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Känguru 2009: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Sa 05.09.2009
Autor: ms2008de

Aufgabe
Über ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 3 wird ein Kreis mit dem Radius 1 gelegt, wobei der Kreismittelpunkt auf dem Schwerpunkt des Dreiecks zu liegen kommt.
Welchen Umfang hat die neu entstandene Figur?

Hallo,
Diese Aufgabe entstammt dem Känguru-Wettbewerb 2009 für die Klassenstufen 11-13.
Ich hab große Schwierigkeiten hier mal auf einen Ansatz zu kommen, obwohl ich natürlich die Formeln für den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks (U= 3*a) und Kreises (U= [mm] 2\pi [/mm] r) kenne.
Die Lösung soll 6+ [mm] \pi [/mm] sein, was mich vermuten lässt, dass die sichtbaren geraden Strecken alle die Länge 1 haben, so dass man auf die 6 kommt und dass die Hälfte des Kreisumfangs sichtbar wird, was [mm] \pi [/mm] entspricht.
Wenn man das jedoch so wie ich nicht spontan sieht, wie kommt man darauf? Wäre nett, wenns mir jemand erklären könnte. Vielen Dank schon mal im voraus.

Viele Grüße

        
Bezug
Känguru 2009: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:35 Sa 05.09.2009
Autor: weduwe

dazu ein bilderl :-)

[Dateianhang nicht öffentlich]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Känguru 2009: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Sa 05.09.2009
Autor: steppenhahn

Hallo ms2008de,

eine Möglichkeit, die aber eine gewisse Gewandtheit mit den Winkelfunktionen voraussetzt, wäre:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Du berechnest erst die Höhe des Dreiecks. Du weißt, dass der Mittelpunkt eines gleichseitigen Dreiecks die Höhen im Verhältnis 2:1 teilt, also kennen wir die Strecke DG auf dem Bild.
Nun bringen wir noch die Voraussetzung ein, dass der Kreis den Radius 1 hat und natürlich die Strecke AB des gleichseitigen Dreiecks irgendwo schneiden muss. Im rechtwinkligen Dreieck DGJ kann man nun mit Hilfe der Winkelsätze sicher bestimmen, dass [mm] \delta [/mm] = 30° sein muss, also die beiden Schnittpunkte des Kreises mit dem Rand des gleichseitigen Dreiecks immer im Winkel von 60° = [mm] \beta [/mm] vom Mittelpunkt ausgehen. Also handelt es sich um kleine gleichseitige Dreiecke.

Grüße,
Stefan

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Känguru 2009: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Sa 05.09.2009
Autor: weduwe

ohne rechnen, mit den grundkenntnissen vom gleichseitigen dreieck:
der abstand des schwerpunktes von der seite s =3 beträgt [mm] d=\frac{1}{2}\sqrt{3} [/mm] und die mittelsenkrechte auf der der schwerpunkt liegt, steht senkrecht auf s. da der radius r = 1 beträgt, folgt sofort: es handelt sich um ein (halbes) gleichseitiges dreieck.
damit hat man:

[mm]U=6+\pi[/mm]

Bezug
                        
Bezug
Känguru 2009: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 So 06.09.2009
Autor: ms2008de

Vielen Dank nochmal an steppenhahn und weduwe für die ausführlichen Erläuterungen - Geometrie war eben nie meine ganz große Stärke. Habs nun aber verstanden.

Viele Grüße

Bezug
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