Kap. 2.1 < Kapitel 2: Ringe und < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | statler |
Sei K ein Körper und g [mm] \in [/mm] K[X] ein Polynom einer Variablen vom Grad d > 0. Man beweise die Existenz der sogenannten g-adischen Entwicklung: Zu f [mm] \in [/mm] K[X] gibt es eindeutig bestimmte Polynome [mm] a_{0}, a_{1} [/mm] ... [mm] \in [/mm] K[X] vom Grad < d, [mm] a_{i} [/mm] = 0 für fast alle i, mit f = [mm] \summe_{i}{}a_{i}g^{i}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mi 07.03.2007 | | Autor: | comix |
Sei grad(f) < d: [mm] a_{0} [/mm] := f.
Bew. mit Induktion über den Grad von f.
Sei grad(f) = d: Nach (2.1) Satz 4 gibt es [mm] a_{1}, a_{0} \in [/mm] K[X] mit
f = [mm] a_{1}g [/mm] + [mm] a_{0}, [/mm] grad [mm] (a_{0})
Sei nun grad(f) > d. Wähle n := max {i | i > 0 mit [mm] grad(g^{i}) \le [/mm] grad(f)}. Wieder nach Satz 4 gibt es [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n-1} [/mm] mit:
f = [mm] a_{n}g^{n} [/mm] + [mm] b_{n-1}, [/mm] grad( [mm] b_{n-1}) [/mm] < grad(f), [mm] a_{n}, b_{n-1} [/mm] eindeutig bestimmt. Nach IV (Induktionsvor.) gilt nun die Aussage für [mm] b_{n-1}:
[/mm]
[mm] b_{n-1} [/mm] = $ [mm] \summe_{i}{}a_{i}g^{i}. [/mm] $
Damit ist die Existenz gezeigt. Für die Eindeutigkeit genügt es zu zeigen, dass für alle i [mm] \ge [/mm] n die [mm] a_{i} [/mm] in der Summe für [mm] b_{n-1} [/mm] verschwinden. Wäre [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 für i [mm] \ge [/mm] n, so wäre [mm] a_{i}g^{i} [/mm] ungleich 0 und damit [mm] grad(b_{n-1}) \ge [/mm] n. Widerspruch zur Aussage oben.
Zu gegebenem f sind [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n-1} [/mm] eindeutig bestimmt, zu [mm] b_{n-1} [/mm] sind [mm] a_{i} [/mm] eindeutig bestimmt, i < n. Somit ist die Aussage bewiesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei grad(f) < d: [mm]a_{0}[/mm] := f.
>
> Bew. mit Induktion über den Grad von f.
>
> Sei grad(f) = d: Nach (2.1) Satz 4 gibt es [mm]a_{1}, a_{0} \in[/mm]
> K[X] mit
Leider habe ich das Buch nicht mehr zur Hand, aber ich hoffe mal, daß das Zitat stimmt.
> f = [mm]a_{1}g[/mm] + [mm]a_{0},[/mm] grad [mm](a_{0})
> bestimmt. (Induktionsanfang)
>
> Sei nun grad(f) > d. Wähle $n := max [mm] \{i | i > 0 mit grad(g^{i}) \le grad(f)\}$.
[/mm]
> Wieder nach Satz 4 gibt es [mm]a_{n}[/mm]
> und [mm]b_{n-1}[/mm] mit:
>
> f = [mm]a_{n}g^{n}[/mm] + [mm]b_{n-1},[/mm] grad( [mm]b_{n-1})[/mm] < grad(f), [mm]a_{n}, b_{n-1}[/mm]
> eindeutig bestimmt. Nach IV (Induktionsvor.) gilt nun die
> Aussage für [mm]b_{n-1}:[/mm]
>
> [mm]b_{n-1}[/mm] = [mm]\summe_{i}{}a_{i}g^{i}.[/mm]
>
> Damit ist die Existenz gezeigt. Für die Eindeutigkeit
> genügt es zu zeigen, dass für alle i [mm]\ge[/mm] n die [mm]a_{i}[/mm] in der
> Summe für [mm]b_{n-1}[/mm] verschwinden. Wäre [mm]a_{i} \not=[/mm] 0 für i
> [mm]\ge[/mm] n, so wäre [mm]a_{i}g^{i}[/mm] ungleich 0 und damit
> [mm]grad(b_{n-1}) \ge[/mm] n. Widerspruch zur Aussage oben.
>
> Zu gegebenem f sind [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n-1}[/mm] eindeutig bestimmt,
> zu [mm]b_{n-1}[/mm] sind [mm]a_{i}[/mm] eindeutig bestimmt, i < n. Somit ist
> die Aussage bewiesen.
Sehr schön.
Gruß
Dieter
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