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Kardidoide: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:38 So 24.05.2009
Autor: SEBBI001

Aufgabe
Es ist C: p = 1 + [mm] cos\alpha [/mm] die Polarform einer Kardioide.
Nun sei t = [mm] tan(\bruch{\alpha}{2}) [/mm] Zeigen sie, dass die parametrische Koordinatenform von C
x = [mm] 2\bruch{1 - t^2}{(1 + t^2)^2} [/mm] und
y = [mm] \bruch{4t}{(1 + t^2)^2} [/mm] ist und berechnen Sie die Länge von C

Also ich hab die Gleichung in kartesischen  Koordinaten , die ist [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - [mm] x)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] (die war gegeben). Muss ich jetzt die parametrische Form da einsetzen? Das wäre ja eine riesige Rechnerei Und was soll dann am Ende rauskommen? Zur Längenberechnung hab ich keine Ahnung. Danke für eure Hilfe

        
Bezug
Kardidoide: Bogenlänge
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 24.05.2009
Autor: Martinius

Hallo,

zur Längenberechnung:

[guckstduhier]

[]http://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%A4nge_(Mathematik)

LG, Martinius

Bezug
                
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Kardidoide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mo 25.05.2009
Autor: SEBBI001

Danke, aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen. Kann mir irgendwer einen Ansatz geben. Bitte!!!

Bezug
                        
Bezug
Kardidoide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Mo 25.05.2009
Autor: MathePower

Hallo SEBBI001,

> Danke, aber irgendwie kann ich damit nichts anfangen. Kann
> mir irgendwer einen Ansatz geben. Bitte!!!


Nun, der Radius der Kardioide ist gegeben durch

[mm]p=1+\cos\left(\alpha\right)[/mm]

Weiterhin ist

[mm]x=p*\cos\left(\alpha\right)[/mm]

[mm]y=p*\sin\left(\alpha\right)[/mm]

Um jetzt zur angegebenen Parameterdarstellung zu kommen, löse

[mm]t=\tan\left(\bruch{\alpha}{2}\right)[/mm]

nach [mm]\alpha[/mm] auf, und setze das dann
in die entsprechenden Gleichungen ein.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
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Kardidoide: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Di 26.05.2009
Autor: SEBBI001

Danke, das hab ich jetzt dank deines Hinweises rausbekommen. Und wie ist das nun mit der Länge??

Bezug
                                        
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Kardidoide: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:31 Di 26.05.2009
Autor: MathePower

Hallo SEBBI001,

> Danke, das hab ich jetzt dank deines Hinweises
> rausbekommen. Und wie ist das nun mit der Länge??


Nun, da mußt Du das Integral

[mm]\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{\wurzel{ \left( \ \dot{x}\left(t\right) \ \right)^{2} + \left( \ \dot{y}\left(t\right) \ \right)^{2}}\ dt}[/mm]

auswerten.


Gruß
MathePower

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