K-linear beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 26.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei K ein Körper, V,W K-Vektorräume, und f:V-->W, g:V-->W K-lineare Abbildungen.Sei f+g:V-->W die Abbildung mit (f+g)(v)=f(v)+g(v) für alle v [mm] \in [/mm] V.Man beweise,dass f+g K-linear ist. |
Guten Abend^^
Also ich hab versucht das zu beweisen,aber ich weiß nicht ob mein Beweis so schlüssig ist.Wäre lieb, wenn jemand das nachgucken könnte.
Zunnächst hatten wir gesagt,dass eine Abbildung K-linear heißt, falls folgendes gilt:
[mm] 1.\forall v_{1},v_{2} \in [/mm] V: [mm] f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})
[/mm]
[mm] 2.\forall \lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] V: [mm] f(\lambda*v)=\lambda*f(v).
[/mm]
Beweis der 1.Aussage:
[mm] (f+g)(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+g(v_{1})+f(v_{2})+g(v_{2})=(f+g)(v_{1})+(f+g)(v_{2}).
[/mm]
Beweis der 2.Aussage:
[mm] f+g(\lambda*v)=f(\lambda*v)+g(\lambda*v)=\lambda*f(v)+\lambda*g(v)=\lambda*f+g(v).
[/mm]
Sind die Beweise so richtig,die kommen mir zu kurz vor ?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo,
> Sei K ein Körper, V,W K-Vektorräume, und f:V-->W, g:V-->W
> K-lineare Abbildungen.Sei f+g:V-->W die Abbildung mit
> (f+g)(v)=f(v)+g(v) für alle v [mm]\in[/mm] V.Man beweise,dass f+g
> K-linear ist.
> Guten Abend^^
>
> Also ich hab versucht das zu beweisen,aber ich weiß nicht
> ob mein Beweis so schlüssig ist.Wäre lieb, wenn jemand
> das nachgucken könnte.
>
> Zunnächst hatten wir gesagt,dass eine Abbildung K-linear
> heißt, falls folgendes gilt:
> [mm]1.\forall v_{1},v_{2} \in[/mm] V:
> [mm]f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})[/mm]
> [mm]2.\forall \lambda \in[/mm] K, v [mm]\in[/mm] V:
> [mm]f(\lambda*v)=\lambda*f(v).[/mm]
>
Gut, zeigt du hast dich damit beschäftigt, die Struktur bleibt also erhalten.
> Beweis der 1.Aussage:
>
> [mm](f+g)(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+g(v_{1})+f(v_{2})+g(v_{2})=(f+g)(v_{1})+(f+g)(v_{2}).[/mm]
>
Sieht gut aus aber kleine formale Fehler:
[mm] (f+g)(v_{1}+v_{2}) \overbrace{=}^{Vor.} f(v_{1}+v_2)+g(v_{1}+v_2) [/mm]
[mm] \overbrace{=}^{Linearität von f ung g}
[/mm]
usw.
> Beweis der 2.Aussage:
>
> [mm]f+g(\lambda*v)=f(\lambda*v)+g(\lambda*v)=\lambda*f(v)+\lambda*g(v)=\lambda*f+g(v).[/mm]
>
> Sind die Beweise so richtig,die kommen mir zu kurz vor ?
>
Beweise müssen nicht lang sein, es gibt auch "Einzeiler", schau dir die zweite Aussage an und überlege wo du etwas nutzt, dann wird schnell klar ob es richtig oder falsch wird.
Gruß
Ultio
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Beweis der 1.Aussage:
> >
> >
> [mm](f+g)(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+g(v_{1})+f(v_{2})+g(v_{2})=(f+g)(v_{1})+(f+g)(v_{2}).[/mm]
> >
>
> Sieht gut aus aber kleine formale Fehler:
> [mm](f+g)(v_{1}+v_{2}) \overbrace{=}^{Vor.} f(v_{1}+v_2)+g(v_{1}+v_2)[/mm]
> [mm]\overbrace{=}^{Linearität von f ung g}[/mm]
> usw.
Ok,wenn ich es nochmal richtig aufschreibe,dann so:
[mm](f+g)(v_{1}+v_{2}) \overbrace{=}^{Vor.} f(v_{1}+v_2)+g(v_{1}+v_2)[/mm][mm] =f(v_{1})+g(v_{1})+f(v_{2})+g(v_{2})=(f+g)(v_{1})+(f+g)(v_{2})
[/mm]
>
> > Beweis der 2.Aussage:
> >
> >
> [mm]f+g(\lambda*v)=f(\lambda*v)+g(\lambda*v)=\lambda*f(v)+\lambda*g(v)=\lambda*f+g(v).[/mm]
> >
> > Sind die Beweise so richtig,die kommen mir zu kurz vor ?
> >
> Beweise müssen nicht lang sein, es gibt auch "Einzeiler",
> schau dir die zweite Aussage an und überlege wo du etwas
> nutzt, dann wird schnell klar ob es richtig oder falsch
> wird.
Ok,den 2.Beweis hab ich auch nochmal überarbeitet:
[mm] f+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g(v))
[/mm]
So in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Lyrn |
> Ok,den 2.Beweis hab ich auch nochmal überarbeitet:
> [mm]f+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g(v))[/mm]
>
> So in Ordnung?
Ja das stimmt so!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:46 Do 28.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Ok,den 2.Beweis hab ich auch nochmal überarbeitet:
> > [mm]f+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g(v))[/mm]
>
> >
> > So in Ordnung?
>
> Ja das stimmt so!
Na ja, aber nur wenn man sehr großzügig bei der Verwendung von Klammern ist und auch noch die Hühneraugen zudrückt ...
FRED
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 28.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Ok,den 2.Beweis hab ich auch nochmal überarbeitet:
> > > [mm]f+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g(v))[/mm]
>
> >
> > >
> > > So in Ordnung?
> >
> > Ja das stimmt so!
>
> Na ja, aber nur wenn man sehr großzügig bei der
> Verwendung von Klammern ist und auch noch die Hühneraugen
> zudrückt ...
wo müsste ich denn noch Klammern setzen,wenns ganz richtig sein soll?
lg
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> > > > Ok,den 2.Beweis hab ich auch nochmal überarbeitet:
> > > > [mm]f+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g(v))[/mm]
>
> wo müsste ich denn noch Klammern setzen,wenns ganz richtig
> sein soll?
Hallo,
es sollte lieber so aussehen:
[mm] (f+g)(\lambda*v)\overbrace{=}^{Vor.} f(\lambda*v)+g(\lambda*v)\overbrace{=}^{da f.g k-linear} \lambda*f(v)+\lambda*g(v)\overbrace{=}^{Distributivgesetz} \lambda*(f(v)+g(v))=\lambda*(f+g)(v)
[/mm]
Das letzte Gleichheitszeichen kommt von der Def. der Addition von Funktionen.
Gruß v. Angela
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