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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 29.09.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich glaube, ich habe das mit der Normalform fast verstanden - aber zwei Fragen habe ich doch noch:
[mm] A=\pmat{3&4&3\\-1&0&-1\\1&2&3}
[/mm]
das charakteristische Polynom ist [mm] P_A=-(t-2)^3
[/mm]
der Eigenwert [mm] \lambda=2 [/mm] ist also dreifach und der Eigenraum [mm] Eig(A;2)=\{\vektor{1\\-1\\1}*r\} [/mm] ist eindimensional
Bin ich jetzt mit der Jordannormalform schon fertig, weil ich weiß, dass es nur ein Jordankästchen gibt? Also:
[mm] J_A=\pmat{2&1&0\\0&2&1\\0&0&2}
[/mm]
Und nur, wenn es mehrere Möglichkeiten für die "Verteilung der Kästchen" (also z. B. bei zwei Kästchen zu einem vierfachen Eigenwert könnte man ja ein Einerkästchen und ein Dreierkästchen machen oder auch zwei Zweierkästchen), dann muss ich über die Haupträume und so gehen?
Und jetzt noch zu der Transformationsmatrix:
[mm] (A-2*E)=\pmat{1&4&3\\-1&-2&-1\\1&2&1};\; Ker(A-2*E)=\{\vektor{1\\-1\\1}*r\}
[/mm]
[mm] (A-2*E)^2=\pmat{0&2&2\\0&-2&-2\\0&2&2};\; Ker(A-2*E)^2=\{\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\1\\1}\}
[/mm]
[mm] (A-2*E)^3=\pmat{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0};\; Ker(A-2*E)^3=\IR^3
[/mm]
Nun nehme ich den Vektor [mm] \vektor{0\\0\\1}\in Ker(A-2*E)^3, [/mm] denn er liegt nicht in [mm] Ker(A-2*E)^2. [/mm] Ich bilde [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] mit (A-2*E) ab und erhalte: [mm] \vektor{3\\-1\\1} [/mm] und ich bilde ihn mit [mm] (A-2*E)^2 [/mm] ab und erhalte: [mm] \vektor{2\\-2\\2}.
[/mm]
Jetzt habe ich drei linear unabhängige Vektoren und würde sagen, sie bilden mein [mm] S^{-1} [/mm] so dass [mm] J_A=S*A*S^{-1}. [/mm] Allerdings bekomme ich da etwas anderes raus. Wahrscheinlich habe ich irgendwo einen Fehler gemacht - nur wo? Oder ist es etwa doch nur ein Rechenfehler?
Viele Grüße
Bastiane
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
Allerdings hatte ich es noch bei einer anderen Aufgabe genauso gerechnet und da kam leider auch nicht das Gewünschte raus. :-( Muss dann wohl auch ein Rechenfehler gewesen sein. Aber so lange es nur das ist. 
