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Forum "Lineare Abbildungen" - Jordan-Form bestimmen
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Jordan-Form bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 Sa 14.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Aufgabe
Bestimmen Sie die Jordan-Form der Matrix [mm] A\in \IC^{3x3}: [/mm]

[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1} [/mm]


Kann mir jemand von euch sagen, ob das hier richtig ist?

Behauptung: Sei [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1, & 1 \\ 1 & 1 & 1} \in \IC^{3x3}, [/mm] dann ist [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] die Jordan Form der Matrix A.

Beweis: Zunächst bestimmen wir das charakteristische Polynom [mm] P_{A}(t). [/mm]

[mm] (A-t*I)=(\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1}-(t*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })=(\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1}-\pmat{ t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t })=(\pmat{ 1-t & 1 & 1 \\ -1 & -1-t & -1 \\ 1 & 1 & 1-t }) [/mm] => [mm] P_{A}(t)=t^{2}-t^{3t} [/mm]
=> Nullstellen: [mm] x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=1 [/mm]
=> für das Minimalpolynom [mm] (m_{A}(t)) [/mm] ergibt sich: [mm] m_{A}(t)=(t-0)^{k}*(t-1) [/mm] für [mm] 1\le [/mm] k [mm] \le [/mm] 2
=> Durch einsetzen der Matrix A für t ergiebt sich: [mm] m_{A}(A)=(A-0)^{1}*(A-1)=0 [/mm] und [mm] m_{A}(A)=(A-0)^{2}*(A-1)=0 [/mm] =>Das Minimalpolynom ist also [mm] m_{A}(t)=(t-0)^{1}*(t-1). [/mm]

Hieraus ergeben sich folgende Möglichkeiten für die Jordan-Form:

(a) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=t^{2}*(t-1) [/mm]

(b) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=t^{1}*(t-1) [/mm]

(C) [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] => [mm] m_{A}(t)=t^{2}*(t-1) [/mm]

=> [mm] M_{A}(F)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

Vielen Dank im Voraus!

DerPinguinagent

        
Bezug
Jordan-Form bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Sa 14.05.2016
Autor: angela.h.b.


> Bestimmen Sie die Jordan-Form der Matrix [mm]A\in \IC^{3x3}:[/mm]
>  
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1}[/mm]
>  
> Kann mir jemand von euch sagen, ob das hier richtig ist?
>  
> Behauptung: Sei [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1, & 1 \\ 1 & 1 & 1} \in \IC^{3x3},[/mm]
> dann ist [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] die
> Jordan Form der Matrix A.
>  
> Beweis: Zunächst bestimmen wir das charakteristische
> Polynom [mm]P_{A}(t).[/mm]
>
> [mm](A-t*I)=(\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1}-(t*\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })=(\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1}-\pmat{ t & 0 & 0 \\ 0 & t & 0 \\ 0 & 0 & t })=(\pmat{ 1-t & 1 & 1 \\ -1 & -1-t & -1 \\ 1 & 1 & 1-t })[/mm]
> => [mm]P_{A}(t)=t^{2}-t^{3}[/mm]

[mm] =-t^2(t-1) [/mm]

Hallo,

das charakteristische Polynom habe ich nicht nachgerechnet.

> => Nullstellen: [mm]x_{1}=0, x_{2}=0, x_{3}=1[/mm]

> => für das Minimalpolynom [mm](m_{A}(t))[/mm] ergibt sich:
> [mm]m_{A}(t)=(t-0)^{k}*(t-1)[/mm] für [mm]1\le[/mm] k [mm]\le[/mm] 2

Ja.

>  => Durch einsetzen der Matrix A für t ergiebt sich:

> [mm]m_{A}(A)=(A-0)^{1}*(A-1)=0[/mm] und [mm]m_{A}(A)=(A-0)^{2}*(A-1)=0[/mm]
> =>Das Minimalpolynom ist also [mm]m_{A}(t)=(t-0)^{1}*(t-1).[/mm]

Ja.

>  
> Hieraus ergeben sich es gibt folgende Möglichkeiten für die
> Jordan-Form:
>  
> (a) [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \red{1} & 1 }[/mm] =>
> [mm]m_{A}(t)=t^{2}*(t-1)[/mm]

Die markierte 1 stimmt nicht. Da gehört eine 0 hin.

>  
> (b) [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ \red{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] =>
> [mm]m_{A}(t)=t^{1}*(t-1)[/mm]

Die markierte 1 stimmt nicht. Da gehört eine 0 hin.

>  
> (C) [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ \red{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm] =>
> [mm]m_{A}(t)=t^{2}*(t-1)[/mm]

Die markierte 0 stimmt nicht, da gehört eine 1 hin.
Abgesehen davon: wie kommst Du eigentlich auf die verschiedenen Matrizen bei a) und c)?

>  
> => [mm]M_{A}(F)=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]

Nein. Richtig wäre b)


Vielleicht ist es für Dich hilfreich, Dir mal []das hier anzuschauen. Ich find's erhellend...

Für den ersten JNF-Bestimmungsversuch wird dort die Dimension der Eigenräume verwendet - also etwas anders, als Du es machst. Bequemer als mit dem Minimalpolynom in meinen Augen.

LG Angela

>  
> Vielen Dank im Voraus!
>
> DerPinguinagent


Bezug
                
Bezug
Jordan-Form bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Sa 14.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Hallo Angela! Der Prof meinte in unserer Vorlesung, dass wir dieses Schema verwenden sollen, sonst gebe es für diese Übungsaufgaben 0 Punkte. Die Möglickeiten a-c habe ich mittels kombinatorik ermittelt. Auf der Diagonale stehen Eigenwerte der Matrix und für die 1 in der Diagonale gibt es nur diese 3 Möglichkeiten.

LG DerPinguinagent

Bezug
                
Bezug
Jordan-Form bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Sa 14.05.2016
Autor: DerPinguinagent

Stimmt du hast recht! Es gibt hier nur zwei Möglichkeiten für die Jordan-Form. Einmal (a) und (b). Mein Fehler war, dass ich die komplette Diagonale betrachtet habe, also:

[mm] \pmat{0 & 0 & 0 \\ * & 0 & 0 \\ 0 & * & 1} [/mm]

Durfte aber nur folgendes betrachten:

[mm] \pmat{0 & 0 & 0 \\ * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]

Deshalb kam ich auf 3 Möglichkeiten, und zwar 1,1 + 0,0 + 1,0 bzw. 0,1


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