/mm] schneller gegen $0$ als $h$, aber eben auch [mm] $h^2 [/mm] + [mm] h^3$, [/mm] also [mm] $h^2 \stackrel{h \to 0}{=} [/mm] o(h)$ aber auch [mm] $h^2 [/mm] + [mm] h^3 \stackrel{h \to 0}{=} [/mm] o(h)$.

grüße
andreas

Bezug
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