Jacobson-Radikal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Di 26.12.2017 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | | Zeige: Sei R [mm] \subset [/mm] R' ganz, so gilt [mm] Jac(R)=R\cap [/mm] Jac(R') |
Hallo zusammen,
erstmaml zur 1. Inklusion:
[mm] "\subseteq": [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] Jac(R) dann ist x max. und [mm] x\in [/mm] Spec(R), dann ex. ein Q [mm] \in [/mm] Spec(R') mit [mm] x=R\cap [/mm] Q und da [mm] R\subset [/mm] R' ist [mm] Q\in [/mm] Jac(R') also [mm] x\in R\cap [/mm] Jac(R')
[mm] "\supseteq" [/mm] Sei [mm] x\in R\cap [/mm] Jac(R') [mm] \Rightarrow x\in [/mm] R und [mm] x\in [/mm] Jac(R')
[mm] \Rightarrow xy-1\in (R')^{\*} \forall y\in [/mm] R' [mm] \gdw xy-1\in R^{\*} \forall y\in [/mm] R (da R' ganz über R ist)
[mm] \gdw x\in [/mm] Jac(R)
Stimmt das soweit? Vielen Dank im Voraus.
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> Zeige: Sei R [mm]\subset[/mm] R' ganz, so gilt [mm]Jac(R)=R\cap[/mm] Jac(R')
> Hallo zusammen,
>
> erstmaml zur 1. Inklusion:
>
> [mm]"\subseteq":[/mm] Sei [mm]x\in[/mm] Jac(R) dann ist x max. und [mm]x\in[/mm]
> Spec(R),
Was soll das denn heißen? Ein Element von $R$ kann weder "max." sein (was soll das heißen?) noch ein Element vom Spektrum sein.
> dann ex. ein Q [mm]\in[/mm] Spec(R') mit [mm]x=R\cap[/mm] Q und da
> [mm]R\subset[/mm] R' ist [mm]Q\in[/mm] Jac(R') also [mm]x\in R\cap[/mm] Jac(R')
>
> [mm]"\supseteq"[/mm] Sei [mm]x\in R\cap[/mm] Jac(R') [mm]\Rightarrow x\in[/mm] R und
> [mm]x\in[/mm] Jac(R')
> [mm]\Rightarrow xy-1\in (R')^{\*} \forall y\in[/mm] R' [mm]\gdw xy-1\in R^{\*} \forall y\in[/mm]
> R (da R' ganz über R ist)
> [mm]\gdw x\in[/mm] Jac(R)
>
> Stimmt das soweit? Vielen Dank im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Di 26.12.2017 | | Autor: | mimo1 |
Da ich ein Element aus dem Jacobson-Radikal nehme und diese als das Durchschnitt aller maximalen Ideale in R ist, ist x maximales Ideal. Und jedes maximiale Ideal auch prim ist folgt daraus, dass [mm] x\in [/mm] Spec(R) (Menge der PRimideale), oder?
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Wiederhole, was der Durchschnitt von Mengen ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:33 Mi 27.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Da ich ein Element aus dem Jacobson-Radikal nehme und diese
> als das Durchschnitt aller maximalen Ideale in R ist, ist x
> maximales Ideal.
Aua ! Das tut weh ! Wenn x ein Element des Jacobson-Radikals ist, so ist x ein Element des Rings. Ein max. Ideal aber ist eine Teilmenge des Rings.
Für x gilt: x ist enthalten in jedem max. Ideal !
> Und jedes maximiale Ideal auch prim ist
> folgt daraus, dass [mm]x\in[/mm] Spec(R) (Menge der PRimideale),
> oder?
x ist in jedem Primideal enthalten !
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Um noch etwas zu einer Lösung der Aufgabe zu sagen (aber da fehlt wirklich einiges an Grundlagend, habe ich das Gefühl): Die Sätze von ![[]](/images/popup.gif) Cohen-Seidenberg sind sicherlich hilfreich.
Liebe Grüße
UniversellsObjekt
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