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Tag,
habe hier eine aufgabe zur jordannormalform und zwar
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 }
[/mm]
Dann gilt [mm] chpol(x)=g_{1}(x)^{2}*g_{2}(x)^{2} [/mm] mit [mm] g_{1}(x)=x^{2}+1 [/mm] ung [mm] g_{2}=x+1 [/mm] ferner gilt
[mm] g_{1}(A)=\pmat{ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -4 & 0 & -2 & 0 } [/mm] ,
[mm] g_{2}(A)=\pmat{ 1 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -3 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 1 }
[/mm]
und für [mm] Ker(g1(A));Ker(g2(A)),Ker(g1(A)^{2});Ker(g2(A)^{2}), [/mm] erhält man die Basen:
[mm] Ker(g1(A))=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
[mm] Ker(g1(A)^{2})= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] Ker(g2(A))=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1} [/mm]
[mm] Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Außerdem gilt [mm] Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3}
[/mm]
Ich soll jetzt die Transformationsmatrix bestimmen.
Da ja gilt [mm] Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3} [/mm] hat das längste Jordan-Kästchen die länge 2 und das einmal für g1 und g2.
Als erstes wähle ich einen Vektor aus(ohne Ker(g1(A))) [mm] Ker(g1(A)^{2}),z.b. \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] diesen Multiplizier ich mit g1(A) und erhalte [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Dann nehme ich mir einen Vektor aus (ohne Ker(g2(A))) [mm] Ker(g2(A)^{2}), [/mm] z.B. [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und diesen multiplizier ich mit g2(A) und erhalte [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
dann nehme ich mir einen vektor aus Ker(g1(A)) und einen aus Ker(g2(A)). Die Transformationsmatrix die ich erhalte lässt sich nicht invertieren, da ich wahrscheinlich linear abhängige Vektoren habe. Aber ich weiß leider nicht wo mein fehler liegt. Ich weiß nicht wie ich die vektoren sonst wählen soll.
brauche eure hilfe.
Lg
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> Tag,
> habe hier eine aufgabe zur jordannormalform und zwar
> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & -3 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Dann gilt [mm]chpol(x)=g_{1}(x)^{2}*g_{2}(x)^{2}[/mm] mit
> [mm]g_{1}(x)=x^{2}+1[/mm] ung [mm]g_{2}=x+1[/mm]
Hallo,
wir haben also das charakteristische Polynom
[mm] X_A(x)=(x-i)^2(x+i)^2(x+1)^2.
[/mm]
Wir sehen:
die Matrix hat drei Eigenwerte, nämlich [mm] \lambda_1=1, \lambda_2=i, \lambda_3=-i.
[/mm]
Jeder dieser Eigenwerte hat die algebraische Vielfachheit 2.
Wir wissen nun schonmal, daß die JNF so aussieht:
J=[mm]\pmat{ 1 & & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & i & & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & i & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -i & \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -i }[/mm]
Berechnen mußt Du nun erstmal die Kerne von [mm] (A-\lambda_iE).
[/mm]
Dann kennst Du die geometrische Vielfachheit der drei Eigenvektoren und kannst die JNF schonmal hinschreiben.
(Ich habe schonmal gerechnet: die Kerne haben alle die Dimension 1).
Für die Bestimmung einer Jordanbasis berechne dann erstmal noch die Kerne von
[mm] (A-\lambda_i)^2.
[/mm]
Entweder kommst Du dann schon allein weiter, oder wir machen weiter, wenn die Ergebnisse bis hierher stehen.
LG Angela
ferner gilt
> [mm]g_{1}(A)=\pmat{ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
-1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -4 & 0 & -2 & 0 }[/mm]
> ,
> [mm]g_{2}(A)=\pmat{ 1 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -3 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 1 }[/mm]
>
> und für
> [mm]Ker(g1(A));Ker(g2(A)),Ker(g1(A)^{2});Ker(g2(A)^{2}),[/mm]
> erhält man die Basen:
> [mm]Ker(g1(A))=\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> [mm]Ker(g1(A)^{2})= \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> [mm]Ker(g2(A))=\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
> [mm]Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
>
> Außerdem gilt
> [mm]Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3}[/mm]
> Ich soll jetzt die Transformationsmatrix bestimmen.
> Da ja gilt
> [mm]Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3}[/mm]
> hat das längste Jordan-Kästchen die länge 2 und das
> einmal für g1 und g2.
> Als erstes wähle ich einen Vektor aus(ohne Ker(g1(A)))
> [mm]Ker(g1(A)^{2}),z.b. \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},[/mm]
> diesen Multiplizier ich mit g1(A) und erhalte [mm]\vektor{-1 \\
-1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> Dann nehme ich mir einen Vektor aus (ohne Ker(g2(A)))
> [mm]Ker(g2(A)^{2}),[/mm] z.B. [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0}[/mm]
> und diesen multiplizier ich mit g2(A) und erhalte
> [mm]\vektor{-1 \\
-1 \\
-1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm]
> dann nehme ich mir
> einen vektor aus Ker(g1(A)) und einen aus Ker(g2(A)). Die
> Transformationsmatrix die ich erhalte lässt sich nicht
> invertieren, da ich wahrscheinlich linear abhängige
> Vektoren habe. Aber ich weiß leider nicht wo mein fehler
> liegt. Ich weiß nicht wie ich die vektoren sonst wählen
> soll.
> brauche eure hilfe.
>
>
> Lg
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Hallo, danke.
Ich rechne das jetzt durch.Kann man hier den nicht einfach eine transformationsmatrix angeben, denn eigentlich ist das hier eine klausuraudfgabe und wir sollten das nicht durchrechnen, da das zu viel zeit gekostet hätte, daher auch die 6 kreuz 6 matrix und die ganzen kerne sind doch schon angegeben, also ich habe das jetzt für den eigenwert -1 berechnet und kriege die selben wie in der aufgabenstellung, also [mm] Ker(g2(A))=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1} [/mm] und [mm] Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1}. [/mm]
????
Lg
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> Hallo, danke.
> Ich rechne das jetzt durch.Kann man hier den nicht einfach
> eine transformationsmatrix angeben,
Hallo,
ja, darauf steuern wir ja zu.
Bloß das Glück beginnt doch damit, daß Du das charakteristische Polynom erstmal in Linearfaktoren zerlegst. Wenn das nicht geht, kann man nämlich gleich einpacken: dann gibt's keine JNF.
Ach, übrigens: dieser Fall tritt ein, wenn Du die Aufgabe über [mm] \IR [/mm] lösen sollst...
Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung?
> denn eigentlich ist das
> hier eine klausuraudfgabe und wir sollten das nicht
> durchrechnen, da das zu viel zeit gekostet hätte, daher
> auch die 6 kreuz 6 matrix und die ganzen kerne sind doch
> schon angegeben, also ich habe das jetzt für den eigenwert
> -1 berechnet und kriege die selben wie in der
> aufgabenstellung, also [mm]Ker(g2(A))=\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
> und [mm]Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}.[/mm]
Als zweiten Vektor der Jordanbasis kannst Du dann [mm] \vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0} [/mm] nehmen, denn der ist nicht in Kern(A-(-1)*E),
und als ersten [mm] (A-(-1)E)*\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0}.
[/mm]
LG Angela
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Also die aufgabenstellung lautet bestimmen sie eine transformationsmatrix T für die gilt [mm] T^{-1}*A*T=J. [/mm] Sonst steht da alles so wie in meiner ersten Nachricht, nur hinter der Matrix steht [mm] \in Mat_{\IR} [/mm] (6,6)
Ist sie jetzt nicht lösbar, weil dort [mm] \IR [/mm] steht??
Also die Transformatiionsmatrix von mir beinhaltet ja die Vektoren, die du auch benutzen willst. Mir ist aufgefallen, dass ich meine Trans.matrix noch garnicht genau hingeschrieben habe:
T= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 }
[/mm]
Also irgendwie ist mir das immer noch nicht klar warum das nicht stimmt bzw. welcher vektor nicht stimmt. Ich glaube die vierte oder die sechste Spalte stimmt nicht, denn die sind linear abhängig.
Wo liegt mein fehler??
Gruß
Gruß
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> Also die aufgabenstellung lautet bestimmen sie eine
> transformationsmatrix T für die gilt [mm]T^{-1}*A*T=J.[/mm] Sonst
> steht da alles so wie in meiner ersten Nachricht, nur
> hinter der Matrix steht [mm]\in Mat_{\IR}[/mm] (6,6)
Hallo,
tja, solche unwesentlichen Details sind mitunter entscheidend.
> Ist sie jetzt nicht lösbar, weil dort [mm]\IR[/mm] steht??
Davon gehe ich stark aus, obgleich ich die Aufgabenstellung im Originalwortlaut immer noch nicht kenne.
Es geht hier offenbar um Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IR.
[/mm]
Und da das charakteristische Polynom über [mm] \IR [/mm] nicht in Linearfaktoren zerfällt, hat A über [mm] \IR [/mm] betrachtet nunmal keine JNF, so daß sich die Aufgabe erübrigt, sofern mit J die JNF von A gemeint sein soll.
LG Angela
> Also die Transformatiionsmatrix von mir beinhaltet ja die
> Vektoren, die du auch benutzen willst. Mir ist aufgefallen,
> dass ich meine Trans.matrix noch garnicht genau
> hingeschrieben habe:
> T= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & -1 & 1 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 }[/mm]
>
> Also irgendwie ist mir das immer noch nicht klar warum das
> nicht stimmt bzw. welcher vektor nicht stimmt. Ich glaube
> die vierte oder die sechste Spalte stimmt nicht, denn die
> sind linear abhängig.
> Wo liegt mein fehler??
>
>
> Gruß
>
>
> Gruß
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Morgen,
Also ich schreibe dir jetzt noch mal die Aufgabenstellung lautet:
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 } \in Mat_{\IR} [/mm] (6,6)
Dann gilt [mm] chpol(x)=g_{1}(x)^{2}\cdot{}g_{2}(x)^{2} [/mm] mit [mm] g_{1}(x)=x^{2}+1 [/mm] und [mm] g_{2}=x+1. [/mm] Ferner gilt [mm] g_{1}(A)=\pmat{ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -4 & 0 & -2 & 0 } [/mm] und [mm] g_{2}(A)=\pmat{ 1 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & -3 & -2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 1 } [/mm] und für [mm] Ker(g1(A));Ker(g2(A)),Ker(g1(A)^{2});Ker(g2(A)^{2}) [/mm] erhält man die Basen: [mm] Ker(g1(A))=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
[mm] Ker(g1(A)^{2})= \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] Ker(g2(A))=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
[mm] Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Außerdem gilt [mm] Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3} [/mm]
Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T für die gilt [mm] T^{-1}*A*T=J
[/mm]
Und ja mit J bezeichnen wir die Jordannormalform. Auch wenn es hier nicht geht, darf ich trotzdem erfahren wie deine Transformationsmatrix am Anfang, als du noch gedacht hast, dass es hier über [mm] \IC [/mm] läuft, aussieht.
Gruß
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> Morgen,
> Also ich schreibe dir jetzt noch mal die Aufgabenstellung
> lautet:
> Sei [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & -3 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 0 } \in Mat_{\IR}[/mm]
> (6,6)
> Dann gilt [mm]chpol(x)=g_{1}(x)^{2}\cdot{}g_{2}(x)^{2}[/mm] mit
> [mm]g_{1}(x)=x^{2}+1[/mm] und [mm]g_{2}=x+1.[/mm] Ferner gilt [mm]g_{1}(A)=\pmat{ -1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
-1 & 1 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & -4 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & -2 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -4 & 0 & -2 & 0 }[/mm]
> und [mm]g_{2}(A)=\pmat{ 1 & 0 & -3 & -2 & -1 & 1 \\
-1 & 0 & -3 & -2 & -1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 2 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 3 & 2 & 1 & 1 }[/mm]
> und für
> [mm]Ker(g1(A));Ker(g2(A)),Ker(g1(A)^{2});Ker(g2(A)^{2})[/mm] erhält
> man die Basen: [mm]Ker(g1(A))=\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
-1}[/mm]
>
> [mm]Ker(g1(A)^{2})= \vektor{1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1}[/mm]
>
> [mm]Ker(g2(A))=\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
>
> [mm]Ker(g2(A)^{2})=\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
-1 \\
-1 \\
-1}[/mm]
>
> Außerdem gilt
> [mm]Ker(g1(A)^{2})=Ker(g1(A)^{3});Ker(g2(A)^{2}=Ker(g2(A)^{3}[/mm]
> Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T für die gilt
> [mm]T^{-1}*A*T=J[/mm]
>
> Und ja mit J bezeichnen wir die Jordannormalform. Auch
> wenn es hier nicht geht,
Hallo,
ja, hier geht es nicht.
Merke Dir ab sofort, daß es eine JNF nur gibt, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Das ist hier, wo Ihr über [mm] \IR [/mm] arbeitet, nicht der Fall.
> darf ich trotzdem erfahren wie
> deine Transformationsmatrix am Anfang, als du noch gedacht
> hast, dass es hier über [mm]\IC[/mm] läuft, aussieht.
Die solltest lieber Du ausrechnen als ich...
Wie weit bist Du denn? Hast Du die Kerne, die ich Dir in meiner ersten Antwort gesagt hatte, ausgerechnet? Es geht dann weiter wie beim Eigenwert 1.
Dann stellst Du die ermittelten Vektoren in eine Matrix und hast T.
Ob Du's richtig gemacht hast, kannst Du am Ende bei Bedarf testen, indem Du die Matrizen multiplizierst und guckst, ob wirklich die JNF herauskommt.
LG Angela
>
> Gruß
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