KQ Schätzer für Spirale < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Di 24.11.2009 | | Autor: | Berto |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer spiralförmigen Bahn mit der Funktion F(x) = $ \IR_+ $ -> $ \IR^2 $ und F(x) = $ \vektor{axcos(bx) \\ axsin(bx)}. $ Gegeben seien fehlerbehaftete Messungen $ (x_i, F(x_1)_i,F(x_2)_i) $ i $ \in $ {1,..,n}. Passen Sie die Parameter a und b der Spirale an die Daten mit der Methode der kleinsten Quadrate an. |
Hallo,
Meine Frage bezieht sich eigentlich auf eine praktisch identische Frage, die bereits schon gestellt wurde: siehe:
https://matheraum.de/forum/KQ-Schaetzung_2-dim_Funktion/t494937
Durch partielle Ableitung von $ (y_i-ax_i \cos(bx_i))^2+(z_i-ax_i\sin(bx_i)})^2 $ bin ich auf das Minimierungsproblem:
$ \wurzel{((F(x_1)_i)^2+F(x_2)_i)^2)}=a*x_i $ gekommen und
$ arctan(F(x_2)_i)/F(x_1)_i))=b*x_i$
Nun habe ich doch 2 lineare Regressionen, welche ich separat mit der KQ-Methode bearbeiten kann.
Heisst im ersten Fall setze ich:
A = $ $\begin{pmatrix}1 & x_1\\ 1 & x_2\\ . & .\\ 1 & x_n\end{pmatrix}$ $ und Y = $ \vektor{\wurzel{(F(x_1)_i)^2+F(x_2)_i)^2} \\ .\\\wurzel{(F(x_1)_n)^2+F(x_2)_n)^2}}. $ und erhalte dann mein Schätzer für a gemäss dem Steigungskoeffizient aus
(\overline{A}*A)^(-1)*\overline{A}*Y (wobei mit A quer die transponierte von A gemeint ist)
dito tue ich das mit der zweiten Regression also:
A = $ $\begin{pmatrix}1 & x_1\\ 1 & x_2\\ . & .\\ 1 & x_n\end{pmatrix}$ $ und Z = $ \vektor{arctan((F(x_2)_i)/F(x_1)_i)) \\ .\\arctan((F(x_2)_n)/F(x_2)_n))}. $
Und den Schätzer für b erhalten wir dann wieder durch:
(\overline{A}*A)^(-1)*\overline{A}*Z
Wenn ich nun aber meine Messwerte visualisiere und ebenfalls die Funktion F mit den angepassten Werten a und b Visualisiere scheint mir etwas gar nicht zu stimmen. Habe aber keine Ahnung was an meinem Ansatz falsch sein sollte.
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schon mal im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Berto,
> Ein Massenpunkt bewegt sich auf einer spiralförmigen Bahn
> mit der Funktion F(x) = [mm]\IR_+[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] und F(x) =
> [mm]\vektor{axcos(bx) \\ axsin(bx)}.[/mm] Gegeben seien
> fehlerbehaftete Messungen [mm](x_i, F(x_1)_i,F(x_2)_i)[/mm] i [mm]\in[/mm]
> {1,..,n}. Passen Sie die Parameter a und b der Spirale an
> die Daten mit der Methode der kleinsten Quadrate an.
> Hallo,
>
> Meine Frage bezieht sich eigentlich auf eine praktisch
> identische Frage, die bereits schon gestellt wurde: siehe:
>
> [mm]https://matheraum.de/forum/KQ-Schaetzung_2-dim_Funktion/t494937[/mm]
>
> Durch partielle Ableitung von [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm]
> bin ich auf das Minimierungsproblem:
>
> [mm]\wurzel{((F(x_1)_i)^2+F(x_2)_i)^2)}=a*x_i[/mm] gekommen und
> [mm]arctan(F(x_2)_i)/F(x_1)_i))=b*x_i[/mm]
>
> Nun habe ich doch 2 lineare Regressionen, welche ich
> separat mit der KQ-Methode bearbeiten kann.
> Heisst im ersten Fall setze ich:
> A =[mm][/mm][mm] \begin{pmatrix}1 & x_1\\ 1 & x_2\\ . & .\\ 1 & x_n\end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
> und Y = [mm]\vektor{\wurzel{(F(x_1)_i)^2+F(x_2)_i)^2} \\ .\\\wurzel{(F(x_1)_n)^2+F(x_2)_n)^2}}.[/mm]
> und erhalte dann mein Schätzer für a gemäss dem
> Steigungskoeffizient aus
> [mm](\overline{A}*A)^{-1}*\overline{A}*Y[/mm] (wobei mit A quer die
> transponierte von A gemeint ist)
>
> dito tue ich das mit der zweiten Regression also:
>
> A =[mm][/mm][mm] \begin{pmatrix}1 & x_1\\ 1 & x_2\\ . & .\\ 1 & x_n\end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
> und Z = [mm]\vektor{arctan((F(x_2)_i)/F(x_1)_i)) \\ .\\arctan((F(x_2)_n)/F(x_2)_n))}.[/mm]
>
> Und den Schätzer für b erhalten wir dann wieder durch:
> [mm](\overline{A}*A)^{-1}*\overline{A}*Z[/mm]
>
> Wenn ich nun aber meine Messwerte visualisiere und
> ebenfalls die Funktion F mit den angepassten Werten a und b
> Visualisiere scheint mir etwas gar nicht zu stimmen. Habe
> aber keine Ahnung was an meinem Ansatz falsch sein sollte.
Nun, für das a magst Du das Richtige herausbekommen
Anders sieht es beim b aus. Das ist nicht das Richtige.
Besser Du betrachtest
[mm]\bruch{\partial}{\partial a}\summe_{i=1}^{n}(y_i-ax_i \cos(bx_i))^2+(z_i-ax_i\sin(bx_i)})^2=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial}{\partial b}\summe_{i=1}^{n}(y_i-ax_i \cos(bx_i))^2+(z_i-ax_i\sin(bx_i)})^2=0[/mm]
Rechnet man das aus, so führt das
auf ein Nullstellenproblem von b, das
mit dem Newton-Verfahren gelöst werden kann.
Das Problem. das sich hier stellt, ist
daß es mehrere Lösungen für b gibt.
Hier ist dann das Minimum von
[mm]\summe_{i=1}^{n}(y_i-ax_i \cos(bx_i))^2+(z_i-ax_i\sin(bx_i)})^2[/mm]
zu suchen.
Dazu benutzt Du die berechneten Parameter a und b.
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
>
> Danke schon mal im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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