Kartenspiel 1 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 20.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Ein Kartenspiel besteht aus 32 Karten, darunter 4 Asse. Die Karten werden gut gemischt und nacheinander aufgedeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) die zweite aufgedeckte Karte ein As ist und
b) die zehnte aufgedekcte Karte das zweite aufgedekcte As ist? |
Hi Leute,
es geht so ähnlich weiter wie ich gestern aufgehört habe.
Ich hab mir jetzt mal den WSK-Raum versucht zusammen zu basteln:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,...,32\} [/mm] = [mm] \{(\omega_1, \omega_2) | \omega_1, \omega_2 \in \{1,2,3,...,32\}\}$
[/mm]
Ereignis $A = [mm] \{(As, As, As, As, 5,6,...,32);(1, As, As, As, As, 6, 7,...,32);(1,2,As,As,As,As,7,8,...,32);...\}$ [/mm] Diese letzten drei Punkte sollen angeben, dass eben jetzt noch viele weitere Kombinationen kommen.
So und jetzt brauch ich eben noch die WSK erstmal für die Aufgabe a).
Am Anfang hat man 32 Karten welche das As sein kann. Nachdem ersten Aufdecken ohne zurücklegen hat man noch 31 Karten welche das As sein kann. Somit ergibt sich doch da jetzt so eine Mächtigkeit von [mm] $|\Omega| [/mm] = 32 [mm] \cdot [/mm] 31$, oder?
Stimmt's zumindestens schon mal soweit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 20.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Am Anfang hat man 32 Karten welche das As sein kann.
> Nachdem ersten Aufdecken ohne zurücklegen hat man noch 31
> Karten welche das As sein kann. Somit ergibt sich doch da
> jetzt so eine Mächtigkeit von [mm]|\Omega| = 32 \cdot 31[/mm],
> oder?
Ja, aber dein [mm] $\Omega$ [/mm] ist falsch:
$ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{(\omega_1, \omega_2) | \omega_1, \omega_2 \in \{1,2,3,...,32\},\red{\omega_1\ne\omega_2}\} [/mm] $.
vg Luis
PS: Ich freue mich schon auf deine Aufgaben zum Monopoly! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 20.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Das mit der Grundmenge hab ich mittlerweile auch bemerkt. Da bin ich nun sogar schon von alleine drauf gekommen.
Die Mächtigkeit ist also auch schon in Ordnung. Dann brauch ich also nur noch diese "günstige Möglichkeiten". Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?
Wir haben also: $ P(A) = [mm] \frac{4 \cdot 3}{32 \cdot 31} [/mm] = [mm] \frac{3}{248}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Do 20.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Dann
> brauch ich also nur noch diese "günstige Möglichkeiten".
> Kannst du mir da auf die Sprünge helfen?
Ich gebe mal meinen Senf zu a). Identifiziere die Asse mit $1,2,3,4$. Dann ist [mm] $\omega_2\in\{1,2,3,4\}$. [/mm] Wieviele Moeglichkeiten gibt's dann noch fuer [mm] $\omega_1$?
[/mm]
Uebrigens: Gibt's hier wieder eine Musterloesung?
>
>
> Wir haben also: [mm]P(A) = \frac{4 \cdot 3}{32 \cdot 31} = \frac{3}248}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was ist denn das?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 20.12.2012 | | Autor: | bandchef |
>Ich gebe mal meinen Senf zu a). Identifiziere die Asse mit $1,2,3,4$.
> Dann ist [mm] $\omega_2\in\{1,2,3,4\}$.
[/mm]
Ok. Das hab ich mir schon so gedacht.
> Wieviele Moeglichkeiten gibt's dann noch fuer [mm] $\omega_1$?
[/mm]
Ich denke, dass es dann noch 28 Möglichkeiten geben sollte. Aber ich weiß nicht ob so oder so:
[mm] $\omega_1\in\{1,2,3,4, ..., 28\}$ [/mm] oder [mm] $\omega_1\in\{5,6,7,8 ..., 32\}$
[/mm]
> Uebrigens: Gibt's hier wieder eine Musterloesung?
Ja, gibts. Wieder ein einzige Zahl, nämlich: [mm] $\frac18$
[/mm]
> Wir haben also: [mm]P(A) = \frac{4 \cdot 3}{32 \cdot 31} = \frac{3}248}[/mm]
> Was ist denn das?
Das hab ich grad wegeditiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 20.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> >Ich gebe mal meinen Senf zu a). Identifiziere die Asse mit
> [mm]1,2,3,4[/mm].
> > Dann ist [mm]\omega_2\in\{1,2,3,4\}[/mm].
>
> Ok. Das hab ich mir schon so gedacht.
>
>
> > Wieviele Moeglichkeiten gibt's dann noch fuer [mm]\omega_1[/mm]?
>
> Ich denke, dass es dann noch 28 Möglichkeiten geben
> sollte. Aber ich weiß nicht ob so oder so:
> [mm]\omega_1\in\{1,2,3,4, ..., 28\}[/mm] oder [mm]\omega_1\in\{5,6,7,8 ..., 32\}[/mm]
Für ein Ergebnis [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega$ [/mm] gibt [mm] $\omega_1$ [/mm] die Nummer der ersten aufgedeckten Karte an. [mm] $\omega_1\in\{5,6,7,8 ..., 32\}$ [/mm] würde z.B. bedeuten: Die erste aufgedeckte Karte ist kein Ass. Das hat nichts mit dem Ereignis "die zweite aufgedeckte Karte ist ein Ass" zu tun.
Sei dieses Ereinis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen, mit E bezeichnet. Gesucht ist die Mächtigkeit von E. Gefragt ist also nach der Anzahl der Paare [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega$, [/mm] bei deren Auftreten E eintritt.
Wann tritt also für ein Paar [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega$ [/mm] das Ereignis E ein? Genau dann, wenn [mm] $\omega_2$ [/mm] (also die Nummer der zweiten aufgedeckten Karte) für ein Ass steht, also wenn [mm] $\omega_2\in\{1,2,3,4\}$ [/mm] gilt. (Der Wert von [mm] $\omega_1$, [/mm] also welche Karte als erstes aufgedeckt wurde, spielt dabei gar keine Rolle.)
Wie viele Ergebnisse [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega$ [/mm] mit [mm] $\omega_2\in\{1,2,3,4\}$ [/mm] gibt es nun?
Es gibt 4 Möglichkeiten für [mm] $\omega_2$ [/mm] (nämlich 1,2,3 und 4). Im Falle [mm] $\omega_2=1$ [/mm] gibt es z.B. für [mm] $\omega_1$ [/mm] die Möglichkeiten 2,3,4,5,...,32 (31 Möglichkeiten). Im Falle [mm] $\omega_2=2$ [/mm] gibt es für [mm] $\omega_1$ [/mm] die Möglichkeiten 1,3,4,5,...32 (31 Möglichkeiten). Genauso gibt es im Falle [mm] $\omega_2=3$ [/mm] oder [mm] $\omega_2=4$ [/mm] jeweils 31 Möglichkeiten für [mm] $\omega_1$.
[/mm]
Insgesamt gibt es also $4*31$ Ergebnisse [mm] $(\omega_1,\omega_2)\in\Omega$ [/mm] mit [mm] $\omega_2\in\{1,2,3,4\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Do 20.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, warum komm ich immer auf so eigentlich triviale Sachen nicht? Das gibt's doch nicht :-(
Folglich berechnet so doch nun die WSK. so: $P(A) = [mm] \frac{4 \cdot 31}{32 \cdot 31} [/mm] = [mm] \frac18$
[/mm]
Ich würd dann gleich noch zur b) übergehen. Ich probiers dann hier erstmal noch mit dem WSK-Raum:
[mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{(\omega_1, \omega_2, ..., \omega_{10}) | w_j \in \{1,2,...,32\} \text{ mit } \omega_i \neq \omega_j \text{ für } i \neq j\}$
[/mm]
Stimmt das?
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Hallo bandchef,
> Hm, warum komm ich immer auf so eigentlich triviale Sachen
> nicht? Das gibt's doch nicht :-(
Doch, doch, das gibts. 
> Folglich berechnet so doch nun die WSK. so: [mm]P(A) = \frac{4 \cdot 31}{32 \cdot 31} = \frac18[/mm]
Das war wohl gemeint, wenn man sich die mitgegebene Lösung anguckt.
> Ich würd dann gleich noch zur b) übergehen. Ich probiers
> dann hier erstmal noch mit dem WSK-Raum:
>
> [mm]\Omega = \{(\omega_1, \omega_2, ..., \omega_{10}) | w_j \in \{1,2,...,32\} \text{ mit } \omega_i \neq \omega_j \text{ für } i \neq j\}[/mm]
>
> Stimmt das?
Außer dass Dir ein "w" dazwischen gerutscht ist, sieht mir das ok aus.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Do 20.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Wenn also nun die Grundmenge passt, dann kann ich mich ja nun an die modellierung der Mächtigkeit machen.
In der Aufgabe ist ja danach gefragt, dass die zehnte aufgedeckte Karte das zweite As ist. Das heißt ja dann wohl, dass das erste aufgedeckte As vor der zehnten aufgedeckten Karte gekommen ist bzw. kommen musste, oder?
Wenn das nun richtig ist, ist die Mächtigkeit: [mm] $|\Omega| [/mm] = 32 [mm] \cdot [/mm] 31 [mm] \cdot [/mm] 30 [mm] \cdot [/mm] 29 [mm] \cdot [/mm] 28 [mm] \cdot [/mm] 27 [mm] \cdot [/mm] 26 [mm] \cdot [/mm] 25 [mm] \cdot [/mm] 24 [mm] \cdot [/mm] 23$ Richtig?
Wie aber sieht dann $|A|$ aus? So, hätte ich jetzt mal gedacht: $|A| = 32 [mm] \cdot [/mm] 31 [mm] \cdot [/mm] 30 [mm] \cdot [/mm] 29 [mm] \cdot [/mm] 28 [mm] \cdot [/mm] 27 [mm] \cdot [/mm] 26 [mm] \cdot [/mm] 25 [mm] \cdot [/mm] 24 [mm] \cdot [/mm] 3$. Wobei mir so noch das erste As fehlt... Wo bzw. wie müsste ich das dann modellieren?
Noch ne zusätzliche andere Frage an euch: Gestern haben wir doch immer noch das Ereignis an sich modelliert, wie bspw. sowas: [mm] $D=\{(6,2,i);(2,i,6);(i,2,6);(i,6,2);(2,6,i);(6,i,2)|i \in \{1,3,4,5\}\} [/mm] $
Kann man sowas bei dieser Aufgabe nicht machen? Da würde ich (wahrscheinlich) Rechnung besser verstehen aufzusetzen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 20.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn also nun die Grundmenge passt, dann kann ich mich ja
> nun an die modellierung der Mächtigkeit machen.
>
> In der Aufgabe ist ja danach gefragt, dass die zehnte
> aufgedeckte Karte das zweite As ist. Das heißt ja dann
> wohl, dass das erste aufgedeckte As vor der zehnten
> aufgedeckten Karte gekommen ist bzw. kommen musste, oder?
Genau.
> Wenn das nun richtig ist, ist die Mächtigkeit: [mm]|\Omega| = 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23[/mm]
> Richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Schön!
> Wie aber sieht dann [mm]|A|[/mm] aus? So, hätte ich jetzt mal
> gedacht: [mm]|A| = 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 3[/mm].
> Wobei mir so noch das erste As fehlt... Wo bzw. wie müsste
> ich das dann modellieren?
Das ist in der Tat nicht ganz einfach.
Sei A das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen. Um $|A|$ zu bestimmen, könntest du zunächst die Mächtigkeit von dem Ereignis [mm] $A_1$ [/mm] bestimmen, dass von den zehn aufgedeckten Karten genau die erste und die zehnte Karte Asse sind. Genauso könntest du die Wahrscheinlichkeit von dem Ereignis [mm] $A_2$ [/mm] bestimmen, dass von den zehn aufgedeckten Karten genau die zweite und die zehnte Karte Asse sind. Wenn man nach diesem Muster [mm] $A_1,A_2,\ldots,A_9$ [/mm] erklärt, gilt
[mm] $A=A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_9$
[/mm]
und die Vereinigung ist disjunkt.
Hilft dir das, P(A) zu bestimmen?
> Noch ne zusätzliche andere Frage an euch: Gestern haben
> wir doch immer noch das Ereignis an sich modelliert, wie
> bspw. sowas:
> [mm]D=\{(6,2,i);(2,i,6);(i,2,6);(i,6,2);(2,6,i);(6,i,2)|i \in \{1,3,4,5\}\}[/mm]
Diese Schreibweise halte ich für etwas problematisch, da sie keine mathematische Standardnotation ist. Ich würde stattdessen
[mm] $D=\{(6,2,i)|i\in\{1,3,4,5\}\}\cup\{(2,i,6)|i\in\{1,3,4,5\}\}\cup\{(i,2,6)|i\in\{1,3,4,5\}\}\cup\{(2,6,i)|i\in\{1,3,4,5\}\}\cup\{(6,i,2)|i\in\{1,3,4,5\}\}\cup\{(6,2,i)|i\in\{1,3,4,5\}\}$
[/mm]
schreiben, wobei die Vereinigung disjunkt ist.
> Kann man sowas bei dieser Aufgabe nicht machen? Da würde
> ich (wahrscheinlich) Rechnung besser verstehen
> aufzusetzen...
Bei a) würde ich das betrachtete Ereignis folgendermaßen notieren:
[mm] $E=\{(\omega_1,\omega_2)\in\Omega\;|\;\omega_2\in\{1,2,3,4\}\}=\{(\omega_1,\omega_2)\;|\;\omega_1\in\{1,\ldots,32\},\omega_2\in\{1,2,3,4\},\omega_1\not=\omega_2\}$.
[/mm]
Bei b) lautet das betrachtete Ereignis
[mm] $A=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{10})\in\Omega\;|\;\omega_{10}\in\{1,2,3,4\},\omega_i\in\{1,2,3,4\}\text{ für genau ein }i\in\{1,2,3,\ldots,9\}\}$.
[/mm]
Also
[mm] $A=\bigcup_{i=1}^9\underbrace{\{(\omega_1,\ldots,\omega_{10})\in\Omega\;|\;\omega_i\in\{1,2,3,4\},\omega_j\not\in\{1,2,3,4\}\text{ für alle }j\in\{1,2,3,\ldots,9\}\setminus\{i\},\omega_{10}\in\{1,2,3,4\}\}}_{=:A_i}$,
[/mm]
wobei die Vereinigung disjunkt ist.
Es gilt
[mm] $A_i=\{(\omega_1,\ldots,\omega_{10})\;|\;\omega_i\in\{1,2,3,4\},\omega_j\in\{5,6,7,\ldots,32\}\text{ für alle }j\in\{1,\ldots,9\}\setminus\{i\},\omega_{10}\in\{1,2,3,4\},\omega_j\not=\omega_k\text{ für alle }j,k\in\{1,\ldots,10\}\text{ mit }j\not=k\}$.
[/mm]
für alle [mm] $i=1,\ldots,9$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Fr 21.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich weiß, dass das was da jetzt kommt nicht so ganz den "Konventionen" entspricht aber ich denke ich komme so auf das richtige ergebnis:
$... = 9 [mm] \cdot \frac{4}{32} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{27}{30} \cdot \frac{26}{29} \cdot \frac{25}{28} \cdot \frac{24}{27} \cdot \frac{23}{26} \cdot \frac{22}{25} \cdot \frac{21}{42} \cdot \frac{3}{23} \approx [/mm] 0,0578$
Ich denke, das sollte so stimmen. Was ich aber nicht kapiere, was mit 32,31,30,29 in den Zählern der Rechnung ist. Warum dürfen die nicht vorkommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Fr 21.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich weiß, dass das was da jetzt kommt nicht so ganz den
> "Konventionen" entspricht aber ich denke ich komme so auf
> das richtige ergebnis:
>
> [mm]... = 9 \cdot \frac{4}{32} \cdot \frac{28}{31} \cdot \frac{27}{30} \cdot \frac{26}{29} \cdot \frac{25}{28} \cdot \frac{24}{27} \cdot \frac{23}{26} \cdot \frac{22}{25} \cdot \frac{21}{42} \cdot \frac{3}{23} \approx 0,0578[/mm]
>
> Ich denke, das sollte so stimmen.
Die Zahl stimmt in der Tat (bis auf den Vertipper 42 statt 24 im Nenner). Wie bist du darauf gekommen?
> Was ich aber nicht
> kapiere, was mit 32,31,30,29 in den Zählern der Rechnung
> ist. Warum dürfen die nicht vorkommen?
Da $A$ die disjunkte Vereinigung von [mm] $A_1$ [/mm] bis [mm] $A_9$ [/mm] ist, gilt
[mm] $P(A)=P(A_1)+\ldots+P(A_9)$.
[/mm]
Es gilt z.B.:
[mm] $|A_5|=28*27*26*25*4*24*23*22*21*3$
[/mm]
(28 mögliche Werte für [mm] $\omega_1$, [/mm] dann noch 27 mögliche Werte für [mm] $\omega_2$, [/mm] dann noch...)
Genauso gilt für alle [mm] $i=1,\ldots,9$:
[/mm]
[mm] $|A_i|=4*28*27*26*25*24*23*22*21*3$.
[/mm]
Somit
[mm] $P(A_i)=\ldots=:p$
[/mm]
(mit p unabhängig von i) und daher
[mm] $P(A)=9*p=\ldots$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Fr 21.12.2012 | | Autor: | bandchef |
> Wie bist du darauf gekommen?
Ehrlich gesagt weiß ich es gar nicht so genau. Ich hab mir deine vorletzte Antwort durchgelesen. Ich hab mir dann irgendwie das Spiel vorgestellt und versucht das umzusetzen...
Was ich mir aber immer noch nicht richtig vorstellen kann ist die Sache warum ich bei 28 beginne. Es sind 4 Asse darin. Es werden aber nur 2 Asse erwartet. Ich könnte mir also vielleicht noch vorstellen, dass ich bei 30 beginne, nicht aber bei 28 bloß weil 4 Asse vorkommen, von denen aber zwei in diesem Fall gar nicht interessieren...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 21.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Was ich mir aber immer noch nicht richtig vorstellen kann
> ist die Sache warum ich bei 28 beginne. Es sind 4 Asse
> darin. Es werden aber nur 2 Asse erwartet. Ich könnte mir
> also vielleicht noch vorstellen, dass ich bei 30 beginne,
> nicht aber bei 28 bloß weil 4 Asse vorkommen, von denen
> aber zwei in diesem Fall gar nicht interessieren...
Schauen wir uns nochmal beispielsweise [mm] $|A_5|$ [/mm] an:
$ [mm] |A_5|=28\cdot{}27\cdot{}26\cdot{}25\cdot{}4\cdot{}24\cdot{}23\cdot{}22\cdot{}21\cdot{}3 [/mm] $
Zur Erinnerung: [mm] $A_5$ [/mm] sollte das Ereignis sein, dass von den ersten 9 aufgedeckten Karten genau die fünfte ein Ass ist (und die anderen keine Asse sind) und die 10. Karte ein Ass ist.
Also gilt für jedes [mm] $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{10})\in\Omega$, [/mm] dass genau dann [mm] $\omega\in A_5$ [/mm] gilt, wenn folgende Bedingungen gelten:
[mm] $\omega_1\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("1. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_2\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("2. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_3\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("3. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_4\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("4. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_5\in\{1,2,3,4\}$ [/mm] ("5. aufgedeckte Karte ein Ass")
[mm] $\omega_6\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("6. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_7\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("7. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_8\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("8. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_9\in\{5,\ldots,32\}$ [/mm] ("9. aufgedeckte Karte kein Ass")
[mm] $\omega_{10}\in\{1,2,3,4\}$. [/mm] ("10. aufgedeckte Karte ein Ass")
Also kommen für [mm] $\omega_1$ [/mm] (Nummer der ersten aufgedeckten Karte, die für [mm] $\omega\in A_5$ [/mm] ja kein Ass sein soll) genau die 28 möglichen Werte [mm] $5,6,7,\ldots,32$ [/mm] in Frage.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Do 20.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo bandchef,
zu [mm] $\Omega$ [/mm] hat Luis hat ja schon was geschrieben. In der von ihm vorgeschlagenen Wahl wird nur das Aufdecken zweier Karten statt aller Karten modelliert. Aber zumindest für a) reicht das aus.
Es sollte dazu geschrieben werden, dass wir uns die Karten von 1 bis 32 durchnummeriert denken.
> Ereignis [mm]A = \{(As, As, As, As, 5,6,...,32);(1, As, As, As, As, 6, 7,...,32);(1,2,As,As,As,As,7,8,...,32);...\}[/mm]
> Diese letzten drei Punkte sollen angeben, dass eben jetzt
> noch viele weitere Kombinationen kommen.
Das ist kein zu obigem [mm] $\Omega$ [/mm] passendes Ereignis, da gar nicht [mm] $A\subseteq\Omega$ [/mm] gilt.
Die Elemente von [mm] $\Omega$ [/mm] sind Paare von Zahlen von 1 bis 32. Also ist auch jedes Ereignis eine Menge von Paaren von Zahlen von 1 bis 32.
> [mm]|\Omega| = 32 \cdot 31[/mm]
Ja, wenn du Luis' Wahl von [mm] $\Omega$ [/mm] folgst.
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Vielleicht hilft dir meine  Einführung in das stochastische Modellieren weiter.
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