Jord.Normalform; Fitting < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:39 Fr 16.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo miteinander. Lerne gerade noch ne'n Rest für die La 2 Vordiplomprüfung, und würde mich freuen, wenn wer nochmal kurz hier drüber gücken könnte, um mir ein kleines Feedback von dem Stoff zu geben.(Die Vektoren brauch hier keiner nachzurechnen)
Also: geg. sei die Matrix A:= [mm] \pmat{ 3 & 1 & 2 & -4 & -1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }
[/mm]
Eigenwerte EW: [mm] \lambda_1=3 [/mm] , [mm] \lambda_2= [/mm] 2
[mm] \lambda_1
[/mm]
Im folgenden berechne ich die Haupträume: dimker(A-3E)= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] dimker(A-3E)^2= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] dimker(A-3E)^3= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}-->geometrsiche=alg. [/mm] Vielfachheit, also bricht Verfahren ab. Das gleich mach ich für den zweiten Eigenwert.
Um nu die Basis zu bekommen, muss ich ja einen Vektor suchen, der im Unterraum [mm] (A-3E)^3 [/mm] liegt, aber nicht in [mm] (A-3E)^2. e_3=(0,0,1,0,0)^t [/mm] wäre eine Möglichkeit. Dann bilde ich ihn ja unter (A-3E) und unter [mm] (A-3E)^2 [/mm] ab.
Dessen Bilder und [mm] e_3 [/mm] bilden ja dann schonmal "ein Teil" der Jordan-Basis. (natürlich muss ich die gleiche Prozedur noch mit dem anderen EW durchführen). Jetzt kommt allerdigns meine Frage dazu:In der Vorlesung hieß es folgendermaßen:
"Sei K-V.R V. [mm] \partial: [/mm] V->V nilponter Endomorphismus.
Existenz der Jordan'schen Normalform
Wähle: [mm] x_1= [/mm] Vektor maximaler Stufe V, [mm] m_1:= [/mm] Stufe von [mm] x_1
[/mm]
[mm] U_1= [/mm] der von [mm] x_1 [/mm] erzeugte [mm] \partial-inv. [/mm] Teilraum
[mm] W_1= [/mm] ein [mm] \partial-inv. [/mm] Komplement von [mm] U_1 [/mm] in V"
Jetzt meine Frage: Sehe ich das richtig das hier (übertragen auf mein obriges Beispiel) [mm] U_1 [/mm] der Unterraum Ker(A-3E) ist, und das [mm] \partial-inv. [/mm] Komplement [mm] W_1, [/mm] von diesem Raum, der Unterraum [mm] Ker(A-3E)^2, [/mm] ist?
Weiter heißt es : "Falls [mm] W_1\not={0}
[/mm]
Wähle [mm] x_2=.......
[/mm]
[mm] U_2=.......
[/mm]
[mm] W_2=....."
[/mm]
Sehe ich das richtig, das (wieder angewand auf das obrige Beispiel) [mm] U_2 [/mm] der Unterraum [mm] Kern(A-3E)^2 [/mm] ist und das Komplemt [mm] W_2 [/mm] der Raum [mm] Ker(A-3E)^3 [/mm] ist. Wenn ja, kann ich dann anhand der Räume argumentieren, das das Verfahren deshalb abbrechen würde, weil [mm] W_2 [/mm] also [mm] Ker(A-3E)^3 [/mm] kein Komplement mehr hat? [mm] (Kern(A-3E)^3 [/mm] ist ja stationärer Punkt)
Dann hab ich noch eine Frage zur Fitting-Zerlegung:
Es heißt in der Vorlesung" Die Einschränkung [mm] \partial|_kj [/mm] ist nilponent [mm] (k_i [/mm] besteht aus Vektoren der Stufen <j für [mm] \partial) [/mm]
Heißt das "umgangssprachlich" gesprochen, es gibt einen stationären Punkt, wo das Verfahren abbricht? Ich versteh das mit dieser Einschränkung nicht so wirklich.
Dann heißt es noch zuletzt in einem Punkt "Es gibt [mm] \partial-inv. [/mm] Unterräume mit V [mm] \supset B_1 \supset B_2 \supset.... [/mm] . Wahrscheinlich entgegnet ihr mir jetzt, das ihr nicht wißt was B ist. Ich weiß es leider auch nicht. Ich vermute, das es die Bilder der jeweiligen Unterräume [mm] Kern(A-3E)^i [/mm] sind. Könnte das sein? Ich mein, es würde ja passen, da sich mit zunehmender dim. der Kerne, sich die Dimension der Bilder verkleinern müsste, gel?! Also es zu so einer "absteigenden" Folge kommen müsste?!
So, ist leider doch ziemlich lang geworden, aber vielleicht lassen sich ja zum Teil meine Frage mit ne'n kurzen "ja" beantworten.
Viele grüße Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Sa 17.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> [mm]dimker(A-3E)^2...[/mm]
Prinzipielle Anmerkung: wäre vielleicht besser das dim einfach wegzulassen - lingt so nach Dimension, du gibt's aber eine Basis an.
> Dessen Bilder und [mm]e_3[/mm] bilden ja dann schonmal "ein Teil"
> der Jordan-Basis. (natürlich muss ich die gleiche Prozedur
> noch mit dem anderen EW durchführen).
Ja, im Zweifel musst du das dann durch fehlende Vektoren zu [m](A-3E)^2[/m] und [m]A-3E[/m] finden, also diejenigen, die nicht schon in Spann der invarianten VR zum Rang 3 bzw. dann 2 und 3 sind.
> Jetzt meine Frage: Sehe ich das richtig das hier
> (übertragen auf mein obriges Beispiel) [mm]U_1[/mm] der Unterraum
> Ker(A-3E) ist, und das [mm]\partial-inv.[/mm] Komplement [mm]W_1,[/mm] von
> diesem Raum, der Unterraum [mm]Ker(A-3E)^2,[/mm] ist?
ich würde eher sagen [m]Ker(A-3E)^3[/m]. und das Komplement ist sicher nicht [mm]Ker(A-3E)^2,[/mm].
> Weiter heißt es : "Falls [mm]W_1\not={0}[/mm]
> Wähle [mm]x_2=.......[/mm]
> [mm]U_2=.......[/mm]
> [mm]W_2=....."[/mm]
Es fehlt irgendwie was man hier genau wählt - einfach ein Element aus dem Komplement und bildet wieder den invarianten UR?
> Sehe ich das richtig, das (wieder angewand auf das obrige
> Beispiel) [mm]U_2[/mm] der Unterraum [mm]Kern(A-3E)^2[/mm] ist und das
> Komplemt [mm]W_2[/mm] der Raum [mm]Ker(A-3E)^3[/mm] ist.
Du gehst doch eher absteigen - vom maximalen Rang zu den kleineren.
Wenn ja, kann ich
> dann anhand der Räume argumentieren, das das Verfahren
> deshalb abbrechen würde, weil [mm]W_2[/mm] also [mm]Ker(A-3E)^3[/mm] kein
> Komplement mehr hat? [mm](Kern(A-3E)^3[/mm] ist ja stationärer
> Punkt)
Aber das Komplement ist doch da: [m]Bild(A-3E)^3[/m], und sicher nicht leer, da der Hauptraum zum anderen EW dort drin liegt.
> Dann hab ich noch eine Frage zur Fitting-Zerlegung:
> Es heißt in der Vorlesung" Die Einschränkung [mm]\partial|_kj[/mm]
> ist nilponent [mm](k_i[/mm] besteht aus Vektoren der Stufen <j für
> [mm]\partial)[/mm]
> Heißt das "umgangssprachlich" gesprochen, es gibt einen
> stationären Punkt, wo das Verfahren abbricht?
Das ist doch blos eine Ausage zu Endomorphismen, wann diese nilpotent sind - das Verfahren kommt erst viel später.
> Ich versteh
> das mit dieser Einschränkung nicht so wirklich.
Der Endomorphismus wird auf den Unterraum U eingeschränkt, dh man betrachtet f als Endomorphismus in U. Ob das geht, hängt davon ab, ob [m]f(u)\subset U[/m] ist.
> Dann heißt es noch zuletzt in einem Punkt "Es gibt
> [mm]\partial-inv.[/mm] Unterräume mit V [mm]\supset B_1 \supset B_2 \supset....[/mm]
> . Wahrscheinlich entgegnet ihr mir jetzt, das ihr nicht
> wißt was B ist. Ich weiß es leider auch nicht.
Das sind wohl die invarainte Unterräume einer Fahne - und das wird da schon stehen, wett ich was! Was für Eigenschaften sollen die Bs denn haben?
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 17.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hallo.
also ich zitiere nochmal aus unserer Vorlesung, wo es um die Konstruktion der Jordanbasis geht:
"Lemma: Sei x aus V ein Vektor maximaler Stufe m. (d.h [mm] \gamma^{m-1}(x) \not=0 [/mm] ,aber [mm] \gamma^m [/mm] (V) =0). Dann besitzt der von x erzeugte [mm] \gamma-invariante [/mm] Unterraum U ein [mm] \gamma-invariantes [/mm] Komplement. D.H es exestiert ein [mm] \gamma-invarianter [/mm] Unterraum W [mm] \subset [/mm] V mit V=U+W.
Existenz der Jordannormalform, durch wiederholtes anwenden von Lemma 2:
Wähle [mm] x_1=Vektor [/mm] maximaler Stufe in V, [mm] M_1=Stufe [/mm] von [mm] x_1
[/mm]
[mm] U_1=der [/mm] von [mm] x_1 [/mm] erz. invariante Teilraum
[mm] W_1=ein [/mm] invariantes Komplement von [mm] U_1 [/mm] zu V (ex. nach Lemma 2)
Falls [mm] W_1 \not={0}
[/mm]
Wähle [mm] x_2=Vektor [/mm] maximaler Stufe in [mm] W_1, m_2=Stufe [/mm] von [mm] x_2
[/mm]
[mm] U_2=der [/mm] von [mm] x_2 [/mm] erz. invariante Unterraum
[mm] W_2=ein [/mm] invariantes Komplement.
Falls [mm] W_2 \not={0} [/mm] Wähle [mm] x_3=...usw.
[/mm]
SChließlich muß das Verfahren abbrechen, etwa bei [mm] W_q+1={0}
[/mm]
Nach Konstruktin ist dann [mm] V=U_1+U_2+U_3+....+Uq [/mm] und wir erhalten folgende Basis: [mm] x_1, \gamma(x_1), \gamma^2(x_1).... \gamma^m-1(x_1) [/mm] von [mm] U_1
[/mm]
.
.
[mm] x_q \gamma(x_q), \gamma^2(x_q),.... \gamma^m-1(x_q) [/mm] von [mm] U_q".
[/mm]
Also wenn ich deine Erklärung richtig verstanden hab, dann ist: [mm] U_1=ker(A-3E), U_2= kern(A-3E)^2 [/mm] und [mm] W_1=Bild(A-3E), W_2=Bild(A-3E)^2 [/mm] ja?! Mit den Komplementen [mm] W_1 [/mm] bzw [mm] W_2 [/mm] sind also die Bilder der Unterräume (A-3E) gemeint. Sehe ich das so richtig?
Bei zunehmenden Dimensoin der Kerne, nimmt die dim. der Bilder dann ab. Und das Verfahren bricht dann ab, wenn die Dimension des Bildes Null ist?! Hab ich das jetzt so richtig verstanden??
Was ist denn mit [mm] V=U_1+U_2+...U_q [/mm] gemeint?
Danke im vorraus.
Grüße Benno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 So 18.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Also wenn ich deine Erklärung richtig verstanden hab, dann
> ist: [mm]U_1=ker(A-3E), U_2= kern(A-3E)^2[/mm] und [mm]W_1=Bild(A-3E), W_2=Bild(A-3E)^2[/mm]
Nein, das ist hier überhauptnichtgemeint - und am ehesten eifnach falsch herum! Du suchst zuerst Vektoren aus [m]Ker(A-3)^3[/m], die nicht schon in [m]Ker(A-3E)^2[/m] liegen. Dann nimmst du dir so ein Element und dann erezeugt dieses ein [m]U_1[/m]. Dann erhälstdu ein Komplement, daswieder invaraint unter [m](A-3E)[/m] ist, also kannst du hier die Induktionsannahme wweiter verwenden,bis du zum Schluß kommst, dh es keine Vektoren gibt,die im Hauptraum zum EW 3sind. Aus der Theorie weiß man, daß die Haupträume (hier wären das [m]Ker(A-3E)^3[/m] und [m]Ker(A-2E)^2[/m]) jweils im so konstruierten A invarianten Komplemnt des anderen liegen - also kannst du auf das so erhaltenen Komplement für dne anderen EW das verfahren weiteführen.
> ja?! Mit den Komplementen [mm]W_1[/mm] bzw [mm]W_2[/mm] sind also die Bilder
> der Unterräume (A-3E) gemeint. Sehe ich das so richtig?
Wasmeinst du damit? Welche Unterräume? Man konstruiert (bzw. zeigtdie Existenz)eines invarianten Komplements.
> Bei zunehmenden Dimensoin der Kerne, nimmt die dim. der
> Bilder dann ab.
Richtig.
> Und das Verfahren bricht dann ab, wenn die
> Dimension des Bildes Null ist?!
Das Verfahren hat damit doch nichts zu tun. Das Verfahrenmuss irgendwann abbrechen, da du immer wieder Unterräumemit dimension > 0 "herausschälst", dasKompklement also immer kleinere Dimensionen bekommt. Dann muss das Verfahren abbrechen,per Induktion,da das Komplement wider invariant ist.
> Was ist denn mit [mm]V=U_1+U_2+...U_q[/mm] gemeint?
Das sich V als (direkte) Summer von solchen speziell gewählten, invariante Unterräumen darstellen lässt - das was man will: eine möglichst eifnache Form haben, den wie f auf den [m]U_i[/m] aussieht, ist ja ganz einfach: ein Jordanblock. Und das setzt man dann zu f zusammen bzgl. der neuen Basis.
SEcki
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