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Känguru 2010: A25 - Kreisbögen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:25 Mi 07.07.2010
Autor: ms2008de

Aufgabe
Karl möchte aus Gummi einen 4 cm breiten und 8 cm langen ovalen Stempel schneiden. Ein Muster des horizontal und vertikal symmetrischen Ovals hat er mit Hilfe von 4 Kreisbögen erstellt (siehe Abb.). In den 4 Berührungspunkten stimmen dieTangenten der jeweils aneinanderstoßenden Bögen überein. Wie groß muss Karl den Radius der großen Kreisbögen wählen wenn der kleine Radius 1 beträgt?  

Hallo,
Hier erst mal der Link zur Abbildung: []oval
Also ich hab hier vor allem Schwierigkeiten auf den Rechenweg zu kommen. Zeichnerisch ist das Ganze denk ich ziemlich klar: Hab mir gedacht, dass der Mittelpunkt von einem großen Kreisbogen, der Mittelpunkt von dem direkt daneben liegenden kleineren Kreisbogen und der Berührpunkt zwischen den beiden Kreisbögen auf einer Geraden liegen müssen, denn diese Gerade schneidet die Tangente am Berührpunkt im 90°-Winkel.
Außerdem ist es nur allzu logisch, dass der Mittelpunkt des/der großen Kreisbogen auf der Mittelsenkrechten der 8 com langen Seite liegen muss.

Nur wie komm ich mit diesen beiden Vorüberlegungen weiter zum Rechenweg?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.

Viele Grüße


        
Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Mi 07.07.2010
Autor: chrisno

Mein erster Ansatz:
Die Kreisgleichungen aufstellen: [mm] $(x-x_{M_k})^2 [/mm] + [mm] (y-y_{M_k})^2 [/mm] = [mm] r_k^2 [/mm] = 1$ und [mm] $(x-x_{M_g})^2 [/mm] + [mm] (y-y_{M_g})^2 [/mm] = [mm] r_g^2$. [/mm] Dann würde ich den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt des Ovals legen.
Dann sind noch zu bestimmen: [mm] y_{M_g} [/mm] und [mm] r_g. [/mm]
Dafür hast Du die Bedingunen:
- Berührpunkt, [mm] M_k [/mm] und [mm] M_g [/mm] liegen auf einer Geraden
- Der Punkt (0/2) liegt auf [mm] K_g. [/mm]
Fng mal so an, dann schauen wir weiter.
[]Hier ist die Aufgabe Nr 25 im Orginal

Bezug
                
Bezug
Känguru 2010: Vorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 Mi 07.07.2010
Autor: statler

Hi,

wäre das nicht günstiger, sich eine Zeichnung zu machen und dann ganz elementar mit dem Pythagoras zu Werke zu gehen? In welcher Klasse behandelt man denn heutzutage die Kreisgleichung?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
        
Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:15 Mi 07.07.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Karl möchte aus Gummi einen 4 cm breiten und 8 cm langen
> ovalen Stempel schneiden. Ein Muster des horizontal und
> vertikal symmetrischen Ovals hat er mit Hilfe von 4
> Kreisbögen erstellt (siehe Abb.). In den 4
> Berührungspunkten stimmen dieTangenten der jeweils
> aneinanderstoßenden Bögen überein. Wie groß muss Karl
> den Radius der großen Kreisbögen wählen wenn der kleine
> Radius 1 beträgt?
> Hallo,
> Hier erst mal der Link zur Abbildung:
> []oval
>  
> Also ich hab hier vor allem Schwierigkeiten auf den
> Rechenweg zu kommen. Zeichnerisch ist das Ganze denk ich
> ziemlich klar: Hab mir gedacht, dass der Mittelpunkt von
> einem großen Kreisbogen, der Mittelpunkt von dem direkt
> daneben liegenden kleineren Kreisbogen und der Berührpunkt
> zwischen den beiden Kreisbögen auf einer Geraden liegen
> müssen, denn diese Gerade schneidet die Tangente am
> Berührpunkt im 90°-Winkel.
>  Außerdem ist es nur allzu logisch, dass der Mittelpunkt
> des/der großen Kreisbogen auf der Mittelsenkrechten der 8
> com langen Seite liegen muss.
>  
> Nur wie komm ich mit diesen beiden Vorüberlegungen weiter
> zum Rechenweg?
>  
> Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
>  
> Viele Grüße


Hallo ms2008de,

ich würde dir empfehlen, zuerst eine gute Zeichnung
bzw. Skizze zu machen, in welcher auch der Mittelpunkt
eines der beiden großen Kreise erscheint. Zeichne da
geeignete Linien (insbesondere Radien) ein, führe
sinnvolle Bezeichnungen ein und denk an den alten
Herrn P. mit seinen Dreiecken.

LG    Al-Chw.  


Bezug
                
Bezug
Känguru 2010: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Mi 07.07.2010
Autor: ms2008de


> > Karl möchte aus Gummi einen 4 cm breiten und 8 cm langen
> > ovalen Stempel schneiden. Ein Muster des horizontal und
> > vertikal symmetrischen Ovals hat er mit Hilfe von 4
> > Kreisbögen erstellt (siehe Abb.). In den 4
> > Berührungspunkten stimmen dieTangenten der jeweils
> > aneinanderstoßenden Bögen überein. Wie groß muss Karl
> > den Radius der großen Kreisbögen wählen wenn der kleine
> > Radius 1 beträgt?
> > Hallo,
> > Hier erst mal der Link zur Abbildung:
> >
> []oval
>  
> >  

> > Also ich hab hier vor allem Schwierigkeiten auf den
> > Rechenweg zu kommen. Zeichnerisch ist das Ganze denk ich
> > ziemlich klar: Hab mir gedacht, dass der Mittelpunkt von
> > einem großen Kreisbogen, der Mittelpunkt von dem direkt
> > daneben liegenden kleineren Kreisbogen und der Berührpunkt
> > zwischen den beiden Kreisbögen auf einer Geraden liegen
> > müssen, denn diese Gerade schneidet die Tangente am
> > Berührpunkt im 90°-Winkel.
>  >  Außerdem ist es nur allzu logisch, dass der
> Mittelpunkt
> > des/der großen Kreisbogen auf der Mittelsenkrechten der 8
> > com langen Seite liegen muss.
>  >  
> > Nur wie komm ich mit diesen beiden Vorüberlegungen weiter
> > zum Rechenweg?
>  >  
> > Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.
>  >  
> > Viele Grüße
>  
>
> Hallo ms2008de,
>  
> ich würde dir empfehlen, zuerst eine gute Zeichnung
>  bzw. Skizze zu machen, in welcher auch der Mittelpunkt
>  eines der beiden großen Kreise erscheint. Zeichne da
>  geeignete Linien (insbesondere Radien) ein, führe
>  sinnvolle Bezeichnungen ein und denk an den alten
> Herrn P. mit seinen Dreiecken.
>  

Die Skizze und Radien hab ich mir ja gezeichnet, ich seh nur leider nicht, wo ich nun am sinnvollsten rechtwinklige Dreiecke einzeichne um Pythagoras anzuwenden. Sorry, steh irgendwie noch komplett auf dem Schlauch...

Viele Grüße


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Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Mi 07.07.2010
Autor: Steffi21

Hallo,

[Dateianhang nicht öffentlich]

Punkt D ist der Koordinatenursprung

du kennst:

[mm] \overline{BC}=\overline{FC}=1cm [/mm]

[mm] \overline{CD}=3cm [/mm]

[mm] \overline{DG}=2cm [/mm]

die folgenden Dreiecke sind rechtwinklig:

EFH, AFC, ADH,

Steffi

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Känguru 2010: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:03 Mi 07.07.2010
Autor: statler

Mahlzeit!

> die folgenden Dreiecke sind rechtwinklig:
>  
> EFH, AFC, ADH,

... und CDE

Dieter

Bezug
                                
Bezug
Känguru 2010: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Mi 07.07.2010
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]

Hallo Steffi,

danke für die Zeichnung !

vielleicht wäre es aber sinnvoll gewesen, das Koordi-
natensystem nicht mit Skalierung anzugeben, weil die
Lösung so praktisch schon sichtbar ist und vom Weg
dazu etwas ablenken könnte ...

schönen Nachmittag !

Al


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Bezug
Känguru 2010: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:42 Mi 07.07.2010
Autor: Steffi21

Ok, für die Zeichnung habe ich gerechnet, jetzt sind die Achsen nicht mehr skaliert, tschüßle Steffi

Bezug
                                
Bezug
Känguru 2010: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Do 08.07.2010
Autor: ms2008de

Hallo,
> Hallo,
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Punkt D ist der Koordinatenursprung
>  
> du kennst:
>  
> [mm]\overline{BC}=\overline{FC}=1cm[/mm]
>  
> [mm]\overline{CD}=3cm[/mm]
>  
> [mm]\overline{DG}=2cm[/mm]
>  
> die folgenden Dreiecke sind rechtwinklig:
>  
> EFH, AFC, ADH,
>
> Steffi

Sorry, ich steh trotz aller Bemühungen immer noch auf dem Schlauch: Also ich seh zwar, dass die genannten 3 Dreiecke und das Dreieck CDE zueinander ähnlich sind, aber frage mich immer noch, wie ich damit weiter machen soll, denn ich kenne ja pro Dreieck hier HÖCHSTENS eine Seitenlänge... Wenn ich irgendwo irgendwie auf eine 2. Seitenlänge eines Dreiecks käme, wär ich der Lösung wohl nahe.
Außerdem frag ich mich, wie und ob ich verwenden muss, dass [mm] \overline{DG} [/mm] = 2 cm ist...

Hoffe irgendwer hat noch einen Tipp für mich. Vielen Dank im voraus.

Viele Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Do 08.07.2010
Autor: Al-Chwarizmi

[Dateianhang nicht öffentlich]

> > [mm]\overline{BC}=\overline{FC}=1cm[/mm]  
> > [mm]\overline{CD}=3cm[/mm]
> > [mm]\overline{DG}=2cm[/mm]  

> Sorry, ich steh trotz aller Bemühungen immer noch auf dem
> Schlauch: Also ich seh zwar, dass die genannten 3 Dreiecke
> und das Dreieck CDE zueinander ähnlich sind,

    diese Ähnlichkeiten braucht man für die Aufgabe nicht

> aber frage
> mich immer noch, wie ich damit weiter machen soll, denn ich
> kenne ja pro Dreieck hier HÖCHSTENS eine Seitenlänge...
> Wenn ich irgendwo irgendwie auf eine 2. Seitenlänge eines
> Dreiecks käme, wär ich der Lösung wohl nahe.
>  Außerdem frag ich mich, wie und ob ich verwenden muss,
> dass [mm]\overline{DG}[/mm] = 2 cm ist...
>  
> Hoffe irgendwer hat noch einen Tipp für mich. Vielen Dank
> im voraus.
>  
> Viele Grüße


Guten Tag ms2008de,

natürlich musst du jetzt die unbekannte Größe r einbringen.
Es ist doch nun  

        [mm] $\left|\overline{EF}\right|\ [/mm] =\ [mm] \left|\overline{EG}\right|\ [/mm] =\ r$

Drücke nun alle Seitenlängen des Dreiecks CDE mittels r aus !


LG    Al-Chw.


Bezug
                                        
Bezug
Känguru 2010: fast ohne Rechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Do 08.07.2010
Autor: Steffi21

Hallo, dir ist bekannt, alle Dreiecke sind zueinander ähnlich, ebenso müssen die Radien [mm] \overline{CF} [/mm] und [mm] \overline{EF} [/mm] auf einer Geraden liegen, kümmern wir uns um das Dreieck CDE, bekannt ist [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] und schauen uns gleichzeitig die Lösungsvarianten an:

(A) aus [mm] \overline{EF}=6,0cm [/mm] folgt [mm] \overline{EC}=5,0cm [/mm] und [mm] \overline{ED}=4,0cm [/mm] und [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] (bekannt)

(B) aus [mm] \overline{EF}=6,5cm [/mm] folgt [mm] \overline{EC}=5,5cm [/mm] und [mm] \overline{ED}=4,5cm [/mm] und [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] (bekannt)

(C) aus [mm] \overline{EF}=7,0cm [/mm] folgt [mm] \overline{EC}=6,0cm [/mm] und [mm] \overline{ED}=5,0cm [/mm] und [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] (bekannt)

(D) aus [mm] \overline{EF}=7,5cm [/mm] folgt [mm] \overline{EC}=6,5cm [/mm] und [mm] \overline{ED}=5,5cm [/mm] und [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] (bekannt)

(E) aus [mm] \overline{EF}=8,0cm [/mm] folgt [mm] \overline{EC}=7,0cm [/mm] und [mm] \overline{ED}=6,0cm [/mm] und [mm] \overline{CD}=3,0cm [/mm] (bekannt)

jetzt gibt es doch pythagoreische Zahlentripel, Sinn dieser Aufgabe ist sicherlich keine aufwendige Rechnung über ein Gleichungssystem, denn die Zeitvorgabe reicht ja nicht für alle Aufgaben im Wettbewerb, obige Überlegung führt also zum Ziel,

Steffi

Bezug
                                                
Bezug
Känguru 2010: einfache Gleichung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:14 Do 08.07.2010
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Steffi,

falls du mit einer "aufwendigen Rechnung über ein Gleichungssystem"
meinen Vorschlag gemeint haben solltest, kann ich dich beruhigen:
Die Betrachtung des Dreiecks CDE führt nicht auf ein Gleichungs-
system, sondern auf eine einfache und sehr leicht zu lösende
Gleichung.

LG    Al-Chw.

  

Bezug
                                                
Bezug
Känguru 2010: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Do 08.07.2010
Autor: ms2008de

Hallo, Danke nochmals für die vielen Bemühungen, bin über Al´s Weg dann doch recht zügig auf r =6 cm gekommen.
Bei deinem Weg @ Steffi21 versteh ich leider noch immer nicht, wie du so schnell die [mm] \overline{ED} [/mm] bei jeder vorgegebenen Lösungsmöglichkeit folgern willst, oder sind das womöglich lediglich Abschätzungen?

>  
> (A) aus [mm]\overline{EF}=6,0cm[/mm] folgt [mm]\overline{EC}=5,0cm[/mm] und
> [mm]\overline{ED}=4,0cm[/mm] und [mm]\overline{CD}=3,0cm[/mm] (bekannt)
>  
> (B) aus [mm]\overline{EF}=6,5cm[/mm] folgt [mm]\overline{EC}=5,5cm[/mm] und
> [mm]\overline{ED}=4,5cm[/mm] und [mm]\overline{CD}=3,0cm[/mm] (bekannt)
>  
> (C) aus [mm]\overline{EF}=7,0cm[/mm] folgt [mm]\overline{EC}=6,0cm[/mm] und
> [mm]\overline{ED}=5,0cm[/mm] und [mm]\overline{CD}=3,0cm[/mm] (bekannt)
>  
> (D) aus [mm]\overline{EF}=7,5cm[/mm] folgt [mm]\overline{EC}=6,5cm[/mm] und
> [mm]\overline{ED}=5,5cm[/mm] und [mm]\overline{CD}=3,0cm[/mm] (bekannt)
>  
> (E) aus [mm]\overline{EF}=8,0cm[/mm] folgt [mm]\overline{EC}=7,0cm[/mm] und
> [mm]\overline{ED}=6,0cm[/mm] und [mm]\overline{CD}=3,0cm[/mm] (bekannt)

Viele Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Känguru 2010: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Fr 09.07.2010
Autor: Steffi21

Hallo, [mm] \overline{EG} [/mm] ist der Radius des großen Kreises, du hast vier Lösungsvarianten, z.B. für Fall (A) mit 6cm, weiterhin ist dir [mm] \overline{DG}=2cm [/mm] bekannt also ist [mm] \overline{ED}=\overline{EG}-\overline{DG}=6cm-2cm=4cm, [/mm] analog in den anderen vier Fällen (B), (C), (D) und (E), und nur im Fall (A) bekommst du das rechtwinklige Dreieck CDE, Steffi

Bezug
                                                                
Bezug
Känguru 2010: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Fr 09.07.2010
Autor: ms2008de

Danke nochmals, glaub bei den Temperaturen die letzten Tage, scheint mein Hirn doch abzuschalten, sorry, ich muss mich jetz erst mal abkühlen^^

Viele Grüße

Bezug
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