Jordannormalformen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Kjetil |
Hallo Leute,
ich hätte da eine Frage zu den Jordannormalformen.
Und zwar soweit ist es mir klar:
Also man bestimme von der Matrix A das Charakteristische Polynom. Die Nullstellen des Char. Pol. sind dann die Eigenwerte.
So jetzt hat die Jordannormalform doch auf der Diagonale genau diese Eigenwerte mit der Häufigkeit ihrer jeweiligen Vielfachheit stehen, oder?
Das bringt mich auf meine erste Unklarheit:
Ist die Permutation davon egal? Sprich ist es egal in welcher Reihenfolge ich die Eigenwerte in die Matrixdiagonale einsetze?
So weiter, unterhalb dieser Diagonalen sind nur Nullen, da die Jordanform ja eine Diagonalmatrix ist. Nur wie bekomme ich die Zahlen auf der Diagonalen über der Hauptdiagonalen??
Mal steht da ne 1 mal ne 0, der Rest der Matrix ist ja wieder Null.
Mit der Formel : Eigenvektor = (Matrix A - Eigenwert * Einheitsmatrix) * Hauptvektor, bekomme ich die Hauptvektoren, die doch die Transformationsmatrix T aufspannen mit [mm] TAT^{-1} [/mm] = J(A)
Ist da die Reihenfolge wieder egal?
Wäre für eine kurze aber verständliche Erklärung sehr sehr dankbar.
Lg Kjeti
Ich habe diese Frage in keine anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Sa 15.07.2006 | | Autor: | Janyary |
hi kjeti,
oki ich versuchs mal verstaendlich zu machen:)
die jordansche normalform besteht aus jordankaestchen. in der hauptdiagonalen stehen die eigenwerte. die reihenfolge spielt dabei keine rolle, bzw. ergibt sich, wenn du die jordansche normalform wirklich mittels transformationsmatrix berechnest. (die spalten deiner transformationsmatrix sind ja die basisvektoren der eigenraeume zu den jeweiligen eigenwerten. d.h. in deiner j-normalform wird z.b. in der ersten spalte der eigenwert stehen, der zu dem eigenvektor in der ersten spalte deiner transformationsmatrix gehoert. usw.) die anzahl dieser jordankaestchen wird durch die geometrische vielfachheit der eigenwerte bestimmt.
vielleicht ein bsp.
sei A eine 4x4-Matrix
mit [mm] \lambda_{1}=1, [/mm] algebr. VF: 2, geometr. VF: 2
und [mm] \lambda_{2}=-1, [/mm] algebr. VF: 2, geometr. VF 1
das heisst nun also du hast 2 jordankaestchen zum eigenwert 1 und ein jordankaestchen zum eigenwert -1. da es nur eine 4x4 matrix ist, ist die groese der einzelnen kaestchen auch klar. jene, die die groesse 1 haben (in unserm fall die zum eigenwert 1) sind die wo in der hauptdiagonalen dann nur der wert steht und nullen drueber. (d.h. ein kaestchen, das nur die 1 enthaelt.)die, die groesser sind, haben dann in der hauptdiagonalen den eigenwert und ausserdem die einsen.
also unsere jordansche normalform wuerde folgendermassen aussehen:
[mm] J=\pmat{ 1 & 0&0&0 \\ 0 & 1&0&0\\0&0&-1&1\\0&0&0&-1 }
[/mm]
so ich hoffe das hat dir erstmal geholfen, ansosten einfach nochmal nachfragen.
LG Jany
achso was mir grad noch eingefallen ist... die jordankaestchen sind immer quadratisch und die einzelnen enthalten gleiche eigenwerte. vielleicht um das mit den einsen noch bisschen klarer zu machen, wenn du z.b. ein jordankaestchen der groesse 3 hast, ist das also ein "3x3-kaestchen", auf der diagonalen steht 3x der gleiche eigenwert und neben jedem eigenwert steht eine 1 (ausser natuerlich in der letzten spalte deines kaestchens)
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