Jordan-Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Fr 09.01.2009 | | Autor: | farnold |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich sitze nun schon den ganzen Tag an dem """wunderschönen""" Thema der Jordanmatrizen und bin gerade am verzweifeln.
Hab zu dem Thema ein paar Fragen, mit deren Antwort mir das herangehen an das Thema erheblich erleichtert werden würde.
Eine Matrix in Jordanscher-Normalen-Form ist ja eine Matrix, die aus Jordanblöcken besteht.
Nun die Frage, wie sieht eine Jordan-Matrix aus?
[mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 4 } [/mm] , dies ist z.b eine Jordanmatrix
1.) stehen bei einer Jordan-Matrix auf der Hauptdiagonalen die Eigenwerte? (d.h. es dürfte auf der Hauptdiagonalen auch eine Null stehn , da 0 auch Eigenwert sein kann)?
2.) müssen über der Hauptdiagonalen 1en stehen, um eine Jordanmatrix zu sein, oder dürfen die auch mal "fehlen"?
Oder sind bei den Matrizen bei denen die 1 über der Hauptdiagonale fehlt gar keine Jordan-Matrizen, sondern Matrizen in JNF die aus 1x1 Jordanmatrizen bestehen?
4.) lässt sich jede Matrix die trigonalisierbar ist auch in JNF schreiben? Falls ja, darf ich dann, wenn ich eine Matrix trigonalisieren soll einfach in JNF bringen und die Aufgabe ist gelöst?
5.) Die J(ordansche)-N(ormalen)-F(orm) braucht man ja "hauptsächlich" im ersten Semster um die Potenzen von Endomorphsimen zu berechnen. Warum ist diese Form so praktisch? Etwa weil man eine JNF-Matrix als Diagonalamtrix + Nilpotente-Matrix schreiben kann?
Warum dann aber in JFN? Ich meine eine trigonalisierbare Matrix kann man ja als obere 3-ecksMatrix schreiben, eine obere 3-ecks Matrix kann ich aber auch als Diagonalmatrix + Nilpotente Matrix schreiben und so einfach eine Potenz eines Endomorphismuses ausrechenen.
Gibt es etwa noch einen anderen Grund Matrizen in JNF zu bringen?
6.) Gibt es Matrizen die sich nicht in JNF bringen lassen könne? Etwa alle , bei denen das char. Polynom in lin. Faktoren zerfällt (aber ob die algebraische Vielfachheit der algebraischen entpsricht ist wurscht)?
viele grüße fa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Sa 10.01.2009 | | Autor: | farnold |
> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich sitze nun schon den ganzen Tag an dem
> """wunderschönen""" Thema der Jordanmatrizen und bin gerade
> am verzweifeln.
> Hab zu dem Thema ein paar Fragen, mit deren Antwort mir
> das herangehen an das Thema erheblich erleichtert werden
> würde.
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> Eine Matrix in Jordanscher-Normalen-Form ist ja eine
> Matrix, die aus Jordanblöcken besteht.
> Nun die Frage, wie sieht eine Jordan-Matrix aus?
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 4 }[/mm] , dies ist z.b eine Jordanmatrix
> 1.) stehen bei einer Jordan-Matrix auf der Hauptdiagonalen
> die Eigenwerte?
Ja, das tun sie, wenn z.b die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes 3 ist, so wirst du den Eigenwert 3 mal auf der Hauptdiagonalen der Jordanmatrix finden
(d.h. es dürfte auf der Hauptdiagonalen
> auch eine Null stehn , da 0 auch Eigenwert sein kann)?
Natürlich.
> 2.) müssen über der Hauptdiagonalen 1en stehen, um eine
> Jordanmatrix zu sein, oder dürfen die auch mal "fehlen"?
Das was du meinst ist wohl ein Jordanblock. Eine JNF besteht aus Jordanblöcken
> Oder sind bei den Matrizen bei denen die 1 über der
> Hauptdiagonale fehlt gar keine Jordan-Matrizen, sondern
> Matrizen in JNF die aus 1x1 Jordanmatrizen bestehen?
Eine JNF kann natürlich auch einem Jordanblock der größ0e 1x1 bestehen.
> 4.) lässt sich jede Matrix die trigonalisierbar ist auch
> in JNF schreiben? Falls ja, darf ich dann, wenn ich eine
> Matrix trigonalisieren soll einfach in JNF bringen und die
> Aufgabe ist gelöst?
Wenn das charakteristische Polynom in linearfaktoren zerfällt so kannst du die Matrix in JNF bringen. Wenn du eine Matrix in JNF bringst dann ist das eine Art "verbesserte Trigonalisiserung".
> 5.) Die J(ordansche)-N(ormalen)-F(orm) braucht man ja
> "hauptsächlich" im ersten Semster um die Potenzen von
> Endomorphsimen zu berechnen. Warum ist diese Form so
> praktisch? Etwa weil man eine JNF-Matrix als Diagonalamtrix
> + Nilpotente-Matrix schreiben kann?
> Warum dann aber in JFN? Ich meine eine trigonalisierbare
> Matrix kann man ja als obere 3-ecksMatrix schreiben, eine
> obere 3-ecks Matrix kann ich aber auch als Diagonalmatrix +
> Nilpotente Matrix schreiben und so einfach eine Potenz
> eines Endomorphismuses ausrechenen.
> Gibt es etwa noch einen anderen Grund Matrizen in JNF zu
> bringen?
> 6.) Gibt es Matrizen die sich nicht in JNF bringen lassen
> könne? Etwa alle , bei denen das char. Polynom in lin.
> Faktoren zerfällt (aber ob die algebraische Vielfachheit
> der algebraischen entpsricht ist wurscht)?
wie schon gesagt es ist eine Art verbesserte Trigonalisierung und somit muss das char Polynom natürlich komplett in lin. Faktoren zerfallen
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> viele grüße fa
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> Hallo,
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich sitze nun schon den ganzen Tag an dem
> """wunderschönen""" Thema der Jordanmatrizen und bin gerade
> am verzweifeln.
> Hab zu dem Thema ein paar Fragen, mit deren Antwort mir
> das herangehen an das Thema erheblich erleichtert werden
> würde.
Hallo,
wie ich sehe, hast Du Dir in weiten Teilen bereits selber die Antworten gegeben. Prima!
>
> Eine Matrix in Jordanscher-Normalen-Form ist ja eine
> Matrix, die aus Jordanblöcken besteht.
> Nun die Frage, wie sieht eine Jordan-Matrix aus?
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 4 }[/mm] , dies ist z.b eine Jordanmatrix
Hallo,
nein, das ist keine Jordanmatrix, was Du inzwischen sicher selbst herausgefunden hast.
Du kannst diese Matrix aber auf JNF bringen.
> 2.) müssen über der Hauptdiagonalen 1en stehen, um eine
> Jordanmatrix zu sein, oder dürfen die auch mal "fehlen"?
> Oder sind bei den Matrizen bei denen die 1 über der
> Hauptdiagonale fehlt gar keine Jordan-Matrizen, sondern
> Matrizen in JNF die aus 1x1 Jordanmatrizen bestehen?
Es wäre z.B. auch dies eine JNF, die Jordankästchen innerhalb der Jordanblöcke zu den drei Eigenwerten habe ich farbig gekennzeichnet.
[mm] \pmat{\red{4}&0&0&0&0&0\\0&\blue{4}&\blue{1}&0&0&0\\0&\blue{0}&\blue{4}&0&0&0\\0&0&0&\green{5}&0&0\\0&0&0&0&\red{6}&\red{1}\\0&0&0&0&\red{0}&\red{6}}
[/mm]
Es sind auch Diagonalmatrizen JNFen.
> 5.) Die J(ordansche)-N(ormalen)-F(orm) braucht man ja
> "hauptsächlich" im ersten Semster um die Potenzen von
> Endomorphsimen zu berechnen. Warum ist diese Form so
> praktisch? Etwa weil man eine JNF-Matrix als Diagonalamtrix
> + Nilpotente-Matrix schreiben kann?
Ja, z.B. deshalb.
Die Jordannormalfom liefert auf einen Blick eine Übersicht über Eigenwerte und die Machart der Eigenräume.
Der große Auftritt der Jordannormalform kommt dann später beim Lösen gewisser Differentialgleichungen.
> 6.) Gibt es Matrizen die sich nicht in JNF bringen lassen
> könne?
Wenn das charakteristische Polynom nicht in Linearfaktoren zerfällt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Sa 10.01.2009 | | Autor: | farnold |
ich habe gerade ein riesen problem beim umforemen einer Matrix in JNF und komm einfach nicht weiter
[mm] \pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
diese Matrix soll ich in JNF bringen.
also rechne ich zuerst das char. Polynom aus: [mm] P_{A}(t) [/mm] = [mm] -(t-2)^3
[/mm]
=> [mm] A-2E_{3} =\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 } [/mm] ... Eigenvektor v = (1,-1,1)
oh die geometrische Vielfachheit ist nur 1, da fehlen noch 2 Vektoren, da geometrische Vielfachheit 3 beträgt.
Meine Musterlösung macht nun folgendes:
[mm] (A-2E_{3}) [/mm] * x = (1,-1,1) => x = (1,0,0)
[mm] (A-2E_{3}) [/mm] * y = (1,0,0) => y = (-1,0.5,0)
T^-1 = [mm] \pmat{ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0.5 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Meine Frage: dieses Vorgehen geht aber nicht immer, oder?
Ich meine was wäre z.B. wenn der Kern einer anderen Matrix [mm] dim(A-2E_{3}) [/mm] = 1 und [mm] dim(A-2E_{3})^2 [/mm] = 3 wäre, so könnte ich mit diesem Verfahren nur einen Vektor von [mm] (A-2E_{3})^2 [/mm] rausbekommen, der andere bleibt mir mit dieser Methode "verborgen", oder hab ich da was falsch verstanden.
Habe ich nun alle Vektoren, dann gibt es eine bestimmte Reihenfolge in der man sie für die Transformationsmatrix anorden muss, wie lautet die Regel hierfür?
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> ich habe gerade ein riesen problem beim umforemen einer
> Matrix in JNF und komm einfach nicht weiter
>
> [mm]\pmat{ 3 & 4 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 3 }[/mm]
> diese
> Matrix soll ich in JNF bringen.
> also rechne ich zuerst das char. Polynom aus: [mm]P_{A}(t)[/mm] =
> [mm]-(t-2)^3[/mm]
> => [mm]A-2E_{3} =\pmat{ 1 & 4 & 3 \\ -1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 }[/mm]
> ... Eigenvektor v = (1,-1,1)
> oh die geometrische Vielfachheit ist nur 1,
Hallo,
nun weißt Du schon, wie die JNF aussehen wird: [mm] J_A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 },
[/mm]
und Du suchst nun die Transformationsmatrix.
Den ersten Vektor der Jordanbasis, den Eigenvektor, hast Du schon: [mm] b_1:=\vektor{1\\-1\\1}.
[/mm]
Für [mm] b_2 [/mm] muß gelten [mm] Ab_2=b_1+2b_2 [/mm] <==> [mm] (A-2E_{3})b_2=vektor{1\\-1\\1},
[/mm]
für den dritten entsprechend.
Für den Rest ist es heute zu spät für mich.
Vielleicht studierst Du mal ![[]](/images/popup.gif) dies
ich finde, daß die Berechnung der JNF und der Jordanbasis dort am schönsten erklärt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 So 11.01.2009 | | Autor: | farnold |
habe mir den Artikel durchgelesen und finde, dass der dort beschreiben Algortihmus das ganze "umgekehrt" macht wie den von mir gewählten.
Jedoch frage ich mich immer noch, ob meine Methode immer zum Ziel führt, ich versuche meine Problem anhand eines Beispiels zu erklären.
Sei A eine Matrix und 1 ein Eigenwert davon mit 3 Nullstellen.
Ker(A - 1E) = < (1,0,0) >
Ker(A - [mm] 1E)^2 [/mm] = < (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) >
mit meiner Methode mache ich nun
(A - 1E) * x = (1,0,0)
nun die Frage, wie komme ich mit diesem Algorithmus an meinen 3. Vektor? (Gar nicht, oder?)
Zu dem auf der Seite beschreibenen Algorithmus:
[mm] Ker(A-1E)^2 [/mm] hat ja nun 2 Vektoren die nicht in Ker(A-1E) vorkommen, diese darf ich ja nun für meine Transformationsmatrix verwenden. Für den 3. Basisvektor mache ich (A-1E) * (0,1,0)
=> mögliche Trafomatrix <(0,1,0),(0,0,1),((A-1E) * (0,1,0))> oder <(0,1,0),(0,0,1),((A-1E) * (0,0,1))> , beide führen zum selben Ziel.
habe ich das so richtig verstanden?
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> Jedoch frage ich mich immer noch, ob meine Methode immer
> zum Ziel führt, ich versuche meine Problem anhand eines
> Beispiels zu erklären.
> Sei A eine Matrix und 1 ein Eigenwert davon mit 3
> Nullstellen.
> Ker(A - 1E) = < (1,0,0) >
> Ker(A - [mm]1E)^2[/mm] = < (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) >
> mit meiner Methode mache ich nun
> (A - 1E) * x = (1,0,0)
> nun die Frage, wie komme ich mit diesem Algorithmus an
> meinen 3. Vektor? (Gar nicht, oder?)
Hallo,
dieser Fall wird gar nicht vorkommen können:
Du hast eine Matrix A, bei der die 1 dreifacher Eigenwert ist.
Also gibt es zu A eine JNF, und für derne Aussehen gibt es drei Möglichkeiten:
1. die Einheitsmatrix, also hat A drei linear unabhängige Eigenvektoren
2. [mm] \pmat{1&0&0\\0&1&1\\0&0&1}, [/mm] also zwei Eigenwerte
3. [mm] \pmat{1&1&0\\0&1&1\\0&0&1}, [/mm] also einen Eigenwerte
Dies wird Dich nun überhaupt nicht überzeugen, das weiß ich schon.
Aber dies:
Ker(A - 1E) = < [mm] e_1:=(1,0,0^t) [/mm] >
Ker(A - [mm]1E)^2[/mm] = < [mm] (1,0,0)^t,e_2:=(0,1,0)^t,e_3:=(0,0,1^t) [/mm] >
Sei B:=A - 1E
Da der Kern von B nur aus [mm] e_1 [/mm] besteht, gibt es zwei von 0 verschiedene Vektoren [mm] b_2, b_3 [/mm] mit
[mm] Be_1=0
[/mm]
[mm] Be_2=b_2
[/mm]
[mm] Be_3=b_3
[/mm]
Nun ist
[mm] B^2e_1=0
[/mm]
[mm] B^2e_2=0
[/mm]
[mm] B^2e_3=0
[/mm]
==> [mm] Be_2 [/mm] und [mm] Be_3 [/mm] sind im Kern von B
Also sind das Vielfache von [mm] e_1,
[/mm]
Somit hat man
[mm] Be_1=0
[/mm]
[mm] Be_2=\lambda e_1
[/mm]
[mm] Be_3=\mu e_1
[/mm]
==> die Matrix B hat höchstens den den Rang 1
==> Kern B hat mindestens die Dimension 2 . Widerspruch!
Gruß v. Angela
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