K=Z/pZ,K^{2x2} Körper? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei p eine ungerade Primzahl, K= [mm] \IZ/p\IZ. [/mm] Sei R der Ring der 2x2-Matrizen über K, a [mm] \in [/mm] K und [mm] L_{a}=\begin{Bmatrix} u \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}+v \begin{pmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} | u,v \in K \end{Bmatrix} \subseteq [/mm] R.
Beh: [mm] L_{a} [/mm] ist Körper [mm] \gdw [/mm] a ist kein Quadrat in K |
Moin allerseits.
Ich weiß, dass ich mich eigentlich nicht ohne konkrete Lösungsvorschläge melden sollte, aber irgendwie stehe ich mit Faktorgruppen auf dem Kriegsfuß... Alles was ich weiß ist, dass [mm] \IZ/p\IZ [/mm] ein Körper ist. Und dass ich mir wohl irgendwie zunutze machen muss, dass [mm] p\not=2 [/mm] ist (warum sonst sollte auf die "ungerade" primzahl hingewiesen werden?). Habs in der Rückrichtung mit einem Widerspruchsbeweis probiert, mich aber hoffnungslos verheddert.
Könnte mir jemand helfen??? Bitte???
Gruß,
San
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Hallo Susann und guten Morgen,
also [mm] L_a [/mm] ist ja die Menge aller Matrizen der Form
[mm] \pmat{u & v\cdot a\\ v\cdot a & u}
[/mm]
mit [mm] u,v\in [/mm] K.
Es ist doch diese Menge ein Koerper genau dann, wenn sie abgeschlossen unter
Multiplikation ist (dann schon ein Ring) und unter Inversen.
Es ist
[mm] \pmat{u &v\cdot a\\ v\cdot a & u}\cdot \pmat{c & d\cdot a \\ d\cdot a & c}=
[/mm]
= [mm] \pmat{uc+vda^2 & uda+vac\\vac+uda & vda^a+uc} [/mm]
und das ist ja wieder in der Menge [mm] L_a. [/mm] Also ist es schonmal ein Ring.
Inverse existieren gdw die Determinante nicht 0 ist, zu zeigen fuer Koerpereigenschaft waere ja, dass fuer alle solche Matrizen ungleich der 0-Matrix Inverse existieren.
Die Determinante von
[mm] \pmat{u & va\\ va & u}
[/mm]
ist gleich [mm] u^2-v^2\cdot a^2, [/mm] und dies ist gleich 0 genau dann, wenn (umstellen)
u=v=0 (wenn einer der Werte 0 ist, so muss der andere auch 0 sein !) oder wenn
[mm] u\neq 0\neq [/mm] v und [mm] a^2=u^2\slash v^2. [/mm] Jetzt muesste man -wenn ich mich nicht vertan habe - irgendwie argumentieren, dass dies fuer Nicht-Quadrate in K nicht vorkommt, dass es dann also keine solche u und v geben kann.
Fall mir noch was einfaellt, schreib ich es noch ''hinterher''.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank... Hab noch nichts durchgelesen, aber mir ist aufgefallen, dass ich mich vertippt habe. Die Elemente in [mm] L_a [/mm] sehen ein wenig anders aus... Editier das oben gleich mal.
Gruß,
San
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Hallo San,
ok, dann also nochmal mit der zweiten Version: Ich denke, Abgeschlossenheit unter
Multiplikation sollte aehnlich laufen, kannst ja einfach mal durchrechnen.
Die Matrizen haben dann also die Gestalt
[mm] \pmat{u & va \\ v & u}
[/mm]
und die Determinante ist also
[mm] v^2a^2-u^2
[/mm]
und das ist gleich 0, falls u=v=0 (wieder folgt fuer det=0 aus u=0 oder v=0, dass beide gleich 0 sein muessen) oder fuer
[mm] a\cdot v^2=u^2 [/mm] und das geht dann fuer [mm] v\neq 0\neq [/mm] u nur, wenn a eine Quadratzahl ist.
Das war's dann, oder ?
Viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 26.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
Ja, soweit habe ich mir das jetzt auch zurecht gerechnet. Was mich jetzt bloß irritiert, dass wir gar nicht erst ausnutzen, dass [mm] K=\IZ/p\IZ.
[/mm]
Eigentlich hätte man sich das dann doch auch in der Voraussetzungen sparen können oder? Irgendetwas ist da nicht ganz stimmig...
Vielen Dank für die Hilfe,
San
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Hallo San,
jou, scheint so zu klappen fuer beliebige Koerper, aber wenn wir's genau betrachten:
ZB fuer [mm] K=\IQ [/mm] ist ja [mm] v^2\cdot a=u^2 [/mm] immer loesbar, d.h. fuer [mm] \IQ, \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] ist sicher
[mm] L_a [/mm] fuer kein a ein Koerper, also die Tatsache, dass wir einen endlichen Koerper
haben, ist schon nicht ganz unbedeutend.
Gruss,
Mathias
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