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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Kante polyedrischer Kegel
Kante polyedrischer Kegel < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Kante polyedrischer Kegel: Tipp, Definition
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:38 Mi 15.04.2015
Autor: Pi_sner

Aufgabe
Hallo liebe Mathe-Freunde,
ich versuche gerade die Kanten von einem polyedrischen Kegel mittels Schnitt von Hyperebenen darzustellen, d.h. [mm] $A\in\mathbb{R}^{l\times k}$ [/mm] und [mm] $H_j(A):=\{y\in\mathbb{R}^k\,|\, \langle y,a_j \rangle \geq 0\}, \, j\in\{1,2,\dots, l\} [/mm] $ sowie mein Kegel [mm] $K(A):=\bigcap_{j=1}^{l}H_j(A)$ [/mm] sind gegeben. Gehe ich richtig von der Annahme aus, dass die Kanten vom Kegel für $l=k$ und $rg(A)=k$ dann wie folgt definiert werden können: [mm] $E_i(A)=\bigcap_{{j=1}, {j\neq i}}^l P_j(A)\cap [/mm] K(A)$ wobei [mm] $P_j(A):=\{y\in\mathbb{R}^k\,|\, \langle y,a_j \rangle = 0\}, \, j\in\{1,2,\dots,i-1,i+1,\dots l\} [/mm] $ eben die angesprochenen Hyperebenen sind.
Edit: Die [mm] $a_j$'s [/mm] sind die $l$ Zeilenvektoren von $A$.





Stimmt die Darstellung von meinen Kanten so?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:14 Sa 18.04.2015
Autor: Pi_sner

Gibts denn keine Meinung zu der Formulierung?
Ich hätte mir ein bisschen Kritik erhofft!

Also mir gehts bei meiner Darstellung darum, dass ich später den polyedrischen Kegel [mm] $\mathbb{R}^k_+$ [/mm] derart öffnen möchte, dass sich die Kante [mm] $E_i(E^k)=\{\lambda e_i^k \,|\, \lambda \in \mathbb{R}\}$ [/mm] auf der Ebene die durch die Vektoren [mm] $e^k_i$, $(1,1,\dots,1,0,1,1,\dots,1)^\mathsf{T}$ [/mm] (0 hier an i-ter Stelle) aufgespannt wird, nach "außen" (also nicht in das Innere des Kegels) "geneigt" wird, der Kegel wird also größer (beinhaltet [mm] $\mathbb{R}^k_+$. [/mm] Hier ist [mm] $E^k$ [/mm] die $k$-dim Einheitsmatrix und [mm] $e^k_i$ [/mm] der $i$-te $k$-dim Einheitsvektor.

Die Matrix, welche den neuen polyedrischen Kegel erzeugt habe ich meines Erachtens schon gefunden aber es schein wohl keiner Interesse an dem Thema zu haben?!

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Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:20 Mo 20.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:16 So 19.04.2015
Autor: hippias

Wenn Du die Kanten so definiert hast, dann sind dies die Kanten. Die Frage, ob es "stimmt", ist dann meiner Meinung nach falsch gestellt: es stimmt nach Deiner Definition.

Ich kenne mich mit dem Thema nicht aus, aber Deine Definition erscheint mir sinnvoll zu sein. Wenn Du wissen moechtest, ob auch andere ihre Kanten so wie Du definiert haben, wuerde ich in die entsprechende Literatur schauen.

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Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 So 19.04.2015
Autor: hippias

Ich wuerde auch noch irgendwelche Regularitaetsbedingungen an $A$ erwarten, um unerwuenschtes auszuschliessen.

Bezug
                        
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:23 So 19.04.2015
Autor: Pi_sner

Danke Dir für Deine Anmerkungen! Du hast bei beiden Punkten vollkommen recht!

Ich habe mich ungenau ausgedrückt. Das Problem ist wohl, dass ich mich in dem Gebiet auch nicht hinreichend auskenne und erst einmal ein paar Bücher verschlingen sollte. Ich schein jedoch nicht sonderlich begabt zu sein, was die Suche nach sinnvoller Literatur angeht.  Kann mir hier jemand ein Buch empfehlen, welches sich mit polyedrischen Kegeln befässt? Google Scholar liefert nur zu spezifische Paper und in meinem Uni Bib. Suchkatalog finde ich unter "polyedrische Kegel" leider nicht einen Eintrag, "Polyeder" & "Kegel" liefert immerhin schonmal zwei Kandidaten: Eine Vormelsammlung und ein Buch zur Kontinuums Berechnung.

Beim Blick in Zweiteres ist mir auch schonmal aufgefallen, dass sich die Definitionen von Kanten nicht decken. Dort wird eine Kante als ein eindimensionaler Schnitt einer Hyperebene mit dem Kegel beschrieben. Gibt Sinn, ist für mich jedoch zu ungenau, da ich die Kanten durchnummerieren muss. Mir ist allerdings ein Fehler bei meiner Def. aufgefallen. Die Kanten kann ich so natürlich nur definieren, wenn $l=k$ gilt. sonst wäre wohl des öfteren mal der Nullpunkt meine einzige Kante.

Was die Restriktionen von $A$ angeht muss ich mir noch Gedanken machen aber es wird definitiv welche geben.

Bezug
                                
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 09:34 Mo 20.04.2015
Autor: Pi_sner

Also um keine Unstimmigkeiten mit der gängigen Definition einer Kante eines polyedrischen Kegels zu bekommen, muss bei meiner obigen Definition die Matrix $A$ eine [mm] $k\times [/mm] k$-Matrix sein und die Matrix muss vollen Rang haben (oder reicht es, dass die Zeilen-Vektoren paarweise linear unabhängig sind?) um für alle Kanten $Ej(A)$, [mm] $j\in\{1,2,\dots,k\}$ [/mm] immer einen eindimensionalen Schnitt eines Halbraumes mit dem Kegel $K(A)$ zu bekommen. Kann mir das jemand hier bestätigen? Habe ich etwas vergessen?

Mir ist natürlich klar, dass diese Aussage zu beweisen wäre. Ich kenne mich nur leider nicht auf dem Themengebiet aus und habe keine Zeit mich einzuarbeiten, da dies nur ein kleiner Teil einer Arbeit ist, die ich Ende des Monats abgeben muss. :/
Deshalb hoffe ich auf schnelle Hilfe eines Experten.

Bezug
                                        
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Korrektur
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:04 Mi 22.04.2015
Autor: Pi_sner

Ok, ich habe mir jetzt mal ein Skript, welches sich mit dem Thema befasst angeschaut und folgende Definitionen und Sätze gefunden:

Def.1:
Zu  einem konvexen Kegel $ K $ ist der duale Kegel wie folgt definiert [mm] $$\bar{K}:=\{y\in\mathbb{R}^k \, | \,\langle y,k \rangle \geq 0\, \forall k\in K \}.$$ [/mm]
Def.2:
Sei [mm] $A\in\mathbb{R}^{l\times k}$ [/mm] die Matrix welche den polyedrischen Kegel $K(A)$ induziert. Dann heißt eine Teilmenge $F$ von $K(A)$ Seite von $K(A)$ falls ein [mm] $v\in \bar{K}$ [/mm] existiert, sodass [mm] $F=K(A)\cap v^\perp$ [/mm] und wahre Seite,  falls [mm] $v\neq [/mm] 0$, wobei [mm] $v^\perp:=\{y\in\mathbb{R}^k\,|\,\langle y,v\rangle = 0\}$ [/mm] die von $v$ induzierte Hyperebene ist.

Def.3:
Sei [mm] $A\in\mathbb{R}^{l\times k}$ [/mm] die Matrix die den polyedrischen Kegel  $K(A)$ induziert. Eine Seite $F$ von $K(A)$ heißt dann:
- Kante falls $F$ ein-dimensional ist,
- Fasette falls $F$ $(k-1)$-dimensional ist.

Satz1:
Sei [mm] $A\in\mathbb{R}^{l\times k}$ [/mm] die Matrix die den polyedrischen Kegel  $K(A)$ induziert. Dann gilt folgendes:
Jede echte Fasette von $K(A)$ ist der Schnitt aller Fasetten von $K(A)$ welche sie enthalten.

Jetzt sieht mein Beweis, dass meine obige Definition einer Kante nicht mit der hier genannten bricht, so aus:

[mm] \textbf{\underline{Beh.:}}\\ [/mm] Sei für alle [mm] $j\in\{1,2,\dots,k\}$, $a_j \in \mathbb{R}^k$ [/mm] der $j$e Zeilenvektor der Matrix [mm] $A\in\mathbb{R}^{k\times k}$ [/mm] und sei $rg(A)=k$. Dann gilt [mm] $E_i(A)$ [/mm] wie oben definiert ist eine Kante von $K(A)$ im Sinn von Def.3 und umgekehrt.
[mm] \\ [/mm]
[mm] \Bew.: [/mm]
[mm] \\'$\subseteq$': [/mm]
Sei [mm] $E_i(A)=\bigcap_{{j=1}, {j\neq i}}^k P_j(A)\cap [/mm] K(A)$. Offensichtlich ist [mm] $P_j(A)\cap [/mm] K(A)$ eine Seite von $K(A)$ und (nach dem Skript) ist der Schnitt zweier Seiten von $K(A)$ wieder eine Seite von $K(A)$. Deshalb ist [mm] $E_i(A)$ [/mm] eine Seite von $K(A)$. Mit [mm] $A_{-i}\in\mathbb{R}^{(k-1)\times k}$ [/mm] sei die Matrix $A$ ohne den $i$-ten Zeienvektor gemeint, dann gilt [mm] $\bigcap_{{j=1}, {j\neq i}}^k P_j(A) [/mm] = [mm] \large\{y\in\mathbb{R}^k \,|\, A_{-i}y = 0 \, \forall j\in\{1,2,\dots,k\}, j\neq i\large\}$. [/mm] Also ist die Kante die Lösung von einem homogenen LGS. Da $rg(A)=k$ bzw alle Zeilenvektoren von $A$ linear abh. sind folgt [mm] $rg(A_{-i})=(k-1)$. [/mm] Und darum hat die Lösungsmannigfaltigkeit von dem homogenen LGS Dimension $k-(k-1)=1$.
[mm] \\'$\supseteq$': [/mm]
Sei [mm] $F_1$ [/mm] eine ein-dimensionale Fasette von $K(A)$ mit Satz1 folgt, dass [mm] $F_1$ [/mm] der Schnitt aller Fasetten [mm] $F_{k-1}$ [/mm] ist, die $F$ enthalten. Da die Menge aller Fasetten von $K(A)$ durch [mm] $\{F_{k-1}^j=K(A)\cap a_j^\perp, j\in\{1,2,\dots,k\} \}$ [/mm] gegeben ist und $rg(A)=k$ gilt, folgt dass [mm] $F_1 [/mm] = [mm] \bigcap_{{j=1}, {j\neq i}}^k F_{k-1}^j [/mm] = [mm] E_i(A)$ [/mm] für ein [mm] $i\in\{1,2,\dots,k\}$ [/mm] gelten muss um eine eindimensionale Seite zu sein. (selbe Argumentation wie oben)

Wäre schön wenn mir jemand ein Feedback zu meinem Gedankengang geben könnte!


Bezug
                                                
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 29.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
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Kante polyedrischer Kegel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:21 Di 28.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                
Bezug
Kante polyedrischer Kegel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 21.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Kante polyedrischer Kegel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 So 19.04.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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