Karte einer UMFK < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Sa 09.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Alle,
Hab wieder mal ein Verständnisproblem. Diesmal geht es um die Definition einer Karte einer Untermannigfaltigkeit. Wir haben folgende Definition aufgeschrieben:
$M [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] heißt $k$-dimensionale [mm] $C^l$-Untermannigfaltigkeit, [/mm] wenn gilt
Jeder Punkt [mm] $p\in [/mm] M$ besitzt offene Umgebung $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] mit
[mm] $C^l$-Diffeomorphismus [/mm] $h:U [mm] \to [/mm] U'$, wobei $U' [mm] \subseteq \IR^n=\IR^k \times \IR^{n-k}$ [/mm] offen
und [mm] $h(U\cap [/mm] M)= [mm] U'\cap (\IR^k\times \left\{0\right\})$ [/mm] ist.
Ein solches $h$ heißt Karte der Untermannigfaltigkeit $M$.
Mir ist schon einigermaßen klar, was eine Untermannigfaltigkeit und eine Karte ist, ich hab nur Probleme einen Teil der Definition zu verstehen:
[mm] $h(U\cap [/mm] M)= [mm] U'\cap (\IR^k\times \left\{0\right\})$
[/mm]
[mm] $h(U\cap [/mm] M)$, gut, dass ist dann halt einfach nur die Umgebung eines Punktes P innerhalb der UMFK, die dann durch $h$ auf irgendwas abgebildet wird. Ist das Ergebnis der Abbildung $h$ dann die Karte, bzw, falls nicht, wie kann eine Funktion eine Karte sein? Und was genau bedeutet [mm] $\IR^k\times \left\{0\right\}$ [/mm] Ein Raum gekreuzt mit der Menge Null?? Ist das dann wieder der gleiche Raum? Wofür ist das gut? Das versteh ich leider überhaupt nicht...
Grüße Cruemel
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Hallo.
> Hab wieder mal ein Verständnisproblem. Diesmal geht es um
> die Definition einer Karte einer Untermannigfaltigkeit. Wir
> haben folgende Definition aufgeschrieben:
>
> [mm]M \subseteq \IR^n[/mm] heißt [mm]k[/mm]-dimensionale
> [mm]C^l[/mm]-Untermannigfaltigkeit, wenn gilt
> Jeder Punkt [mm]p\in M[/mm] besitzt offene Umgebung [mm]U \subseteq \IR^n[/mm]
> mit
> [mm]C^l[/mm]-Diffeomorphismus [mm]h:U \to U'[/mm], wobei [mm]U' \subseteq \IR^n=\IR^k \times \IR^{n-k}[/mm]
> offen
> und [mm]h(U\cap M)= U'\cap (\IR^k\times \left\{0\right\})[/mm]
> ist.
> Ein solches [mm]h[/mm] heißt Karte der Untermannigfaltigkeit [mm]M[/mm].
>
> Mir ist schon einigermaßen klar, was eine
> Untermannigfaltigkeit und eine Karte ist, ich hab nur
> Probleme einen Teil der Definition zu verstehen:
> [mm]h(U\cap M)= U'\cap (\IR^k\times \left\{0\right\})[/mm]
>
> [mm]h(U\cap M)[/mm], gut, dass ist dann halt einfach nur die
> Umgebung eines Punktes P innerhalb der UMFK, die dann durch
> [mm]h[/mm] auf irgendwas abgebildet wird. Ist das Ergebnis der
> Abbildung [mm]h[/mm] dann die Karte, bzw, falls nicht, wie kann eine
> Funktion eine Karte sein? Und was genau bedeutet
> [mm]\IR^k\times \left\{0\right\}[/mm] Ein Raum gekreuzt mit der
> Menge Null?? Ist das dann wieder der gleiche Raum? Wofür
> ist das gut? Das versteh ich leider überhaupt nicht...
Dazu mal ein konkretes Beispiel:
Eine Karte ist eine Abbildung, die Dir Deine (Unter-)Mannigfaltigkeit lokal "flachklopft", nehmen wir z.B. unsere Erde, die ja nun eine Kugel ist, und als solche eine k=2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des n=3-dimensionalen Raumes.
Nehmen wir uns nun einen Punkt auf der Kugel, am ehesten den, wo Du Dich gerade befindest. Dann gibt es eine Umgebung von Dir, nennen wir sie "Deutschland" im [mm] $\IR^3$, [/mm] so daß es eine Abbildung gibt, die uns die ganze Sache "flachklopft", so daß wir sie dann auf eine 2-dimensionale Tischplatte legen können... das Bild dieser Abbildung nennen wir im wirklichen Leben dann "Deutschlandkarte".
> [mm]\IR^k\times \left\{0\right\}[/mm] Ein Raum gekreuzt mit der
> Menge Null?? Ist das dann wieder der gleiche Raum? Wofür
> ist das gut? Das versteh ich leider überhaupt nicht...
Nun, das ist in unserem konkreten Beispiel die Tischplatte, wir können ja unser Koordinatensystem so wählen, daß die Tischplatte alle Punkte der Form (x,y,0) sind. Mathematisch beschreiben wir diese Menge als [mm] $\IR^2\times\{0\}$. [/mm] Im allgemeinen Fall ist die 0 dann natürlich die Null im [mm] $\IR^{n-k}$, [/mm] also korrekter: [mm] $\IR^k\times\{(\underbrace{0,\dots,0}_{k\mbox{-mal}})\}$.
[/mm]
In unserem Beispiel ist natürlich n-k=3-2=1.
Ich hoffe, das machts etwas klarer, wenn nicht, einfach nochmal nachfragen!
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Sa 09.09.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Christian!
Vielen Dank für die schnelle und SUPER verständliche Antwort!
> Ich hoffe, das machts etwas klarer, wenn nicht, einfach nochmal nachfragen!
Nicht mehr nötig 
Grüße
Cruemel
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