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Känguru 2008: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Di 15.09.2009
Autor: ms2008de

Aufgabe
Die fünf voneinander verschiedenen Punkte [mm] A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{5} [/mm] liegen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden, wobei die Abstände der Punkte voneinander unterschiedlich sein können. Auf derselben Geraden soll ein Punkt P markiert werden, für den die Summe der Abstände der fünf Punkte zu P, also [mm] \overline{A_{1}P} [/mm] + [mm] \overline{A_{2}P} [/mm] + [mm] \overline{A_{3}P} [/mm] + [mm] \overline{A_{4}P} [/mm] + [mm] \overline{A_{5}P} [/mm] minimal ist. Dann ist P
(A) identisch mit [mm] A_{2} [/mm]
(B) identisch mit [mm] A_{3} [/mm]
(C) identisch mit [mm] A_{4} [/mm]
(D) irgendein Punkt zwischen [mm] A_{2} [/mm] und [mm] A_{4} [/mm]
(E) irgendein Punkt zwischen [mm] A_{1} [/mm] und [mm] A_{5} [/mm]

Hallo,
Diese Aufgabe entstammt dem Känguruwettbewerb 2008 Aufgabe 9 der Klassenstufen 11-13.
Also ich hätte hier spontan gedacht, dass man P als eine Art "Mittelpunkt" der beiden äußeren Punkte wählt, also P so wählt, dass  
[mm] \overline{A_{1}P} [/mm] = [mm] \overline{A_{5}P} [/mm] und da die Abstände unter den Punkten ja verschieden sein können, hätt ich gesagt, ist Antwort (E) richtig. Jedoch konnt ich mir ein Gegenbeispiel konstruieren, bei dem P identisch mit [mm] A_{3} [/mm] ist (was auch die korrekte Lösung sein sollte), aber ich frag mich: wieso?
Des weiteren frag ich mich: Lässt sich das Ganze auf eine beliebige ungerade Anzahl von Punkten erweitern, dass man quasi sagt: Wenn [mm] A_{1}, [/mm] ..., [mm] A_{2n+1} [/mm] (n [mm] \in \IN) [/mm] verschiedene Punkte in der Reihenfolge auf einer Geraden liegen, wobei die Abstände zwischen den Punkten verschieden sein können, dann wird [mm] \summe_{i=1}^{2n+1} \overline{A_{i}P} [/mm] genau dann minimal, wenn P = [mm] A_{n+1} [/mm] ist?
Vielen Dank schon mal im voraus, an denjenigen, der einen Ansatz hat, und ihn hier präsentiert.

Viele Grüße

        
Bezug
Känguru 2008: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Di 15.09.2009
Autor: Fulla

Hallo ms2008de,

ich habe hier die Lösung aus dem Lehrerheftchen:

Es ist [mm] $\overline{A_1P}+\overline{A_5P}\ge\overline{A_1A_5}$, [/mm] und das Gleichheitszeichen gilt, weinn $P$ zur Strecke [mm] $\overline{A_1A_5}$ [/mm] gehört. Ebenso ist [mm] $\overline{A_2P}+\overline{A_4P}\ge\overline{A_2A_4}$, [/mm] und das Gleichheitszeichen gilt, wenn $P$ zur Strecke [mm] $\overline{A_2A_4}$ [/mm] gehört. Schließlich ist [mm] $A_3P\ge [/mm] 0$, wobei Gleichheit gilt, wenn [mm] $A_3=P$ [/mm] ist. Folglich gilt [mm] $\overline{A_1P}+\overline{A_2P}+\overline{A_3P}+\overline{A_4P}+\overline{A_5P}\ge\overline{A_1A_5}+\overline{A_2A_4}+0$, [/mm] und da für [mm] $A_3=P$ [/mm] alle Gleichheitszeichen gelten, ist (B) die Lösung.


Mit diesem Lösungsweg lässt sich das Problem auch auf eine beliebig große ungerade Anzahl an Punkten ausdehnen.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
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