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Jordannormalform Fehler: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Sa 02.07.2011
Autor: Harris

Hi!

Ich habe ein kleines Problem bezüglich der Jordannormalform.

z.B. Nehmen wir die Matrix [mm] \pmat{0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&2}. [/mm]

Die Eigenwerte berechnen sich schnell zu -1 (einfach) und 1 (doppelt).

Der Eigenraum zu -1 ist [mm] <\vektor{0\\1\\0}>. [/mm]

Der Eigenraum zu 1 ist [mm] <\vektor{1\\0\\-1}>. [/mm]

Der 1. Hauptraum zu 1 ist [mm] <\vektor{1\\0\\0},\vektor{0\\0\\1}>. [/mm]

Wie wähle ich jetzt hieraus meine Transformationsmatrix, damit auch wirklich als Jordannormalform [mm] \pmat{-1&0&0\\0&1&1\\0&0&1} [/mm] herauskommt?

Mir ist klar, dass sowohl [mm] \pmat{0&-1&0\\1&0&0\\0&1&1} [/mm] als auch [mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&-1&-1} [/mm] als Transformationsmatrizen taugen. Aber wie komme ich drauf, dass nicht z.B. [mm] \pmat{0&1&0\\1&0&0\\0&-1&1} [/mm] oder [mm] \pmat{0&-1&0\\1&0&0\\0&1&-1} [/mm] funktionieren?

        
Bezug
Jordannormalform Fehler: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 02.07.2011
Autor: angela.h.b.


> Hi!
>  
> Ich habe ein kleines Problem bezüglich der
> Jordannormalform.
>  
> z.B. Nehmen wir die Matrix [mm]\pmat{0&0&-1\\ 0&-1&0\\ 1&0&2}.[/mm]
>  
> Die Eigenwerte berechnen sich schnell zu -1 (einfach) und 1
> (doppelt).
>  
> Der Eigenraum zu -1 ist [mm]<\vektor{0\\ 1\\ 0}>.[/mm]
>  
> Der Eigenraum zu 1 ist [mm]<\vektor{1\\ 0\\ -1}>.[/mm]
>  
> Der 1. Hauptraum zu 1 ist
> [mm]<\vektor{1\\ 0\\ 0},\vektor{0\\ 0\\ 1}>.[/mm]
>  
> Wie wähle ich jetzt hieraus meine Transformationsmatrix,
> damit auch wirklich als Jordannormalform
> [mm]\pmat{-1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1}[/mm] herauskommt?
>
> Mir ist klar, dass sowohl [mm]\pmat{0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&1&1}[/mm] als
> auch [mm]\pmat{0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&-1&-1}[/mm] als
> Transformationsmatrizen taugen. Aber wie komme ich drauf,
> dass nicht z.B. [mm]\pmat{0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&-1&1}[/mm] oder
> [mm]\pmat{0&-1&0\\ 1&0&0\\ 0&1&-1}[/mm] funktionieren?


Hallo,

wenn Du als dritten Basisvektor [mm] v_3 [/mm] den Vektor [mm] v_3:=\vektor{0\\0\\1} [/mm] wählst,
muß ja der zweite Basisvektor [mm] v_2 [/mm] so sein, daß [mm] Av_3=1*v_2+1*v_3 [/mm] gilt. (S. letzte Spalte der JNF).

Man muß also [mm] v_2 [/mm] so nehmen, daß [mm] (A-E)v_3=v_2 [/mm] gilt, hat also, wenn man [mm] v_3 [/mm] festgelegt hat, keine Auswahl.

Gruß v. Angela


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