Kart. in Polarkoordinaten < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Stellen Sie die vier (verschiedenen!) Nullstellen z1; z2; z3; z4 des Polynoms
g(z) := [mm] (z^{2} [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] + 1
in der Form [mm] z_{k} [/mm] = [mm] r_{k}\*(cos(\delta_{k}) [/mm] + i [mm] \* sin(\delta_{k})); r_{k}\ge [/mm] 0; [mm] \delta_{k} \in [/mm] [0; [mm] 2\pi); [/mm] k = 1; 2; 3; 4 dar. |
Hallo zusammen,
ich habe mal einen alternativen Rechenweg für die Aufgabe ausprobiert und scheitere nun an der Umwandlung der kartesischen Form in Polarform, bzw. bin mir unsicher, ob mein Zwischenergebnis falsch ist oder ich einfach nur unfähig bin, zu erkennen, dass meine Lösung mit der Musterlösung übereinstimmt.
Hier mein bisheriger Rechenweg:
[mm] (z^{2} [/mm] - [mm] 1)^{2} [/mm] + 1= 0
mit PQ-Formel folgt: [mm] z_{1}= [/mm] -1 + i
[mm] z_{2}= [/mm] -1 - i
Da ja bei komplexen Zahlen auch das komplex Konjugierte der Nullstelle eine Lösung darstellt, folgt weiterhin
[mm] z_{3}= [/mm] 1 - i
[mm] z_{4}= [/mm] 1 + i
Bis hiehin bin ich mir zu 90% sicher, dass es stimmt. Für die Umwandlung in Polarform brauche ich noch das [mm] r_{k}=|z_{k}|= \wurzel{2}. [/mm]
Für [mm] \delta_{k} [/mm] folgen: [mm] \delta_{1}= 0.75\pi
[/mm]
[mm] \delta_{2}= -0.75\pi
[/mm]
[mm] \delta_{3}= -0.25\pi
[/mm]
[mm] \delta_{4}= 0.25\pi
[/mm]
Hier ergibt sich jetzt ein Problem: [mm] \delta_{2} [/mm] und [mm] \delta_{3} [/mm] sind ja nicht im geforderten Definitionsbereich, darf ich hier einfach [mm] 2\pi [/mm] addieren; wenn ich "einmal im Kreis gehe" sollte sich ja nichts ändern, oder?
In Polarkoordinatenform ergibt sich dann:
[mm] z_{1}= \wurzel{2} \* [/mm] (cos [mm] (0.75\pi) [/mm] + sin [mm] (0.75\pi))
[/mm]
[mm] z_{2}= \wurzel{2} \* [/mm] (cos [mm] (1.25\pi) [/mm] + sin [mm] (1.25\pi))
[/mm]
[mm] z_{3}= \wurzel{2} \* [/mm] (cos [mm] (1.75\pi) [/mm] + sin [mm] (1.75\pi))
[/mm]
[mm] z_{4}= \wurzel{2} \* [/mm] (cos [mm] (0.25\pi) [/mm] + sin [mm] (0.25\pi))
[/mm]
Laut Musterlösung kommt heraus:
[mm] z_{1}= \wurzel[4]{2} \* [/mm] (cos [mm] (0.125\pi) [/mm] + sin [mm] (0.125\pi))
[/mm]
[mm] z_{2}= \wurzel[4]{2} \* [/mm] (cos [mm] (1.125\pi) [/mm] + sin [mm] (1.125\pi))
[/mm]
[mm] z_{3}= \wurzel[4]{2} \* [/mm] (cos [mm] (0.875\pi) [/mm] + sin [mm] (0.875\pi))
[/mm]
[mm] z_{4}= \wurzel[4]{2} \* [/mm] (cos [mm] (1.875\pi) [/mm] + sin [mm] (1.875\pi))
[/mm]
Noch ein kurzer Gedankengang: Liegt es daran, dass sich in beiden Lösungen jeweils zwei der Ergebnisse um [mm] \pi [/mm] unterscheiden, weil das die jeweils kompex konjugierten Ergebnisse sind?
Würde mich sehr über eine Erleuchtung freuen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:48 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal vorweg:
> Stellen Sie die vier (verschiedenen!) Nullstellen z1; z2;
> z3; z4 des Polynoms
> g(z) := [mm](z^{2}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] + 1
> in der Form [mm]z_{k}[/mm] = [mm]r_{k}\*(cos(\delta_{k})[/mm] + i [mm]\* sin(\delta_{k})); r_{k}\ge[/mm]
> 0; [mm]\delta_{k} \in[/mm] [0; [mm]2\pi);[/mm] k = 1; 2; 3; 4 dar.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mal einen alternativen Rechenweg für die Aufgabe
> ausprobiert und scheitere nun an der Umwandlung der
> kartesischen Form in Polarform, bzw. bin mir unsicher, ob
> mein Zwischenergebnis falsch ist oder ich einfach nur
> unfähig bin, zu erkennen, dass meine Lösung mit der
> Musterlösung übereinstimmt.
sowas kann man mit *Probe* gegenkontrollieren; also Einsetzen (erstmal
eines) der Ergebnisse in die Ausgangsgleichung!
> Hier mein bisheriger Rechenweg:
> [mm](z^{2}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] + 1= 0
> mit PQ-Formel folgt: [mm]z_{1}=[/mm] -1 + i
> [mm]z_{2}=[/mm] -1 - i
Vielleicht hast Du es nicht bemerkt, aber: Du hast
[mm] $w:=z^2-1$
[/mm]
gesetzt. Dann ist
[mm] $w^2=-1$ $\iff$ $w=w_{1,2}:=\pm i\,.$
[/mm]
Es folgt dann
[mm] $z^{\red{2}}-1=\pm i\,$
[/mm]
[mm] $\iff$ $z^{\red{2}}=1 \pm i\,.$
[/mm]
> Da ja bei komplexen Zahlen auch das komplex Konjugierte
> der Nullstelle eine Lösung darstellt,
Den Satz würde ich vorsichtiger formulieren. Das Polynom [mm] $p(z)=z-i\,$ [/mm] hat die
komplexe Nullstelle [mm] $z\,=\,i\,,$ [/mm] aber sicher nicht [mm] $z\,=\,-i$:
[/mm]
[mm] $p(i)=i-i=0\,,$ [/mm] aber $p(-i)=-i-i=-2i [mm] \neq 0\,.$
[/mm]
Allerdings: Ist ein Polynom [mm] $q(z)=\sum_{k=0}^n q_k z^k$ [/mm] so, dass alle [mm] $q_k \in \IR$ [/mm] sind,
dann...?? (Ergänze den Satz, beweise ihn auch mal!)
> folgt weiterhin
> [mm]z_{3}=[/mm] 1 - i
> [mm]z_{4}=[/mm] 1 + i
> Bis hiehin bin ich mir zu 90% sicher, dass es stimmt.
Siehe oben. Weiterer Hinweis: Für $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $(a+bi)^2=\blue{1}+\red{\,1\,}*i$ [/mm]
[mm] $\iff$ $a^2-b^2=\blue{1}$ [/mm] und [mm] $2ab*i=\red{\,1}*i$ [/mm]
[mm] $\iff$ $a^2-b^2=\blue{1}$ [/mm] und [mm] $2ab=\red{\,1}$ [/mm]
Insbesondere gilt $a,b [mm] \in \IR \setminus \{0\}$, [/mm] setze also
$b=1/(2a)$
in [mm] $a^2-b^2=1$ [/mm] ein...
P.S. Wozu dient der Hinweis wohl? Ein besserer Hinweis wäre allerdings
vielleicht:
[mm] $1+i=\sqrt{2}*\exp(i*\tfrac{\pi}{4})$
[/mm]
Gruß,
Marcel
> Für die Umwandlung in Polarform brauche ich noch das
> [mm]r_{k}=|z_{k}|= \wurzel{2}.[/mm]
> Für [mm]\delta_{k}[/mm] folgen: [mm]\delta_{1}= 0.75\pi[/mm]
>
> [mm]\delta_{2}= -0.75\pi[/mm]
>
> [mm]\delta_{3}= -0.25\pi[/mm]
> [mm]\delta_{4}= 0.25\pi[/mm]
>
> Hier ergibt sich jetzt ein Problem: [mm]\delta_{2}[/mm] und
> [mm]\delta_{3}[/mm] sind ja nicht im geforderten Definitionsbereich,
> darf ich hier einfach [mm]2\pi[/mm] addieren; wenn ich "einmal im
> Kreis gehe" sollte sich ja nichts ändern, oder?
> In Polarkoordinatenform ergibt sich dann:
> [mm]z_{1}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](0.75\pi)[/mm] + sin [mm](0.75\pi))[/mm]
> [mm]z_{2}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](1.25\pi)[/mm] + sin [mm](1.25\pi))[/mm]
> [mm]z_{3}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](1.75\pi)[/mm] + sin [mm](1.75\pi))[/mm]
> [mm]z_{4}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](0.25\pi)[/mm] + sin [mm](0.25\pi))[/mm]
>
> Laut Musterlösung kommt heraus:
> [mm]z_{1}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](0.125\pi)[/mm] + sin [mm](0.125\pi))[/mm]
> [mm]z_{2}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](1.125\pi)[/mm] + sin [mm](1.125\pi))[/mm]
> [mm]z_{3}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](0.875\pi)[/mm] + sin [mm](0.875\pi))[/mm]
> [mm]z_{4}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](1.875\pi)[/mm] + sin [mm](1.875\pi))[/mm]
>
> Noch ein kurzer Gedankengang: Liegt es daran, dass sich in
> beiden Lösungen jeweils zwei der Ergebnisse um [mm]\pi[/mm]
> unterscheiden, weil das die jeweils kompex konjugierten
> Ergebnisse sind?
>
>
> Würde mich sehr über eine Erleuchtung freuen :)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Hi,
> Vielleicht hast Du es nicht bemerkt, aber: Du hast
>
> [mm]w:=z^2-1[/mm]
>
> gesetzt.
Ja in der Tat ist mir das erst später aufgefallen, weswegen ich auch die Aussage mit dem komplex Konjugierten gebracht habe. Die Probe hat mit meinen Ergebnissen einen Widerspruch erzeugt, mit deinen Ergebnissen hat es dann funktioniert und mir wurde dann auch klar, was die Musterlösung die ganze Zeit gerechnet hat und wie man den Einheitskreis benutzt.
> Allerdings: Ist ein Polynom [mm]q(z)=\sum_{k=0}^n q_k z^k[/mm] so,
> dass alle [mm]q_k \in \IR[/mm] sind,
> dann...?? (Ergänze den Satz, beweise ihn auch mal!)
... gilt meine Aussage? Zum Beweis fehlt mir ein vernünftiger Ansatz, hätte jetzt evt. damit argumentiert, dass wenn noch ein imaginärer Teil im Polynom ist, bei der komplex konjugierten Lösung theoretisch auch der imaginäre Teil im Polynom komplex konjugiert werden würde?
> P.S. Wozu dient der Hinweis wohl?
Du willst mir irgendwie klarmachen, dass ich aus der Musterlösung durch Umformen auch meine Lösung erhalten kann.
für a = [mm] \pm(1\pm(\wurzel{3}))
[/mm]
Ich würde jetzt gerne hiermit und mit b entweder auf r= [mm] \wurzel[4]{2} [/mm] oder mit arctan= [mm] |\bruch{b}{a}| [/mm] auf 0.125 [mm] \pi [/mm] kommen, aber irgendwie krieg ich das nicht hin. Wobei es mich ohnhin stuzig macht, dass ich für a vier verschiedene Lösungen erhalte, da muss ich doch was falsch gemacht haben?
Beste Grüße |
> Hallo,
>
> erstmal vorweg:
> > Stellen Sie die vier (verschiedenen!) Nullstellen z1;
> z2;
> > z3; z4 des Polynoms
> > g(z) := [mm](z^{2}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] + 1
> > in der Form [mm]z_{k}[/mm] = [mm]r_{k}\*(cos(\delta_{k})[/mm] + i [mm]\* sin(\delta_{k})); r_{k}\ge[/mm]
> > 0; [mm]\delta_{k} \in[/mm] [0; [mm]2\pi);[/mm] k = 1; 2; 3; 4 dar.
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich habe mal einen alternativen Rechenweg für die Aufgabe
> > ausprobiert und scheitere nun an der Umwandlung der
> > kartesischen Form in Polarform, bzw. bin mir unsicher, ob
> > mein Zwischenergebnis falsch ist oder ich einfach nur
> > unfähig bin, zu erkennen, dass meine Lösung mit der
> > Musterlösung übereinstimmt.
>
> sowas kann man mit *Probe* gegenkontrollieren; also
> Einsetzen (erstmal
> eines) der Ergebnisse in die Ausgangsgleichung!
>
> > Hier mein bisheriger Rechenweg:
> > [mm](z^{2}[/mm] - [mm]1)^{2}[/mm] + 1= 0
> > mit PQ-Formel folgt: [mm]z_{1}=[/mm] -1 + i
> > [mm]z_{2}=[/mm] -1 - i
>
> Vielleicht hast Du es nicht bemerkt, aber: Du hast
>
> [mm]w:=z^2-1[/mm]
>
> gesetzt. Dann ist
>
> [mm]w^2=-1[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]w=w_{1,2}:=\pm i\,.[/mm]
>
> Es folgt dann
>
> [mm]z^{\red{2}}-1=\pm i\,[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]z^{\red{2}}=1 \pm i\,.[/mm]
>
> > Da ja bei komplexen Zahlen auch das komplex Konjugierte
> > der Nullstelle eine Lösung darstellt,
>
> Den Satz würde ich vorsichtiger formulieren. Das Polynom
> [mm]p(z)=z-i\,[/mm] hat die
> komplexe Nullstelle [mm]z\,=\,i\,,[/mm] aber sicher nicht [mm]z\,=\,-i[/mm]:
>
> [mm]p(i)=i-i=0\,,[/mm] aber [mm]p(-i)=-i-i=-2i \neq 0\,.[/mm]
>
> Allerdings: Ist ein Polynom [mm]q(z)=\sum_{k=0}^n q_k z^k[/mm] so,
> dass alle [mm]q_k \in \IR[/mm] sind,
> dann...?? (Ergänze den Satz, beweise ihn auch mal!)
>
> > folgt weiterhin
> > [mm]z_{3}=[/mm] 1 - i
> > [mm]z_{4}=[/mm] 1 + i
> > Bis hiehin bin ich mir zu 90% sicher, dass es stimmt.
>
> Siehe oben. Weiterer Hinweis: Für [mm]a,b \in \IR[/mm] gilt
>
> [mm](a+bi)^2=\blue{1}+\red{\,1\,}*i[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]a^2-b^2=\blue{1}[/mm] und [mm]2ab*i=\red{\,1}*i[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] [mm]a^2-b^2=\blue{1}[/mm] und [mm]2ab=\red{\,1}[/mm]
>
> Insbesondere gilt [mm]a,b \in \IR \setminus \{0\}[/mm], setze also
>
> [mm]b=1/(2a)[/mm]
>
> in [mm]a^2-b^2=1[/mm] ein...
>
> P.S. Wozu dient der Hinweis wohl? Ein besserer Hinweis
> wäre allerdings
> vielleicht:
>
> [mm]1+i=\sqrt{2}*\exp(i*\tfrac{\pi}{4})[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
>
> > Für die Umwandlung in Polarform brauche ich noch das
> > [mm]r_{k}=|z_{k}|= \wurzel{2}.[/mm]
> > Für [mm]\delta_{k}[/mm] folgen: [mm]\delta_{1}= 0.75\pi[/mm]
> >
>
> > [mm]\delta_{2}= -0.75\pi[/mm]
> >
> > [mm]\delta_{3}= -0.25\pi[/mm]
> >
> [mm]\delta_{4}= 0.25\pi[/mm]
> >
> > Hier ergibt sich jetzt ein Problem: [mm]\delta_{2}[/mm] und
> > [mm]\delta_{3}[/mm] sind ja nicht im geforderten Definitionsbereich,
> > darf ich hier einfach [mm]2\pi[/mm] addieren; wenn ich "einmal im
> > Kreis gehe" sollte sich ja nichts ändern, oder?
> > In Polarkoordinatenform ergibt sich dann:
> > [mm]z_{1}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](0.75\pi)[/mm] + sin [mm](0.75\pi))[/mm]
> > [mm]z_{2}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](1.25\pi)[/mm] + sin [mm](1.25\pi))[/mm]
> > [mm]z_{3}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](1.75\pi)[/mm] + sin [mm](1.75\pi))[/mm]
> > [mm]z_{4}= \wurzel{2} \*[/mm] (cos [mm](0.25\pi)[/mm] + sin [mm](0.25\pi))[/mm]
> >
> > Laut Musterlösung kommt heraus:
> > [mm]z_{1}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](0.125\pi)[/mm] + sin [mm](0.125\pi))[/mm]
> > [mm]z_{2}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](1.125\pi)[/mm] + sin
> [mm](1.125\pi))[/mm]
> > [mm]z_{3}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](0.875\pi)[/mm] + sin
> [mm](0.875\pi))[/mm]
> > [mm]z_{4}= \wurzel[4]{2} \*[/mm] (cos [mm](1.875\pi)[/mm] + sin
> [mm](1.875\pi))[/mm]
> >
> > Noch ein kurzer Gedankengang: Liegt es daran, dass sich in
> > beiden Lösungen jeweils zwei der Ergebnisse um [mm]\pi[/mm]
> > unterscheiden, weil das die jeweils kompex konjugierten
> > Ergebnisse sind?
> >
> >
> > Würde mich sehr über eine Erleuchtung freuen :)
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich mache es mal kurz: Sind alle [mm] $q_k$ [/mm] reell und ist
[mm] $q(z)=\sum_{k=0}^n q_kz^k$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$!)
[/mm]
so, dass $w [mm] \in \IC$ [/mm] erfüllt [mm] $q(w)=0\,,$ [/mm] so folgt auch [mm] $q(\overline{w})=0$, [/mm] denn
[mm] $q(\overline{w})=\sum_{k=0}^n q_k (\overline{w})^k=\sum_{k=0}^n (\overline{q_k})*\overline{w^k}=\sum_{k=0}^n \overline{q_k*w^k}=\overline{\sum_{k=0}^n q_kw^k}=\overline{q(w)}=\overline{0}=0\,.$
[/mm]
Beachte, dass ich dabei benutzt habe:
[mm] $\overline{r}=r$ [/mm] für alle reellen [mm] $r\,,$
[/mm]
[mm] $\overline{w_1 \circ w_2}=\overline{w_1} \circ \overline{w_2}$ [/mm] mit [mm] $\circ \in \{+,\,*\}$.
[/mm]
(Insbesondere ergibt sich mit der "Multiplikationsregel" dann [mm] $\overline{(w_1)^k}=(\overline{w_1})^k$!)
[/mm]
Zu dem Rest: Die komplexen WurzelN aus [mm] $1+i\,$ [/mm] (derer gibt es 2!) kannst Du
auf 2 Wegen berechnen. Der letzte Tipp war im Endeffekt, dass Du sie
dafür in die Eulersche Form bringst:
Alle komplexen Zahlen [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z^2=1+i$ [/mm] erfüllen dann
[mm] $z^2=\sqrt{2}*\exp(i*\pi/4)$
[/mm]
Man kann das auch anders rechnen, aber ich mache es mal über den Weg
der n-ten Einheitswurzeln im Komplexen. Ich teile durch die rechte Seite und
schreibe die linke um:
[mm] $\left(\frac{z}{\sqrt{2}^{1/2}*\exp(i*\pi/4)^{1/2}}\right)^2=1\,.$
[/mm]
Ich bezeichne den Term innerhalb der Klammern linkerhand als [mm] $w\,:$
[/mm]
[mm] $w^2=1\,.$
[/mm]
Diese Gleichung hat nur die komplexen Lösungen [mm] $w_{1,2}=\pm [/mm] 1$. (Wir könnten
nun auch schreiben
[mm] $1=\exp(i*0)$ [/mm] und [mm] $-1=\exp(i*\pi)\,,$
[/mm]
bei anderen Aufgaben wäre das vielleicht besser. Etwa wenn wir nichtreelle
Einheitswurzeln hätten!)
Also haben wir
[mm] $\frac{z}{\sqrt{2}^{1/2}*\exp(i*\pi/4)^{1/2}}=1$
[/mm]
oder
[mm] $\frac{z}{\sqrt{2}^{1/2}*\exp(i*\pi/4)^{1/2}}=-1\,.$
[/mm]
Schreibe noch [mm] $\sqrt{2}^{1/2}=\sqrt[4]{2}$ [/mm] (klar, oder?) und überlege Dir, wie
man [mm] $\exp(i*\pi/4)^{1/2}=(e^{i*\pi/4})^{1/2}$ [/mm] weiter umformen kann...
Der andere Weg war: Wir suchen komplexe Zahlen $a+ib$ ($a,b [mm] \in \IR$) [/mm] so, dass
[mm] $(a+ib)^2=1+i\,.$
[/mm]
Daraus folgten dann die (notwendig und hinreichenden) Gleichungen
[mm] $a^2-b^2=1$ [/mm] und [mm] $2ab=1\,.$
[/mm]
Versuche mal alle Lösungspaare $(a,b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] für das Gleichungssystem, bestehend
aus diesen beiden Gleichungen, zu berechnen.
Danach brauchst Du auch noch die zwei Wurzeln aus [mm] $1-i\,;$ [/mm] versuche mal, das
analog zu rechnen!
Gruß,
Marcel
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