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Känguru 2010: Aufgabe 15 -geometrische Folge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:50 Di 06.07.2010
Autor: ms2008de

Aufgabe
Die drei Zahlen [mm] \wurzel{7}, \wurzel[3]{7} [/mm] und [mm] \wurzel[6]{7} [/mm] sind unmittelbar aufeinanderfolgende Elemente einer geometrischen Folge.
Dann ist das nächste Element in dieser Folge ...

(a) [mm] \wurzel[9]{7} [/mm]
(b) [mm] \wurzel[12]{7} [/mm]
(c) [mm] \wurzel[5]{7} [/mm]
(d) [mm] \wurzel[10]{7} [/mm]
(e) 1 ?

Hallo,
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Laut Lösung soll (e) die richtige Antwort. Klar ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{7} [/mm] = 1, dennoch ist mir unklar was das mit dieser geometrischen Folge zu tun haben könnte, bzw. wie die Folge weiterhin aussieht.
Vielen Dank für eure Hilfe im voraus.

Viele Grüße

        
Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 06.07.2010
Autor: schachuzipus

Hallo ms2008de,

> Die drei Zahlen [mm]\wurzel{7}, \wurzel[3]{7}[/mm] und [mm]\wurzel[6]{7}[/mm]
> sind unmittelbar aufeinanderfolgende Elemente einer
> geometrischen Folge.
>  Dann ist das nächste Element in dieser Folge ...
>  
> (a) [mm]\wurzel[9]{7}[/mm]
>  (b) [mm]\wurzel[12]{7}[/mm]
>  (c) [mm]\wurzel[5]{7}[/mm]
>  (d) [mm]\wurzel[10]{7}[/mm]
>  (e) 1 ?
>  Hallo,
>  Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Laut
> Lösung soll (e) die richtige Antwort. Klar ist:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{7}[/mm] = 1, dennoch ist
> mir unklar was das mit dieser geometrischen Folge zu tun
> haben könnte, bzw. wie die Folge weiterhin aussieht.
>  Vielen Dank für eure Hilfe im voraus.

Nun, es gilt doch [mm] $a_{n+1}=a_n\cdot{}q$ [/mm]

Du hast drei aufeinanderfolgende Glieder [mm] $a_k, a_{k+1}$ [/mm] und [mm] $a_{k+2}$ [/mm] gegeben.

Gesucht íst das $q$

Schreibe die Wurzeln als Potenzen um, dann hast du die Bestimmungsgleichungen:

[mm] $a_{k+2}=\sqrt[6]{7}=\red{7^{\frac{1}{6}}=7^{\frac{1}{3}}\cdot{}q}=a_{k+1}\cdot{}q$ [/mm]

Also [mm] $\red{q=...}$ [/mm]

Passt das auch mit den anderen beiden?

[mm] $a_{k+1}=7^{\frac{1}{3}}=7^{\frac{1}{2}}\cdot{}q$ [/mm] ...

Mit dem so ermittelten q kannst du das nächste Glied [mm] $a_{k+3}$ [/mm] berechnen als [mm] $a_{k+2}\cdot{}q$ [/mm]

Gruß

schachuzipus

>  
> Viele Grüße


Bezug
                
Bezug
Känguru 2010: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Di 06.07.2010
Autor: ms2008de

Vielen Dank, q wär dann einfach [mm] \bruch{1}{\wurzel[6]{7}}, [/mm] da stand ich ja aber mal komplett auf dem Schlauch

Viele Grüße

Bezug
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