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K-te partielle Ableitung: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mo 16.01.2017
Autor: Joseph95

Aufgabe
Sei char(K) = 0. Für k [mm] \in [/mm] [n] definieren wir die k-te partielle Ableitung als K-lineare Abbildung
      [mm] \partial_k [/mm] : [mm] K[X_1, \ldots, X_n] \to K[X_1, \ldots, X_n] [/mm]
            [mm] X_1^{\alpha_1} \cdots X_n^{\alpha_n} \mapsto \alpha_k X_1^{\alpha_1} \cdots X_k^{\alpha_k-1} \cdots X_n^{\alpha_n} [/mm]

Da [mm] \partial_k [/mm] auf Basis von Momone definiert wurde, ist somit ein Homomorphismus von K-Vektorräumen definiert.

1) Zeige [mm] f,g\in K[X_1, \ldots, X_n] [/mm] die Leibnizregel [mm] \partial_k(fg) [/mm] = [mm] f\partial_k(g) [/mm] + [mm] \partial_k(f)g [/mm] .
2) Sei d > 0. Zeige, dass f [mm] \in K[X_1, \ldots, X_n] [/mm] genau dann homogen von Grad d ist, wenn die Eulersche Formel [mm] \summe_{k=1}^{n} X_k \partial_k(f)=df [/mm] erfüllt ist.

Hallo Leute,

ich habe Probleme dabei, die 2) Teilaufgabe zu lösen. Bei a) bin ich mir nicht ganz sicher, aber es sollte sich durch geschicktes Umformen lösen können, denke ich. Ich komme aber bei 2) nicht wirklich weiter? Kann mir da jemand helfen


Vg,
Joseph95

        
Bezug
K-te partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mo 16.01.2017
Autor: hippias

Versuche die Behauptung zuerst für den Fall zu beweisen, dass $f$ ein Monom ist.

Bezug
                
Bezug
K-te partielle Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:06 Di 17.01.2017
Autor: Joseph95

Ich habe nun geschafft die Hinrichtung zu zeigen, sprich wenn f homogen ist, dann folgt daraus dass die Eulersche Formel gilt. Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich vorgehen könnte, wenn ich zeigen will, dass für ein bestimmtes Polynom f, für welches die Eulersche Formel gilt, darauf schließen kann dass f homogen ist?


Mit freundlichen Grüßen,
Joseph95

Bezug
                        
Bezug
K-te partielle Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 Di 17.01.2017
Autor: hippias

Schreib die Formel, am besten erst einmal wieder nur für ein Monom, aus.

Bezug
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