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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 09.01.2005 | | Autor: | schnecke |
Hallo an alle,
hab hier ne Aufgabe und komm nicht weiter.
Ich hab eine Matrix [mm] A\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } [/mm] gegeben und soll die Matrix S so bestimmen, dass [mm] S^{-1}AS [/mm] in Jordan-Noramlform ist.
Ich hab jetzt erstmal die JNF von A bestimmt. Dazu muss das charakteristische Polynom Null sein und ich muss das Minimalpolynom berechnen. Dabei komm ich auf die JNF von A= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Stimmt das schon mal?
Danach hab ich versucht S zu berechnen. Dazu hab ich die Eigenwerte von A bestimmt. Das charakteristischt Polxnom ist [mm] (x-2)^{2}, [/mm] also hat es nur die 2 als Nullstelle. Daraus folgt, dass A nur [mm] \lambda=2 [/mm] als Eigenwert hat. Wenn ich jetzt die Eigenvektoren bestimme, bekomme ich auch nur einen einzigen. Also kann ich S auch nur mit zwei linear abhängigen Vektoren aufstellen. Dann ist S aber nicht invertierbar.
Kann mir bitte jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Gruß,
Schnecke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 09.01.2005 | | Autor: | andreas |
> Hallo an alle,
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> hab hier ne Aufgabe und komm nicht weiter.
> Ich hab eine Matrix [mm]A\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 }[/mm] gegeben und
> soll die Matrix S so bestimmen, dass [mm]S^{-1}AS[/mm] in
> Jordan-Noramlform ist.
>
> Ich hab jetzt erstmal die JNF von A bestimmt. Dazu muss das
> charakteristische Polynom Null sein und ich muss das
> Minimalpolynom berechnen. Dabei komm ich auf die JNF von A=
> [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 }
[/mm]
> Stimmt das schon mal?
ja das stimmt.
> Danach hab ich versucht S zu berechnen. Dazu hab ich die
> Eigenwerte von A bestimmt. Das charakteristischt Polxnom
> ist [mm](x-2)^{2},[/mm] also hat es nur die 2 als Nullstelle.
das wusstest du ja auch schon aus deiner jordan-normal-form, denn in dieser stehe nur eigenwerte auf der hauptdiagonalen.
> Daraus folgt, dass A nur [mm]\lambda=2[/mm] als Eigenwert hat. Wenn
> ich jetzt die Eigenvektoren bestimme, bekomme ich auch nur
> einen einzigen. Also kann ich S auch nur mit zwei linear
> abhängigen Vektoren aufstellen. Dann ist S aber nicht
> invertierbar.
genau. wenn du zwei linear unabhängige eigenvektoren erhalten würdest wäre $A$ ja diagonalisierbar. hier erhälst du nur einen eigenvektor von $A$ (z.b. [m] \textbf{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) [/m] - für diesen gilt [m] A \textbf{v}_1 = 2 \textbf{v}_1 [/m] vergeliche das mit dem ersten basisvektor zu deiner jordan-normalform!) und musst nun den zweiten basisvektor [m] \textbf{v}_2 [/m] bezüglich dem die matrix jordan-normal-form hat bestimmen, so dass [m] A \textbf{v}_2 = \textbf{v}_1 + 2 \textbf{v}_2 [/m]. (vergleiche dies mal mit dem ergebnis, wenn du den zweiten basisvektor auf deine jordan-normal-form multiplizierst - da erhälst du genau diese gleichung).
daraus erhälst du ein lineares gleichungssystem für die beiden einträge des vektors [m] \textbf{v}_2 [/m] das du nun noch lösen musst, nämlich
[m] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } \left( \begin{array}{c} v_2^1 \\ v_2^2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}1 \\2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2v_2^1 \\ 2v_2^2 \end{array} \right) [/m]
das kannst du ja mal probieren.
ich hoffe die erklärung ist etwas hilfreich, da das über das internet zu erklären wohl nicht so einfach ist. wenn noch etwas unklar sein sollte frage einfach nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 So 09.01.2005 | | Autor: | schnecke |
Hallo Andreas,
erstmal danke für deine Antwort.
Das mit den Basisvektoren hab ich nicht so ganz verstanden, aber ich hab jetzt mal mit deinem linearen Gleichungssystem [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 3 } \vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 1}+\vektor{2x \\ 2y} [/mm] weiter gerechnet. So komm ich dann auf den zweiten Vektor [mm] v_{2}= \vektor{1 \\ 2}.
[/mm]
Somit ist S= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 }. [/mm] Stimmt das?
Für [mm] S^{-1} [/mm] erhalte ich dann [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 }. [/mm] Für [mm] S^{-1}AS [/mm] bekomm ich auch die Jordan-Normalform raus.
Wäre jetzt super wenn du mir das mit den Basisvektoren noch etwas erläutern könntest.
Grüße,
Schnecke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 09.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ob deine rechnungen stimmen habe ich jetzt nicht kontroliert, ich denke aber das dem schon so ist, wenn das richtige herauskommt.
es ist ja beim diagonalisieren einer matrix $A$ so das du an einer gestalt [m] \left( \begin{array}{cccc} \lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2 & 0 \\
& \ddots & \ddots & \ddots \\
& & 0 & \lambda_n \end{array} \right) [/m] interesiert bist, also nach einer basis [m] \mathcal{B} = \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \hdots, \textbf{v}_n \} [/m] suchst, so dass [m] A\textbf{v}_i = \lambda_i \textbf{v}_i [/m].
hier willst du ja eine gestalt [m] \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) [/m] erreichen, du suchst also analog zu oben eine basis [m] \mathcal{B} = \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2 \} [/m], so dass [m] A \textbf{v}_1 = 2 \textbf{v}_1 [/m] und [m] A\textbf{v}_2 = \textbf{v}_1 + 2 \textbf{v}_2 [/m], was sich einfach durch das multiplizieren der basisvektoren an die matrix in der gewünschten dartelleung ergibt (die du ja davor schon bestimmt hast). somit ist eben [m] \textbf{v}_1 [/m] ein eigenvektor zum eigenwert [m] \lambda=2 [/m] den du schon berechnet hattest und für [m] \textbf{v}_2 [/m] ergibt sich eben das gleichungssystem, das du in der zwischenzeit auch gelöst hast!
ist das jetzt klarer? sonst frage einfach nochmal nach!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 So 09.01.2005 | | Autor: | schnecke |
Jetzt hab ich es verstanden. Ich stand wohl auch etwas auf der Leitung.
Vielen Dank nochmal.
Schnecke
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