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Känguru 2008: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Sa 12.09.2009
Autor: ms2008de

Aufgabe
Es sei M das Produkt aus dem Umfang des Dreiecks und der Summe der 3 Höhen dieses Dreiecks. Vorausgesetzt, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks 1 ist, dann ist von den folgenden Aussagen genau eine falsch. Welche?
(A) M kann größer als 100 sein
(B) es ist stets M > 6
(C) M kann gleich 18 sein
(D) M kann kleiner als 12 sein
(E) wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so ist M > 16

Hallo,
Die Aufgabe entspricht Nr. 30 für die Klassenstufen 11-13 aus dem Känguruwettbewerb 2008.
Hab paar Schwierigkeiten hier auf einen richtigen Ansatz zu kommen. Die Lösung soll angeblich (D) sein.
Hab bisher versucht mal andere Möglichkeiten auszuschließen: Kann bisher (A) ausschließen, da man M beliebig groß werden lassen kann  (z.B. konstruiert man sich ein rechtwinkliges Dreieck bei dem die beiden Katheten die Längen 0,02 und 100 haben, bei diesem ist M sicher größer als 100).
Außerdem kann ich (C) ausschließen, da beim gleichseitigen Dreieck mit Flächeninhalt 1 M=18 ist.
Nur wie kann man (B) und (E) noch ausschließen, bzw. wie kann man das Minimum, das M erreichen kann, berechnen? Sieht mir irgendwie nach einer Aufgabe aus, bei der man eine Funktion aufstellen und deren Extremwert berechnen muss?
Vielen Dank schonmal im voraus an denjenigen, der einen Ansatz findet und mir ihn erklären kann.

Viele Grüße

        
Bezug
Känguru 2008: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Sa 12.09.2009
Autor: abakus


> Es sei M das Produkt aus dem Umfang des Dreiecks und der
> Summe der 3 Höhen dieses Dreiecks. Vorausgesetzt, dass der
> Flächeninhalt dieses Dreiecks 1 ist, dann ist von den
> folgenden Aussagen genau eine falsch. Welche?
>  (A) M kann größer als 100 sein
>  (B) es ist stets M > 6

>  (C) M kann gleich 18 sein
>  (D) M kann kleiner als 12 sein
>  (E) wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so ist M > 16

>  Hallo,
>  Die Aufgabe entspricht Nr. 30 für die Klassenstufen 11-13
> aus dem Känguruwettbewerb 2008.
>  Hab paar Schwierigkeiten hier auf einen richtigen Ansatz
> zu kommen. Die Lösung soll angeblich (D) sein.
>  Hab bisher versucht mal andere Möglichkeiten
> auszuschließen: Kann bisher (A) ausschließen, da man M
> beliebig groß werden lassen kann  (z.B. konstruiert man
> sich ein rechtwinkliges Dreieck bei dem die beiden Katheten
> die Längen 0,02 und 100 haben, bei diesem ist M sicher
> größer als 100).
> Außerdem kann ich (C) ausschließen, da beim
> gleichseitigen Dreieck mit Flächeninhalt 1 M=18 ist.
>  Nur wie kann man (B) und (E) noch ausschließen, bzw. wie
> kann man das Minimum, das M erreichen kann, berechnen?
> Sieht mir irgendwie nach einer Aufgabe aus, bei der man
> eine Funktion aufstellen und deren Extremwert berechnen
> muss?
>  Vielen Dank schonmal im voraus an denjenigen, der einen
> Ansatz findet und mir ihn erklären kann.
>  
> Viele Grüße

Hallo,
zu E)
Seien a und b die Katheten und der Flächeninhalt 1. Dann gilt:
b=2/a
[mm] h_b=a [/mm] und [mm] h_a=b. [/mm]
[mm] 0,5*h_c*c=0,5*a*b, [/mm] also [mm] h_c=a*b/c =\bruch{2}{\wurzel{a^2+b^2}} [/mm]
Zu B vermute ich ganz stark, dass das Minimum beim gleichseitigen Dreieck auftritt.
Gruß Abakus




Bezug
                
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Känguru 2008: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Sa 12.09.2009
Autor: ms2008de

Danke, ich frag mich bei (B) eben, ob das Minimum wirklich beim gleichseitigen Dreieck auftritt und wenn ja, wieso...

Bezug
        
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Känguru 2008: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Sa 12.09.2009
Autor: Phil_W

Zu B

Wir wissen aus A=1 und [mm] A=\bruch{1}{2}*g*h [/mm] dass [mm] h=\bruch{2*A}{g} [/mm]

M ist ja nicht anderes als [mm] (a+b+c)*(\bruch{2}{a}+\bruch{2}{b}+\bruch{2}{c}) [/mm]
wenn du das ausrechnest ist das Ergebnis immer größer als 6

Gruß Phil

Bezug
                
Bezug
Känguru 2008: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Sa 12.09.2009
Autor: ms2008de

Vielen Dank nochmals an abakus und Phil-W.
Ich frag mich nun allerdings noch, wie man die Aufgabe ohne Ausschlussverfahren hätte lösen können. Könnte man nicht irgendwie den minimalen Wert für M berechnen, der dann größer als 12 sein müsste?
Könnte man, wie ich anfangs vorgeschlagen hab, für M eine Funktion aufstellen, von der man dann die Extremstelle berechnet...?
Vielen Dank schon mal im voraus an denjenigen, der einen Ansatz hat und ihn erklärt.

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Känguru 2008: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Sa 12.09.2009
Autor: Phil_W

Du könntest es mit der Funktion die ich eben aufgestellt hatte versuchen.

also [mm] (a+b+c)*(\bruch{2}{a}+\bruch{2}{b}+\bruch{2}{c})<12 [/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe ergibt sich etwas in der Art von
[mm] a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b<3*a*b*c [/mm]

Du kannst auch die Funktion so minimieren aber das zählt nichtmehr zum Schulstoff


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