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| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{-2 & 0 & 0 & 0\\1 & -2 & 0 & 0\\-6 & 1 & -2 & 0\\-12 & 2 & 0 & -2}
[/mm]
Finden Sie eine Matrix [mm] T\in \IR^{4,4}, [/mm] sodass [mm] TAT^{-1} [/mm] Jordanform hat! |
ACHTUNG: Dieser Prof lebt in der Zeilenwelt. Beim ihm sind Vektoren immer Zeilenvektoren, Basisvektoren stehen in den Zeilen von Matrizen und Vektoren werden von links an die Matrix multipliziert!!!
Nun aber zur Aufgabe: Eigenwerte kann man ablesen: -2 mit Vielfachheit 4.
Bestimme nun also den Eigenraum zu -2:
[mm] ker(-2E-A)=ker\pmat{0 & 0& 0& 0\\-1&0&0&0\\6&-1&0&0\\12&-2&0&0}
[/mm]
Da man sich auch in der Zeilenwelt an den Zeilengauss gewöhnt hat, bestimmt man einen Vektor x mit (-2E-A)^Tx=0, da bekomme ich -b=0, c+2d=0, also b=0 und c=-2d, demnach ist die Basis des Eigenraums {(1,0,0,0),(0,0,-2,1)}. Es gibt also 2 Jordankästchen.
So, nun zur nächsten Potenz und dem nächsten Hauptraum:
[mm] ker(-2E-A)^2: [/mm] nach umformen bekomme ich c+2d = 0, also c=-2d und die Basis dieses Hauptraumes ist {(1,0,0,0,), (0,1,0,0),(0,0,-2,1)}.
Und zu guter letzt: [mm] Ker(-2E-A)^3=\IR^4. [/mm] Jetzt weiß ich, dass die Kästchen 3 und 1 groß sind.
Jetzt wähle ich einen Vektor aus diesem letzten Hauptraum, der nicht im zweiten Hauptraum liegt: (0,0,0,1) und multipliziere ihn mit (-2E-A) und [mm] (-2E-A)^2. [/mm] Dann bekomme ich die ersten drei Basisvektoren (0,0,0,1),(12,-2,0,0),(2,0,0,0).
Ist bis hierher alles richtig?
Woher bekomme ich jetzt den vierten? mit (1,1,1,1) z.B. habe ich dann zwar Einsen über der Diagonalen, aber auch noch einen Eintrag, der 0 sein sollte...
Ich bin für jeden Rat dankbar und hoffe, dass euch die Zeilenwelt nicht allzusehr verwirrt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 11.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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