K-Homomorphismen / Galoisgr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 03.04.2010 | | Autor: | Crispy |
| Aufgabe | Es sei [mm]L[/mm] der Zerfällungskörper von
a) [mm]f=X^4+6X^2+5[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
b) [mm]g=X^4-2X^3+2X-4[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
Frage:
1) Wie viele Körperhomomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt es?
2) Bestimme die Galoisgruppe von [mm]L / \IQ[/mm].
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Hallo,
zunächst habe ich mittels Koeffizientenvergleich die Nullstellen der Polynome bestimmt.
für a) sind das [mm]\pm \sqrt{5}*i[/mm] und [mm]\pm i[/mm]
für b) konnte ich nur 2 als Nullstelle erraten - wie geht es hier weiter?
a) Der Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ[/mm] müsste dann [mm]\IQ \left(i,\sqrt{5}*i\right)[/mm] sein.
Stimmt es, dass L über [mm]\IQ[/mm] denn Grad 4 hat?
Ich denke es gibt 4 Körperhomomorphismen:
1. die Identität also [mm]x \to x[/mm]
2. [mm]x \to -x[/mm]
3. [mm]\sqrt{5} \to i[/mm]
4. [mm]i \to \sqrt{5}[/mm]
Diese 4 K-Homomorphismen müssten auch die Galoisgruppe sein?
Ist zunächst bis hierher alles in Ordnung?
Besten Dank, liebe Grüße und FROHE OSTERN,
Chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Sa 03.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> zunächst habe ich mittels Koeffizientenvergleich die
> Nullstellen der Polynome bestimmt
Koeffizientenvergleich?!
> für a) sind das [mm]\pm \sqrt{5}*i[/mm] und [mm]\pm i[/mm]
Jo, sieht gut aus. Anderes Vorgehen: erstmal [m]Y=X^2[/m] substituieren, dann zweimal Lösungsformel.
> für b) konnte
> ich nur 2 als Nullstelle erraten - wie geht es hier
> weiter?
Dann hast du ein Polynom dritten Grades nach Polynomdivision. Dann schaust du dir das an - falls es keine weiteren Nst. in den gazne Zahlen gibt, schaust du dir an, ob das Polynom nur relle hat oder nicht (zB mit einer Kurvendiskussion)
> a) Der Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ[/mm] müsste dann [mm]\IQ \left(i,\sqrt{5}*i\right)[/mm]
> sein.
Ja.
> Stimmt es, dass L über [mm]\IQ[/mm] denn Grad 4 hat?
Ja, da du zweimal quadratisch ergänzt und [m]\sqrt{5}\notin \IQ(i)[/m] gilt.
> Ich denke es gibt 4 Körperhomomorphismen:
Die Körper.hom gehen auf einen Unterkörper, der isomorph zum Zerfällungskörper ist. Oder sind das Körper.hom von dem Körper in sich?
> 1. die Identität also [mm]x \to x[/mm]
> 2. [mm]x \to -x[/mm]
Ja, nun ... ich würde mir ansehen, wo welche Nullstellen des Polynoms abgebildet werden, dass bestimmt den Körperhim. vollständig.
> 3. [mm]\sqrt{5} \to i[/mm]
> 4. [mm]i \to \sqrt{5}[/mm]
Was sollen die letzten beiden sein? Falls es eine Angabe auf der Basis sein soll - du wirst die so nicht tauschen können, da es Nullstellen von unterschiedlichen Polynomen sind!
> Diese 4 K-Homomorphismen müssten auch die Galoisgruppe
> sein?
>
> Ist zunächst bis hierher alles in Ordnung?
Nein, leider nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 So 04.04.2010 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
zunächst vielen Dank für die Hilfe.
Dies müssten dann die 4 richtigen Homomorphismen von
[mm]L \to L[/mm] und damit auch von [mm]L \to \IC[/mm] sein:
[mm] \sigma_1 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to \sqrt{5} \\ i \to i \end{cases}
[/mm]
[mm] \sigma_2 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to -\sqrt{5} \\ i \to i \end{cases}
[/mm]
[mm] \sigma_3 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to \sqrt{5} \\ i \to -i \end{cases}
[/mm]
[mm] \sigma_4 [/mm] : [mm] \begin{cases}\sqrt{5} \to -\sqrt{5} \\ i \to -i \end{cases}
[/mm]
Diese 4 müssten dann auch die Galoisgruppe [mm]L/\IQ[/mm]
also [mm]Gal(L/\IQ) \cong \IZ_2 \times \IZ_2[/mm]
Frage: Wie beweise ich, dass es neben den 4 genannten keine weiteren Homomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt?
Besten Dank & frohe Ostern,
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 04.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Frage: Wie beweise ich, dass es neben den 4 genannten keine
> weiteren Homomorphismen [mm]L \to \IC[/mm] gibt?
In dem du zB zeigst, dass die Gruppe 4 Elemente hat, da du zweimal quadratisch erweiterst.
SEcki
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