Jordannormalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:13 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
habe auf wiki geschaut, das beispiel war mir viel zu kompliziert.
Also ich soll erstmal die EW bestimmen, man kann bei A ablesen, [mm] (L=0)^3
[/mm]
also algr. vielfachheit =3
A und Matrix (A-LE) sind identisch (?) und deren rang =2
stimmts und was mach ich jetzt?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 02.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
versuche es doch mal ![[]](/images/popup.gif) hiermit!
Du hast für die erste Matrix
[mm] A:=\pmat{ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
als einzigen Eigenwert [mm] \lambda{=0} [/mm] erhalten.
> A und Matrix (A-LE) sind identisch (?) und deren rang =2
> stimmts und was mach ich jetzt?
Du musst [mm] Kern(A-\lambda*E)=Kern(A-0*E)=Kern(A) [/mm] berechnen.
Im nächsten Schritt berechnest du
[mm] Kern((A-\lambda*E)^2), [/mm] und letztendlich [mm] Kern((A-\lambda*E)^3). [/mm] Verwende dein Skript, um zu sehen, warum es ausreicht bis [mm] Kern((A-\lambda*E)^3) [/mm] zu berechnen.
Nehme den Vektor $v$ mit [mm] v\in{Kern((A-\lambda*E)^3)}, [/mm] aber [mm] v\notin{Kern((A-\lambda*E))} [/mm] und [mm] v\notin{Kern((A-\lambda*E)^2)} [/mm] und so erhälst du ein System S linear unabhängiger Vektoren durch
[mm] $S:=\{v,A*v,(A-\lambda*E)^2*v\}.$
[/mm]
Du kannst dir die drei linear unabhängigen Vektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix T schreiben. Da [mm] v,A*v,(A-\lambda*E)^2*v [/mm] linear unabhängig, ist T invertierbar und es gilt für die Jordannormalform:
[mm] J=T^{-1}*A*T.
[/mm]
Gruß barsch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:15 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
ein bisschen hab ichs verstanden:
mit Dimensionsformel habe ich errechnet:
KerA^(0,1,2,3)= (0,1,2,2), stimmts?
so wohin gehe ich von hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 02.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> ein bisschen hab ichs verstanden:
>
> mit Dimensionsformel habe ich errechnet:
>
> KerA^(0,1,2,3)= (0,1,2,2), stimmts?
ich würde dir gerne weiterhelfen, aber ich weiß nicht, wie du das meinst?
Hast du dir die Beispielaufgaben in dem Kochrezept einmal angesehen?
Was ist denn [mm] Ker(A-\lambda*E)=Ker(A-0*E)=Ker(A)
[/mm]
Das sind doch alle Vektoren [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\in\IR^3 [/mm] für die gilt:
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0}* \vektor{x \\ y \\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Wenn die Matrix A Rang 2 hat, welche Dimension hat denn dann der Kern von A?
[mm] Ker((A-0*E)^2)=Ker(A^2)
[/mm]
Wie sieht [mm] A^2 [/mm] aus? [mm] A^2=A*A=...
[/mm]
Wie sieht der Kern von [mm] A^2 [/mm] aus?
Schließlich: [mm] Ker((A-0*E)^3)=Ker(A^3) [/mm] Und auch hier die Frage: Wie sieht der Kern von [mm] A^3 [/mm] aus?
Und welches Element liegt in [mm] Ker(A^3), [/mm] jedoch weder in [mm] Ker(A^2) [/mm] noch in Ker(A).
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:17 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
sorry habe nur dimKer und net die Kerns:
here goes:
von [mm] A^0 [/mm] bis [mm] A^3:
[/mm]
(0,0,0)
(r,0,0)
(r,s,0)
(r,s,0)
hoff es stimmt. was mach ich damit?
der dimKer ist natürlich 1, 3-2=1
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Hallo domerich,
> sorry habe nur dimKer und net die Kerns:
> here goes:
>
> von [mm]A^0[/mm] bis [mm]A^3:[/mm]
>
> (0,0,0)
Ist klar, da die Einheitsmatrix immer vollen Rang hat.
> (r,0,0)
> (r,s,0)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (r,s,0)
Das stimmt net ganz:
[mm]\left(r,s,\red{t}\right) \in \operatorname{Kern}\left(A^{3}\right)[/mm]
>
> hoff es stimmt. was mach ich damit?
>
Suche Dir jetzt, wie barsch es beschrieben hat,
ein Element v aus [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{3}\right)[/mm], das weder in [mm]\operatorname{Kern}\left(A^{2}\right)[/mm]
noch in [mm]\operatorname{Kern}\left(A\right)[/mm] liegt, aus.
>
> der dimKer ist natürlich 1, 3-2=1
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
Element as in "t" ?
mein [mm] A^3 [/mm] kern ist falsch weil ich keine Nullmatrix rausbekommen habe, fehler ist entdeckt.
gut also t kommt nur in [mm] A^3 [/mm] vor.
was ist als nächstes?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
Element as in "t" ?
mein [mm] A^3 [/mm] kern ist falsch weil ich keine Nullmatrix rausbekommen habe, fehler ist entdeckt.
gut also t kommt nur in vor.
was ist als nächstes?
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Hallo domerich,
> Element as in "t" ?
Du kannst auch jeden anderen Buchstaben ausser r,s,t wählen.
>
> mein [mm]A^3[/mm] kern ist falsch weil ich keine Nullmatrix
> rausbekommen habe, fehler ist entdeckt.
>
> gut also t kommt nur in vor.
>
> was ist als nächstes?
Das haben Dir barsch und ich beschrieben,
was das als nächstes zu tun ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
gut ich bin leider nicht so klug wie ihr beiden.
ich frage doch nicht zum spaß.
ich kann lesen: S= (v, A*v, und [mm] A^2*v)
[/mm]
soll ich das als nächstes rechnen? das gäbe 3 spalten-> eine matrix.
und was ist denn nun mein v? wenn t exklusiv ist, vielleicht ein vektor
(0,0,t)?
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Hallo domerich,
> gut ich bin leider nicht so klug wie ihr beiden.
> ich frage doch nicht zum spaß.
>
> ich kann lesen: S= (v, A*v, und [mm]A^2*v)[/mm]
> soll ich das als nächstes rechnen? das gäbe 3 spalten->
> eine matrix.
>
> und was ist denn nun mein v? wenn t exklusiv ist,
> vielleicht ein vektor
> (0,0,t)?
Ja, nehme hier als v ein konkretes Element z.B
[mm]v=\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Bilde dieses v, wie durch die Matrix S vorgegeben, ab.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | domerich |
gut habe ich gemacht,
kriege raus:
[mm] \pmat{ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&0&0}
[/mm]
das sieht nicht sehr nach ner Jordanmatrix aus allerdings :(
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Hallo Unk,
> gut habe ich gemacht,
> kriege raus:
>
> [mm]\pmat{ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&0&0}[/mm]
>
> das sieht nicht sehr nach ner Jordanmatrix aus allerdings
> :(
Das ist erstmal die Jordanbasis.
Um zur Jordanmatrix zu kommen, berechne
[mm]\pmat{ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&0&0}^{-1}*\pmat{0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0}*\pmat{ 0 & 1 &1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1&0&0}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Fr 03.07.2009 | | Autor: | domerich |
aja da komme ich auf folgende matrix:
[mm] \pmat{ 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}
[/mm]
wäre nett wenn das jemand verifizieren könnte. ansonsten vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Fr 03.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> aja da komme ich auf folgende matrix:
>
> [mm]\pmat{ 0&1&0\\1&0&0\\0&0&0}[/mm]
das müsste dir doch eigentlich spanisch vorkommen. Kann die Jordannormalform so aussehen? Vielleicht hast du einen Fehler gemacht bei der Multiplikation oder bei der Berechnung der Inversen. So ist es nicht korrekt!
Gruß barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Fr 03.07.2009 | | Autor: | domerich |
die inverse wurde mit http://www.dm.ufscar.br/profs/waldeck/inverter.html berechnet, von hand kriege ich folgende inverse
0 0 -1
0 -1 0
-1 -1 0
ist das soweit korrekt?
dann ist meine neue lösung die auch nicht gut aussieht:
0 0 0
0 -1 0
-2 -1 0
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Ob das die Inverse ist, kannst du doch mit einer einfachen Matrixmultiplikation selbst testen.
Nach meiner Rechnung ist es NICHT die richtige Inverse zu [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 &0 \\ 1 & 0 & 0}
[/mm]
Meine Inverse heißt [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0}.
[/mm]
Damit ist natürlich auch mein Ergebnis ein anderes.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Fr 03.07.2009 | | Autor: | domerich |
ich habe mich mal an B gewagt und stecke fest, weil ich nicht nur einen EW habe wie bei B.
soweit meine rechnungen:
EWs: doppelte nullstelle 1, einfache -1
ew1 hat algbr. vielfachheit 2.
also rechne ich Kern(B- [mm] \lambda E)^0...(B- \lambda E)^2
[/mm]
die kerne sind soweit:
(0,0,0)
(r,s,r)
(r,s,r)
jeder v ist im vorherigen enthalten. also habe ich kein v soweit.
was muss ich jetzt machen, der EW-1 ist ja noch nicht berücksichtigt
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Hallo domerich,
> ich habe mich mal an B gewagt und stecke fest, weil ich
> nicht nur einen EW habe wie bei B.
>
> soweit meine rechnungen:
>
> EWs: doppelte nullstelle 1, einfache -1
> ew1 hat algbr. vielfachheit 2.
>
> also rechne ich Kern(B- [mm]\lambda E)^0...(B- \lambda E)^2[/mm]
Berechne zunächst [mm]\operatorname{Kern}\left(B-\lambda*E\right)[/mm]
Aus der Lösungsmenge dieses Kerns für einen Eigenwert [mm]\lambda[/mm]
siehst Du dann, ob weitere Berechnungen notwendig sind.
>
> die kerne sind soweit:
> (0,0,0)
> (r,s,r)
> (r,s,r)
>
> jeder v ist im vorherigen enthalten. also habe ich kein v
> soweit.
>
> was muss ich jetzt machen, der EW-1 ist ja noch nicht
> berücksichtigt
>
Da die Lösungsmenge von [mm]\operatorname{Kern}\left(B-1*E\right)[/mm]
zwei Unbekannte enthält, kannst Du das auch so schreiben:
[mm]\pmat{r \\ s \\ r}=r*\pmat{... \\ ... \\ ...}+s*\pmat{... \\ ... \\ ...}[/mm]
Damit hast Du schon 2 Eigenvektoren gefunden.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Fr 03.07.2009 | | Autor: | domerich |
danke soweit.
also da
r(1,0,1)
und
s(0,1,0)
nicht in
in [mm] A-E^0 [/mm] enthalten sind, der ja (0,0,0) ist, habe ich also 2 EV.
das heißt ich breche hier ab und [mm] A-E^2 [/mm] interessiert nicht?
heißt das ist darf mir einen der beiden raussuchen und so meine jordanbasis berchenen?
heißt das der EW-1 ist egal?
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Hallo domerich,
> danke soweit.
>
> also da
>
> r(1,0,1)
> und
> s(0,1,0)
> nicht in
> in [mm]A-E^0[/mm] enthalten sind, der ja (0,0,0) ist, habe ich also
> 2 EV.
> das heißt ich breche hier ab und [mm]A-E^2[/mm] interessiert
> nicht?
Richtig.
>
> heißt das ist darf mir einen der beiden raussuchen und so
> meine jordanbasis berchenen?
Du brauchst beide Eigenvektoren.
>
> heißt das der EW-1 ist egal?
Nein, da Du einen zweifachen Eigenwert [mm]\lambda=1[/mm] hast,
benötigst Du auch zwei Eigenvektoren.
Jetzt mußt Du noch den anderen Eigenvektor zum Eigenwert -1 berechnen.
Und dann bilden alle diese Eigenvektoren zusammen eine Jordanbasis.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 03.07.2009 | | Autor: | domerich |
kay der EV zur L=-1 habe ich
(-t , 0, t )
verständnisfrage
habe ich 3fache NS, brauche ich einen EV,
habe ich eine 2fache brauche ich 2
habe ich eine einzelne (wie oben) brauche ich nur einen EV?
was war bei der aufgabe A denn anders, da musste ich ja was mit v*A machen, hier habe ich S einfach schon durch die EV, warum?
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Hallo domerich,
> kay der EV zur L=-1 habe ich
> (-t , 0, t )
>
> verständnisfrage
>
> habe ich 3fache NS, brauche ich einen EV,
> habe ich eine 2fache brauche ich 2
> habe ich eine einzelne (wie oben) brauche ich nur einen
> EV?
Das ist etwas anders.
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] ist
gleichbedeutend mit der Vielfach der Nullstellen im charakteristischen Polynom.
Nun werden Eigenvektoren solange berechnet, bis
[mm] \summe_{k=1}^{}\operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern}\left(A-\lambda*E\right)^{k}\right)[/mm]
der algebraischen Vielfachheit entspricht.
>
> was war bei der aufgabe A denn anders, da musste ich ja was
> mit v*A machen, hier habe ich S einfach schon durch die EV,
> warum?
Hier war die Matrix A nilpotent vom Nilpotenzgrad 3.
Das heißt
[mm]\left(A-0*E\right) \not= 0, \ \left(A-0*E\right)^{2} \not= 0 , \ \left(A-0*E\right)^{3} = 0[/mm]
Gruß
MathePower
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