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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Jordan Normalform
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Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Sa 16.09.2006
Autor: Moe007

Habe die Matrix:

[mm] \pmat{ -10 & 0 & 16 \\ 0 & 3 & 0\\ -9 & 0 & 14} [/mm]

Wie finde ich die Jordan Normalform. Maple sagt, es gibt Sie.

Folgendes weiß ich: Eigenwerte sind 3 und 2.

3 hat die algebraische Vielfachheit 1
2 hat die algebraische Vielfachheit 2



        
Bezug
Jordan Normalform: Gesuchte J.-Normalform
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 11:50 So 17.09.2006
Autor: BKM

Hallo und guten Morgen.
Meine Lösung für die gestellte Frage sieht, wenn ich Sie richtig verstanden habe, sieht wie folgt aus:
[img][url=1]

BKM

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Jordan Normalform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 So 17.09.2006
Autor: BKM

Hallo.

Leider hat es mit dem Hochladen der Datei ( Anhang ) nicht funktioniert. Lag an mir. Ziehe meine Antwort zurück. BKM

Bezug
        
Bezug
Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 So 17.09.2006
Autor: ullim

Da Du ja die Eigenwerte von A und deren Vielfachheit kennst

und jede Jordanmatrix J das Aussehen

J = [mm] \pmat{ J_1 & & \\ & ... & \\ & & J_n } [/mm] mit Jordanblöcke [mm] J_i [/mm] besitzt

und jeder Jordanblock [mm] J_i [/mm] die Gestalt

[mm] J_i [/mm] = [mm] \pmat{ \lambda_i & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & ... & \lambda_i & 1 \\ 0 & ... & ... & ... & \lambda_i } [/mm]

mit [mm] \lambda_i [/mm] Eigenwert von A hat [mm] \Rightarrow [/mm]

Die Jordanblöcke haben das Aussehen

[mm] J_1 [/mm] = 3 und

[mm] J_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 2 } [/mm]

da 3 die Vielfachheit 1 und 2 die Vielfachheit 2 hat [mm] \Rightarrow [/mm]

und die Jordansche Normalform sieht folgendermaßen aus

J = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2} [/mm]




mfg

ullim



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Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 So 17.09.2006
Autor: Moe007

Wie erhalte ich die Matrizen S und S^(-1) so dass gilt: J = S x A x S^(-1). Über das Aussehen der Matrix J sind wir uns einig.

Bezug
                        
Bezug
Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:38 So 17.09.2006
Autor: Kuebi

Hallo du!

Den genauen Turnus zur Berechnung von $S$ und [mm] S^{-1} [/mm] hier zu beschreiben, würde denke ich den Rahmen sprengen!

Allerdings hier zwei Links, die hilfreich sein sollten...

[guckstduhier][]Hier findest du eine super Anleitung zur Jordanform die neben dem Aufstellen der Jordanform dein Problem explizit behandelt!


[guckstduhier]Hier findest du eine Diskussion, in der das Thema schon einmal durchgekaut wurde!

Das müsste denke ich weiterhelfen!

Lg, Kübi
[huepf]

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Jordan Normalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 So 17.09.2006
Autor: Moe007

Das allgemeine Kochrezept ist klar. Nur bei dieser speziellen Matrix scheitere ich mit allen Kochrezepten. Es würde mir schon die Matrix S reichen, die Inverse kann ich dann schon selbst bestimmen.

Eigentlich habe ich eine Lösung für S^(-1):

[mm] \pmat{ 0 & 4 & -1/3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 } [/mm]

[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} [/mm] sind Eigenvektoren von A. Den Vektor [mm] \vektor{-1/3 \\ 0 \\ 0} [/mm] habe ich mit Maple erraten.

Bestimmt man nun noch S erhält man für J = [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 } [/mm]

Das Entscheidende ist der dritte Vektor, bzw. wie ich ihn mathematisch errechnen kann.

Danke & Gruß Meo007

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Jordan Normalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Mo 18.09.2006
Autor: ullim

Wenn Du nach der geposteten Aneitung von Kuebi vorgehst, bekommst Du für [mm] \lambda [/mm] = 2

(A - [mm] \lambda*I)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

D.h Du hast zwei Basisvektoren für Kern(A - [mm] \lambda*I)^2 [/mm]

[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Hiervon suchst Du dir einen aus der nicht in

Kern (A - [mm] \lambda*I) [/mm] liegt. Also z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Einen zweiten Basisvektor bekommst Du nach der Anleitung durch (A - [mm] \lambda*I)* \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{-12 \\ 0 \\ -9} [/mm]

Daraus ergibt sich die Matrix S = [mm] \pmat{ -12 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -9 & 0 & 0 } [/mm]

und [mm] S^{-1} [/mm] * A * S   ergibt [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm]

die von Dir angegebenen Vektoren erhälts Du durch teilen durch -3

mfg

ullim

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