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Jordan-Normalform: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 So 03.07.2005
Autor: rscharrer

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



Hallo.

Hätte da mal wieder ne Frage an das weltbeste Forum!

Ungeliebtes Thema: Jordan-Normalform.

Hab ne A Matrix gegeben mit A=  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

und soll diese in Jordanscher Normalform darstellen und kann mir hierbei einfach keinen Reim machen.

1. charakteristische Polynom bestimmen: p(A) = [mm] (1-w)^3 [/mm] bei rgA = 3
dreifacher Eigenwert = 0  und weiter?

Dann setzts bei mir aus...

Komm mit den ganzen Jordan-Kästchen usw. nicht zurecht.

Wäre echt nett, wenn sich jemand meiner annehmen könnte.

Vielen Dank

Gruß Roland

        
Bezug
Jordan-Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 So 03.07.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Nicht [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist dreifacher Eigenwert, sondern [mm] $\lambda=1$. [/mm]

Die Jordansche Nromalform hat

$3- [mm] \mbox{rang}(A-1 \cdot E_3) [/mm] = 3-1=2$

Jordanblöcke.

Damit muss sie zwangsläufig (modulo Vertauschung der beiden Blöcke) so aussehen:

[mm] $\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$. [/mm]

Man hätte auch so argumentieren können: Das Minimalpolynom ist

[mm] $MP_A(t) [/mm] = [mm] (t-1)^2$, [/mm]

also enthält $A$ mindestens einen Jordan-Block der Größe 2.

Falls ihr die $1$en unter die Diagonale schreibt (wie es einige Lehrbücher tun), dann mache es so. :-)

Viele Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Jordan-Normalform: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:23 Mo 04.07.2005
Autor: rscharrer

Danke für die rasche Antwort.

Das mit der Anzahl der Jordan-Blöcke kann ich noch nachvollziehen.
Der nächste Schritt ist mir schleierhaft. Haben in der Vorlesung niemals
eine modulo Vertauschung durchgeführt.
Gibt´s da noch eine andere Lösungmöglichkeit?
Wie zeige ich denn die Jordanblöcke auf? Jordanblöcke beziehen sich, wenn ichs richtig verstanden hab auf Teile der angegebenen Matrize oder?
Meine Literatur hilft mir da auch nicht weiter und der Assistent kann auch nur umständlich erklären.

Vielen Dank im voraus.

Gruß Roland

Bezug
                        
Bezug
Jordan-Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:00 Di 05.07.2005
Autor: Nam

Hallo Roland,

mit "modulo Vertauschung der beiden Blöcke" meint Stefan wohl,
dass es egal ist, in welcher Reihenfolge man die Jordan-Blöcke
in der Jordan Matrix schreibt - denn das ist wirklich egal.

Das Minimalpolynom lautet ja [mm](t-1)^2[/mm].
Folglich ist der größte Jordan-Block der Jordan Matrix
eine [mm]2 \times 2[/mm] Matrix, die so aussehen muss (weil der Eigenwert 1 ist):
[mm]\pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}[/mm]
Bleibt eine [mm]1 \times 1[/mm] Matrix übrig, nämlich einfach [mm]\pmat{1}[/mm].

Wenn du diese Jordan Blöcke alle zusammen in einer neuen
Matrix auf die Diagonale schreibst und den Rest mit Nullen
füllst, bekommst du die Jordan Matrix. In deinem Fall:
[mm]\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
Oben links der 2x2 Block und unten rechts der 1x1 Block, kannst
du wie gesagt aber auch andersherum schreiben.



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