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Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also ich soll:
(i) die Jacobimatrix bestimmen
(ii) die Menge der Punkte bestimmen, für die diese Matrix invertierbar ist
Zu (i): Habe einfach je die partielle Ableitung gebildet und in die Matrix eingetragen. Daher sieht die Matrix so aus:
Hinweis: Ich bezeichne diese Variable, die aussieht wie in l (Phi heisst die glaub ich) mit [mm] \phi [/mm] - finde die Latexformel für das Symbol leider nicht...
[mm] \pmat{ cos(\Phi) cos(\Theta) & -sin(\Phi) r cos(\Theta) & -cos(\Phi) sin(\Theta) r \\ sin(\Phi) cos(\Theta) & cos(\Phi) r cos(\Theta) & -sin(\Phi) sin(\Theta) r \\ sin(\Theta) & 0 & cos(\Theta) r } [/mm] =: J
Richtig?
Nun zu (ii):
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist:
det J = [mm] r^2(sin^2(\Phi) cos(\Theta) [/mm] + [mm] cos^2(\Phi) sin(\Theta))
[/mm]
Daraus folgt:
det J = 0 wenn r = 0 - also darf r schonmal nicht 0 sein.
Nun betrachte ich den zweiten Faktor:
[mm] sin^2(\Phi) cos(\Theta) [/mm] + [mm] cos^2(\Phi) sin(\Theta) [/mm] = 0
[mm] \gdw \Theta [/mm] = n [mm] \pi [/mm] - [mm] tan^{-1}(tan^2(\Phi)) [/mm] mit n [mm] \in \IZ.
[/mm]
Stimmt das?
[mm] \Theta [/mm] = n [mm] \pi [/mm] - [mm] tan^{-1}(tan^2(\Phi)) [/mm] mit n [mm] \in \IZ [/mm] habe ich mit einem CAS ausgerechnet. Wie würde ich sowas (falls es stimmt) von Hand lösen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo abi2007LK,
> Hallo,
>
> folgende Aufgabe:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Also ich soll:
>
> (i) die Jacobimatrix bestimmen
> (ii) die Menge der Punkte bestimmen, für die diese Matrix
> invertierbar ist
>
> Zu (i): Habe einfach je die partielle Ableitung gebildet
> und in die Matrix eingetragen. Daher sieht die Matrix so
> aus:
>
> Hinweis: Ich bezeichne diese Variable, die aussieht wie in
> l (Phi heisst die glaub ich) mit [mm]\phi[/mm] - finde die
> Latexformel für das Symbol leider nicht...
>
> [mm]\pmat{ cos(\Phi) cos(\Theta) & -sin(\Phi) r cos(\Theta) & -cos(\Phi) sin(\Theta) r \\ sin(\Phi) cos(\Theta) & cos(\Phi) r cos(\Theta) & -sin(\Phi) sin(\Theta) r \\ sin(\Theta) & 0 & cos(\Theta) r }[/mm]
> =: J
>
> Richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nun zu (ii):
>
> Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre
> Determinante ungleich 0 ist:
>
> det J = [mm]r^2(sin^2(\Phi) cos(\Theta)[/mm] + [mm]cos^2(\Phi) sin(\Theta))[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Daraus folgt:
>
> det J = 0 wenn r = 0 - also darf r schonmal nicht 0 sein.
>
> Nun betrachte ich den zweiten Faktor:
>
> [mm]sin^2(\Phi) cos(\Theta)[/mm] + [mm]cos^2(\Phi) sin(\Theta)[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw \Theta[/mm] = n [mm]\pi[/mm] - [mm]tan^{-1}(tan^2(\Phi))[/mm] mit n [mm]\in \IZ.[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> [mm]\Theta[/mm] = n [mm]\pi[/mm] - [mm]tan^{-1}(tan^2(\Phi))[/mm] mit n [mm]\in \IZ[/mm] habe
> ich mit einem CAS ausgerechnet. Wie würde ich sowas (falls
> es stimmt) von Hand lösen?
>
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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Danke.
Argh...
det J = [mm] r^2 cos(\Theta)
[/mm]
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 31.05.2008 | | Autor: | eumel |
Jo diesmal ist die Determinante korrekt!
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