Kartenspiel/Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mi 29.10.2008 | | Autor: | amy87 |
| Aufgabe | | Ein aus 52 Karten bestehendes Paket wird auf ein 4 Spieler aufgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens ein Spieler alle Karten einer Farbe erhält? |
Ich komm bei dem Beispiel irgendwie nicht weiter. Erstmal hab ich ein Verständnisproblem: Ist mit Farben rot/schwarz oder Pik/Karo/Herz/Kreuz gemeint? (ich hab mal angenommen es sind nur zwei Farben nämlich rot und schwarz)
Zum Beispiel an sich (BITTE GEDULD beim Lesen, ich konnt es nicht kürzer fassen): Ich hab zwei Lösungsansätze und beide kommen mir irgendwie "logisch" vor. Vielleicht hat jemand ne Idee bzw. kann mir sagen welches der richtige Ansatz ist :
1.Ansatz:
mit der hypergeometrischen Verteilung: Ich nehme zB zuerst die roten als "markiert"(also mit der gewünschten Eigenschaft). Da würd ich auf die Formel kommen:
Wahrscheinlichkeit dass einer alle einer Farbe hat: P(1)= (26 über 13)*(52-26 über 13-13) / (52 über 13)
Muss ich das mit zwei Multiplizieren (weil ich konkret rot angenommen habe) und wie mach ich das bei zwei/drei/vier Spielern mit gleichen Farben?
2.Ansatz:
(Wieder bei einer Person) Vorstellung des Ziehens: als erstes habe ich alle Möglichkeiten frei (also 1) dann hab ich schon eine bestimmte farbe also beim zweiten mal nur noch Wahrscheinlichkeit 25/51, dann 24/50 usw bis 14/40
Das ist schon klein, aber muss ich das mit 4 (wegen 4 Spielern) multiplizieren oder nicht? Und wie berechne ich das für zwei/drei/vier Spieler mit gleichen Farben?
Hoff das war verständlich  und freu mich auf eure Ideen!
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 12:31 Do 30.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mach es nicht so kpmpliziert.
Es gibt vier Farben (Karo, Herz, Pik und Kreuz) und von jeder Farbe gibt es [mm] \bruch{52}{4}=13 [/mm] Karten.
Und jeder Spieler bekommt eben genau 13 Karten.
Also muss ein Spieler jede Karte in einer Farbe bekommen.
Also bleibt:
[mm] \underbrace{\bruch{13}{52}}_{\text{1.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{12}{51}}_{\text{2.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{11}{50}}_{\text{3.Karte eine bestimmte Farbe}}*...*\underbrace{\bruch{2}{40}}_{\text{12.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{1}{39}}_{\text{13.Karte eine bestimmte Farbe}}=...
[/mm]
Da es aber vier Farben gibt, musst du diesen Wert noch mit vier Multiplizieren.
Marius
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Hallo Marius
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> [mm]\underbrace{\bruch{13}{52}}_{\text{1.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{12}{51}}_{\text{2.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{11}{50}}_{\text{3.Karte eine bestimmte Farbe}}*...*\underbrace{\bruch{2}{40}}_{\text{12.Karte eine bestimmte Farbe}}*\underbrace{\bruch{1}{39}}_{\text{13.Karte eine bestimmte Farbe}}=...[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die letzten beiden Faktoren müssten ..... [mm] *\bruch{2}{41}*\bruch{1}{40} [/mm] sein !
Nach der Korrektur ergibt dies z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass der Spieler A alle Herz-Karten erhält.
> Da es aber vier Farben gibt, musst du diesen Wert noch mit
> vier multiplizieren.
das ergäbe dann die W'keit, dass Spieler A irgendein
komplettes einfarbiges "Blatt" in Herz, Pik, Karo oder Kreuz erhält.
Numerisches Ergebnis: [mm] \approx 6.3*10^{-12}
[/mm]
Gefragt war aber die W'keit, dass mindestens ein
Spieler alle Karten einer Farbe erhält. Diese ist ungefähr
(aber nicht exakt !) 4 mal so gross wie die W'keit, dass A
ein einfarbiges Blatt erhält.
Es fragt sich nun noch, ob ein absolut exaktes Ergebnis
gefordert ist oder ob man sich mit einem z.B. auf zwanzig
Dezimalen genauen Ergebnis begnügen will...
Die W'keit, dass mindestens einer der Spieler ein
einfarbiges Blatt erhält, ist ein bisschen kleiner als
4*P(A erhält einfarbiges Blatt), da die Ereignisse
"A erhält einfarbiges Blatt", "B erhält einfarbiges Blatt",
"C erhält einfarbiges Blatt", "D erhält einfarbiges Blatt"
nicht disjunkt sind. Allerdings ist es seeeeeeehr
unwahrscheinlich, dass gleichzeitig mehr als einer
ein einfarbiges Blatt erhält.
Gruß Al-Chwarizmi
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