Kann Integral nicht lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi Leute also ich habe probleme mit folgendem Integral. Hab zwar die Lösung und wenn ich diese Ableite komm ich auch wieder auf dieses Integral aber ich komme nicht von diesem Integral auf die Lösung! Könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \integral_{a}^{b}{|x|*e^x dx} [/mm] |
[mm] \integral_{a}^{b}{|x|*e^x dx}
[/mm]
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Hallo tf_real10,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Mache eine Fallunterscheidung, um die Betragsstriche zu eliminieren. Mit der Definition des Betrages gilt:
[mm] $$|x|*e^x=\begin{cases} -x*e^x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ +x*e^x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}$$
[/mm]
Das jeweilige Intregal kannst Du dann mittels partieller Integration lösen.
Wähle:
$$u \ = \ x$$
$$v' \ = \ [mm] e^x$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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irgendwie soll da aber [mm] |x|e^x [/mm] - [mm] sgn(x)(e^x [/mm] -1) rauskommen.
hab dass mit der Fallunterscheidung gemacht. da komm ich für
x<0 [mm] -xe^x +e^x
[/mm]
x>=0 [mm] xe^x -e^x
[/mm]
raus! und wie komm ich da jetzt auf dass obere ergebnis?
wenn ich diese beiden formeln zusammen setze und den unterschied der vorzeichen durch sgn(x) ausdrücke komm ich auf.
[mm] sgn(x)xe^x-sgn(x)e^x
[/mm]
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> x<0 [mm]-xe^x +e^x[/mm]
> x>=0 [mm]xe^x -e^x[/mm]
>
Du hast Recht, wenn du abschnittsweise integrierst und deine Ergebnisse zusammenfasst, kommt alles so raus, wie du schreibst.
Integriere mal von a=-1 bis b=1, indem du die Grenzen in deine Terme einsetzt. Und dann integriere mal von a=-1 bis 0 und dann von 0 bis b=1. Du bekommst nun 2 mehr heraus!
Die gesuchte Stammfunktion soll nicht nur so gebaut sein, dass ihre Ableitung jeweils den Integranden ergibt, sondern auch so, dass F(b)-F(a) die Fläche zwischen f(x) und der x-Achse auch dann ergibt, wenn a<0 und b>0 ist. Hierzu muss F in x=0 stetig sein, und das ist deine Funktion nicht.
Wenn du in deinen ersten Term x=0 setzt, kommt +1 heraus, beim zweiten Term aber -1. Das bedeutet: Wenn a <0 ist und [mm] b=0-\epsilon, [/mm] kommt 2 mehr heraus, als wenn [mm] b=0+\epsilon [/mm] ist, bei beliebig kleinem [mm] \epsilon.
[/mm]
Wie kannst du den Fehler nun ausgleichen?
Du weißt, dass man zu jeder Stammfunktion eine Konstante addieren kann. So könntest du z.B. festlegen:
x<0 [mm]-xe^x +e^x[/mm]
x>=0 [mm]xe^x -e^x + 2[/mm]
Nun ist F stetig.
Für a und b <0 nimmst du den ersten Term, für a und b > 0 den zweiten und für a<0<b bei a den ersten und bei b den zweiten. Das ist insofern blöd, als dass du nun zwei verschiedene Terme aufschreiben musst, aber es funktioniert.
Schöner wäre eine Anpassung,bei der beide Terme symmetrisch aussehen. Das geht mit
x<0 [mm]-xe^x +e^x -1[/mm]
x>=0 [mm]xe^x -e^x + 1[/mm]
Dies kann man leicht zusammenfassen zu
[mm]sgn(x)*(xe^x -e^x + 1)[/mm] oder etwas verzwickter zu
[mm]|x|e^x -sgn(x)(e^x - 1)[/mm], wie in der Musterlösung angegeben.
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