Jordansche Normalform + Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Man bestimme die Jordansche Normalform der Matrix
A [mm] =\pmat{ 3 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -1 }
[/mm]
(b) Man gebe eine dazugehörige Basis an. |
hi, ich hab irgendwie ein totales problem die basis zu bestimmen. irgendwo hakts da bei mir im kopf und so habe ich nochmal ne alte aufgabe rausgesucht. ich hoffe ihr könnt mir sagen ob ich es diesmal richtig hinbekommen habe.
A [mm] =\pmat{ 3 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -1 }
[/mm]
[mm] M=(A-\lambdaE)=A =\pmat{ 3-\lambda & -3 & -4 \\ -1 & 3-\lambda & 2 \\ 1 & -2 & -1-\lambda }
[/mm]
[mm] detM=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=1, \lambda_{2,3}=2
[/mm]
[mm] dimEig_{1}=1, dimEig_{2}=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow J_{A}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
zur Basis:
[mm] Ab_{1}=b_{1} \Rightarrow (A-E)b_{1}=0 \Rightarrow b_{1}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] (A-2E)b_{2}=0 \Rightarrow b_{2}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
[mm] Ab_{3}=2b_{3}+b_{2} \Rightarrow (A-2E)b_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} \Rightarrow b_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
so, ich vermute aber dass das wieder falsch ist. wäre nett wenn ihr mir sagen würdet (wenn es falsch ist) wo meine fehler anfangen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Mo 23.07.2007 | | Autor: | twoways |
Also die Eigenwerte sind korrekt.
Der erste Eigenvektor ist ebenfalls korrekt.
Ich denke, es ist korrekt, da die Determinate der Basis = -1 ist, sind die angegeben Vektoren lin. unab. - und im [mm] \IR^3 [/mm] ist die maximale Basis eben 3 lin. unab. Vektoren, die du gefunden hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 23.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ist B die Basis bezüglich derer die Matrix A Jordansche Normalform hat, dann gilt:
[mm] B^{-1}*A*B=J_A
[/mm]
$ [mm] B=\pmat{ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 } [/mm] $ [mm] \Rightarrow B^{-1}=\pmat{ -1 & 2 & 3 \\ 2 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 } [/mm]
Wenn ich jetzt
[mm] B^{-1}*A*B=J_A [/mm] berechne, komme ich nicht auf die Jordannormaform.
Ich nehme an, der Fehler liegt hier:
> [mm] Ab_{3}=2b_{3}+b_{2} \Rightarrow (A-2E)b_{3}=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} \Rightarrow b_{3}=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
[mm] (A-2E)*b_3=\pmat{ 3-2 & -3 & -4 \\ -1 & 3-2 & 2 \\ 1 & -2 & -1-2 }*b_3=\pmat{ 1 & -3 & -4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -3 }*b_3=\vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] sind wir uns insoweit einig?
[mm] \gdw b_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \not=\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
Definieren wir S als Basis bezüglich derer A Jordannormalform besitzt:
[mm] S:=\pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }, [/mm] also [mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -2 }
[/mm]
[mm] S^{-1}*A*S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }=J_A.
[/mm]
Du hast dich also nur verrechnet.
MfG
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mo 23.07.2007 | | Autor: | celeste16 |
ah danke. aber wenigstens bin cih mir bei der vorgehensweise sicherer!
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