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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:45 Fr 16.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, die Matrix einer direkten Summe von linearen Endomorphismen ist
bezüglich geeigneter Basen gerade die direkte Summe der Matrizen der
Summanden,
M(f [mm] \oplus [/mm] g) = M(f) [mm] \oplus [/mm] M(g). |
Hallo erstmal an euch alle,
da wir gerad tief im Thema Jordansche Normalform stecken, denk ich mal das ich das mithilfe von eben dieser beweisen soll.
Wenn ich mir das jetzt so hinbiege, dass
f: V->V ist k-linearer Endomorphismus mit dim V < [mm] \infty
[/mm]
sei weiter k hinreichend groß, dann gibt es eine Jordanbasis von V bzgl. f, d.h eine basis bzgl. welcher die matirx von V eine direkte summe von jordanblöcken ist.
seinen nun [mm] c_{1} [/mm] bis [mm] c_{r} [/mm] die eigenwerte von f.
==> V zerfällt in [mm] V=V_{c_{1}} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus V_{c_{r}}.
[/mm]
Da die Haupträume [mm] V_{c_{i}} [/mm] invariant bzgl. f sind folgt
[mm] M(f)=M(f_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(f_{r})
[/mm]
für g sollen die annahmen äquivalent gelten
also
M(f) [mm] \oplus [/mm] M(g) = [mm] M(f_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(f_{r}) \oplus M(g_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(g_{r})
[/mm]
= [mm] M(f_{1}) \oplus M(g_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(f_{r}) \oplus M(g_{r})
[/mm]
= [mm] M(f_{1} \oplus g_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(f_{r} \oplus g_{r})
[/mm]
= M(f [mm] \oplus [/mm] g)
kann ich das so machen oder hab ich da mal wieder was übersehen/unterschätzt?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:57 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Leipziger |
| Aufgabe | Zeigen Sie, die Matrix einer direkten Summe von linearen Endomorphismen ist geeigneter Basen gerade die direkte Summe der Matrizen der Summanden,
M(f⊕g) = M(f) ⊕ M(g). |
hallo,
habe hierzu gar keine idee, kann vllt einer einen lösungsansatz oder tipp geben?
danke im voraus!
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Hallo,
vielleicht ist es sinnvoll, wenn Du mal die Def. für die direkte Summe von Endomorphismen und Matrizen postest. Ich jedenfalls habe das nicht parat und find's auch nicht, und da noch kein anderer geantwortet hat, könnte ich mir vorstellen, daß ich nicht die einzige bin, der es so geht.
Außerdem hast Du damit dann auch einen kleinen Lösungsansatz geliefert, mit der Kenntnis der Definitionen beginnt ja alles.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 So 18.05.2008 | | Autor: | Leipziger |
Leider ist das mein Problem, ich finde eben keine Defenition für sowas und komm deshalb auch nicht weiter!
Vllt eine Idee wie ich vorgehen könnte?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 09:54 Mo 19.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | | Skript: 5.2.5. Beispiel: direkte summe von Matritzen |
Seinen [mm] A_{1},...,A_{r} [/mm] quadratische Matritzen mit Einträgen aus K. Dann heißt die Matrix A= [mm] \pmat{ A_{1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & A_{2} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & A_{r} } [/mm] welche sich aus den auf der Hauptdiagonalen angeordneten Matritzen [mm] A_{i} [/mm] zusammensetzt und welche außerhalb dieser so angeornete Blöcke als Einträge nur Null besitzt, direkte Summe von [mm] A_{1},...,A_{r} [/mm] und wird auch wie folgt bezeichnet, [mm] A=A_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus A_{r}.
[/mm]
zur direkten Summe von Endomorphismen habe ich weder in meinem Skript noch im Netz was gefunden. Aber evt. noch als anmerkung:
bei meinem lösungsversuch oben habe ich bis zu der zeile
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Da die Haupträume [mm] V_{c_{i}} [/mm] invariant bzgl. f sind folgt
[mm] M(f)=M(f_{1}) \oplus [/mm] ... [mm] \oplus M(f_{r})
[/mm]
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alles meinem Skipt zum Punkt
"Jordansche Normalform eines Endomorphismus entnommen."
Ich muss zwar gleich los und die Aufgabe abgeben aber würde es trotzdem toll finden wenn ich euch damit weiterhelfen konnte und wir das ding noch zusammen lösen könnten.
mfg Maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Fr 23.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 20.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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