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Hallo!
Ich bräuchte mal eure Hilfe bezüglich Kategorien.
Grundlage ist ein englisches Algebra-Buch und es ist noch ziemlich gewöhnungsbedürftig, das Englische, die Kategorien und so.
"Let Grp be the categroy of groups i.e. the category whose objects are groups and whose morphisms are gruop-homomorphisms. The three axoims CAT1,2,3 (disjunkt, Identität und Assoziativität) are trivially satisfied."
1) Das Verstehe ich nicht. Wie könnte ich die entsprechenenden Axoime formal nachweisen???
"Simillary, we have the category of monoids, denoted by Mon."
2) Okay, dann sollen die Objekte die Monoide sein, aber was sind die Morphismen? Einfach nur Abbildungen zwischen ihnen???
"It is clear that if G is a group, then the G-stets form a category (with obvious morphisms)"
3) Was sollen G-stets sein?
Dann folgt eine Definition von Operationen:
Es sei *A* eine Kategorie, A [mm] \in [/mm] OB(*A*) und G eine Gruppe. Eine Operation [mm] \sigma [/mm] von G nach A ist ein Homomorphismus von G nach Aut(A) (Menge der Automorphismen von A nach A):
[mm] \sigma [/mm] : G -> Aut(A)
Dabei steht noch folgendes:
"In practise, an object A is a set with elements, and an automorphism in Aut(A) operates on A as a set, i.e. induces a permuatation of A. Thus, if we have a homomorphism
[mm] \sigma [/mm] : G -> Aut(A),
then for each x [mm] \in [/mm] G we have an automorphism [mm] \sigma_{x} [/mm] of A which is a permuatation of A"
4) Da scheitere ich sogar am Übersetzen :-( Ich habe keine Ahnung, was die mir erklären wollen, vor allem mit Permutationen??? Eigentlich würde ich sagen, dass ich die Definition von der Operation verstanden habe... Bitte kann mir das jemand erklären?
Danke schonmal, dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 05.09.2005 | | Autor: | felixs |
hallo.
> Grundlage ist ein englisches Algebra-Buch und es ist noch
nehme an McLane. falls nicht schau dich mal nach "categories for the working mathematician" um.
> "Let Grp be the categroy of groups i.e. the category whose
> objects are groups and whose morphisms are
> gruop-homomorphisms. The three axoims CAT1,2,3 (disjunkt,
> Identität und Assoziativität) are trivially satisfied."
nun
C1 sagt dass 2 verschiedene morphismenmengen disjunkt sein muessen.
wenn ein morphismus aber in HOM(A,B) ist, dann bildet er A auf B ab (nach konstuktion).
ist er auch in HOM(C,D), dann nur wenn A=C und D=B.
C2 sagt dass zu jedem objekt ein identitaetspfeil in der dazugehoerigen morphismenmenge sein muss. aber nach konstruktion sind MOR(A,A)=HOM(A,A) fuer alle objekte A. da [mm] $id_A$ [/mm] ein gruppenhom ist, ist der auch dabei, wie gefordert.
C3 zz ist hier dass die verkettung von 'pfeilen' also mophismen assoziativ ist.
wenn du aber gruppenhomomophismen a,b,c hast dann ist nach def. veknuepfung (=verkettung) der homomorphismen $ x [mm] \mapsto [/mm] (a [mm] \circ [/mm] (b [mm] \circ [/mm] c))(x) $ dasselbe wie $x [mm] \mapsto [/mm] ((a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] c)(x) $. und die verkettung von pfeilen tut geade dies.
> "Simillary, we have the category of monoids, denoted by
> Mon."
>
> 2) Okay, dann sollen die Objekte die Monoide sein, aber was
> sind die Morphismen? Einfach nur Abbildungen zwischen
> ihnen???
du koenntest prinzipiell beliebige abblidungen nehmen. dann waere es aber witzlos die kategorie die der monoide zu nennen. also sind hier wohl (wie bei den gruppen) strukturerhaltende morphismen gemeint. also solche die die monoideinsen aufeinander abbilden und mit der verknuepfung 'kommutieren'.
> "It is clear that if G is a group, then the G-stets form a
> category (with obvious morphisms)"
>
> 3) Was sollen G-stets sein?
nie gehoert. wenns das gibt will ichs aber auch wissen :)
> Dann folgt eine Definition von Operationen:
> Es sei *A* eine Kategorie, A [mm]\in[/mm] OB(*A*) und G eine
> Gruppe. Eine Operation [mm]\sigma[/mm] von G nach A ist ein
> Homomorphismus von G nach Aut(A) (Menge der Automorphismen
> von A nach A):
> [mm]\sigma[/mm] : G -> Aut(A)
>
> Dabei steht noch folgendes:
> "In practise, an object A is a set with elements, and an
> automorphism in Aut(A) operates on A as a set, i.e. induces
> a permuatation of A. Thus, if we have a homomorphism
> [mm]\sigma[/mm] : G -> Aut(A),
> then for each x [mm]\in[/mm] G we have an automorphism [mm]\sigma_{x}[/mm]
> of A which is a permuatation of A"
>
> 4) Da scheitere ich sogar am Übersetzen :-( Ich habe keine
also erstmal uebersetzten:
"praktisch gesehen ist ein objekt A eine menge mit elementen und ein autom. [mm] $\alpha \in$ [/mm] Aut(A) operiert auf A 'als menge'. d.h. [mm] $\alpha$ [/mm] induziert eine permutation von A. Also falls wir einen hom [mm] $\sigma$ [/mm] haben. dann bekommen wir fuer jedes [mm] $x\in$ [/mm] G einen automorphismus [mm] $\sigma_x$ [/mm] von A, der A permutiert."
> Ahnung, was die mir erklären wollen, vor allem mit
> Permutationen??? Eigentlich würde ich sagen, dass ich die
> Definition von der Operation verstanden habe... Bitte kann
> mir das jemand erklären?
das mit dem erklaeren kann ich mal versuchen... falls ich richtig verstehe sieht das so aus:
erstmal hat dieser part (so weit) wohl nicht sehr viel mit kategorien zu und ist auch elementar einzusehen.
du hast zunaechst eine operation $G [mm] \times [/mm] A [mm] \to [/mm] A$. die ist (weil operationen halt so sind) zu interpretieren ist als ein homom. von G auf die automorphismengruppe von A.
und deshalb kannst du jedem $g [mm] \in [/mm] G$ einen solchen Aut zuordnen. und dass so ein automorphismus 'nur' eine permutation auf A ist ist eigentlich klar.
hth
--felix
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hi felixs...
ich befürchte meine Kenntnisse über Gruppenhomomorphismen sind schlecht... Ich sehe es noch nicht so ganz ein, dass Grp eine Kategorie sein soll. Ich gebe erstmal die Definition (nein, es ist übrigens nicht McLane) der Kategorie an:
Eine Kategorie *A* besteht aus:
- einer Klasse von Objekten Ob(*A*)
- einer Menge Mor(A,B): die Menge der Morphismen von A nach B
- einer Verknüpfung: Seien A,B,C,D [mm] \in [/mm] *A*, dann muss gelten:
Mor(B,C)xMor(A,B) = Mor(A,C)
und die folgenden Axiome müssen erfüllt sein:
CAT1
Zwei Morphismenmengen Mor(A,B) und Mor(A',B') sind paarweise disjunkt.
CAT2
Zu jedem Objekt A [mm] \in [/mm] *A* gibt es einen Morphismus [mm] id_{A} \in [/mm] Mor(A,A), sodas
[mm] id_{A} [/mm] * f = f
i * [mm] id_{A} [/mm] = i
für alle f [mm] \in [/mm] Mor(A,B) und i [mm] \in [/mm] Mor(B,A).
CAT3
Die Verknüpfung ist assoziativ: Es seien f [mm] \in [/mm] Mor(A,B), g [mm] \in [/mm] Mor(B,C) und h [mm] \in [/mm] Mor(C,D), dann muss gelten:
(h*g)*f = h*(g*f)
für alle Objekte A,B,C,D.
Soooo. Können wir bitte nochmal zusammen versuchen zu zeigen, dass Grp eine Kategorie ist? Also wir haben als Objekte die gruppen und als Morphismen die Gruppenhomomorphismen.
zu CAT1
Angenommen es gibt zwei verschiedene Morphismenmengen Hom(A,B) und Hom(C,D), die nicht disjunkt sind. Das heißt es gibt einen Gruppenhomomorphismus, der A auf B und C auf D abbildet. Wieso gibt es so etwas nicht? Oder ich argumentiere so: Es ist C eine Teilmenge von A und D eine Teilmenge von B, dann gibt es doch sicherlich so einen Gruppenhomomorphismus, oder? Oh je... es scheitert schon an den einfachsten Sachen...
zu CAT2
[mm] id_{A} [/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus? [mm] id_{A} [/mm] bildet doch jedes Element von A auf sich selbst ab, oder? Irgendwie stehe ich extrem auf dem Schlauch... Kann man sich das vll. an einen Beispiel verdeutlichen???
zu CAT3
Wenn ich dich richtig verstanden habe, sind Gruppenhomomorphismen immer assoziativ, oder? Unsere Definition von Gruppenhomomorphismen war:
Sind G und H Gruppen mit Verknüpfungen * und **, so heißt eine Abbildung
[mm] \phi [/mm] : G -> H
Homomorphismus, wenn
[mm] \phi [/mm] (a*b) = [mm] \phi [/mm] (a) ** [mm] \phi [/mm] (b)
für alle a,b [mm] \in [/mm] G.
Zu meiner letzten Frage, kannst du mir erklären, was eine "Permutation auf A" ist?
Ich hoffe es ist nicht zu schlimm, dass es noch nicht im ersten Anlauf geklappt hat... fühle mich gerade wie ein Ersti 
Falls ich mal herausfinde, was doe seltsamen "G-sets" sein sollen, erfährst du es 
viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 06.09.2005 | | Autor: | felixs |
hallo dancingestrella.
> ich befürchte meine Kenntnisse über Gruppenhomomorphismen
> sind schlecht... Ich sehe es noch nicht so ganz ein, dass [...]
das wird schon.
> Soooo. Können wir bitte nochmal zusammen versuchen zu
> zeigen, dass Grp eine Kategorie ist? Also wir haben als
> Objekte die gruppen und als Morphismen die
> Gruppenhomomorphismen.
> zu CAT1
> Angenommen es gibt zwei verschiedene Morphismenmengen
> Hom(A,B) und Hom(C,D), die nicht disjunkt sind. Das heißt
> es gibt einen Gruppenhomomorphismus, der A auf B und C auf
> D abbildet. Wieso gibt es so etwas nicht?
eine abbildung [mm] $\phi: [/mm] A [mm] \to [/mm] B$ ist eben so definiert dass sie A auf B abbildet.
[mm] $\phi [/mm] (x)$ macht fuer $x [mm] \notin [/mm] A$ einfach keinen sinn.
> Oder ich
> argumentiere so: Es ist C eine Teilmenge von A und D eine
> Teilmenge von B, dann gibt es doch sicherlich so einen
> Gruppenhomomorphismus, oder?
A, B, C, D sind objekte einer kategorie. die haben weder elemente noch koennen sie ineinander enthalten sein.
der gedanke ist etwas konfus, wenn man an 'gruppen' denkt in denen sich irgendwelche elemente abspielen die durch irgendwelche homomorphismen gejagt werden. das einzige was diese objekte mit den gruppen gemein haben ist die bezeichnung.
das verwirrt die meisten. abhilfe schaffen koenntest du durch eine etwas umstaendlichere notation um hervorzuheben was 'eigentlich' passiert:
sei $K$ eine kategorie, $I$ indexmange, [mm] $G_i, [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ gruppen, [mm] $O_i$ [/mm] objekte von $K$ und [mm] $Mor(O_i,O_j) [/mm] := [mm] GrpHom(G_i,G_j)$. [/mm] dann definiere fuer $a [mm] \in [/mm] Mor(A,B), b in Mor(B,C)$ die verknuepfung in der kategorie durch $ b [mm] \circ [/mm] c := (x [mm] \mapsto [/mm] b(a(x))) [mm] \in [/mm] Mor(A,C)$ usw...
> zu CAT2
> [mm]id_{A}[/mm] ist ein Gruppenhomomorphismus? [mm]id_{A}[/mm] bildet doch
> jedes Element von A auf sich selbst ab, oder? Irgendwie
> stehe ich extrem auf dem Schlauch... Kann man sich das vll.
> an einen Beispiel verdeutlichen???
nunja eine abbildung die nichts tut kann auch nix kaputt machen.
[mm] $id_A: [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x$ ist eine wohldefinierte abbildung, und erfuellt trivialerweise alle gruppenhom-eigenschaften, ist also ein solcher und auch wie erfordert in $Hom(A,A)$... hast du jetzt zum beispiel einen beliebigen hom $b: A [mm] \to [/mm] X$ dann ist $b= [mm] b\circ id_A [/mm] $. oder $c: Y [mm] \to [/mm] A$ dann ist $c= [mm] id_A \circ [/mm] c$. wiedermal wie gefordert.
> zu CAT3
> Wenn ich dich richtig verstanden habe, sind
> Gruppenhomomorphismen immer assoziativ, oder? Unsere
ein gruppenhomomorphismus an sich kann nicht assoziativ sein.
was du meinst ist dass die gruppe der homomorphismen assoziativ ist.
hier passiert aber ein wenig was anderes.
du bildest jetzt 2 homomorphismen auf einen dritten ab, der dasselbe macht wie die verkettung der beiden ersteren. das ist die verknuepfung die du betrachtest.
und diese verknuepfung ist assoziativ.
> Zu meiner letzten Frage, kannst du mir erklären, was eine
> "Permutation auf A" ist?
du kennst doch sicher die symmetrischen gruppen. jetzt stell dir vor du hast ein tupel (1,...,n) dann entspricht jedes element aus der symmetrischen gruppe (n) gerade einer vertauschung (=permutation) der eintraege deines tupels. vergiss die gruppenstruktur auf A und identifiziere die elemente mit den eintraegen des tupels...
> Ich hoffe es ist nicht zu schlimm, dass es noch nicht im
> ersten Anlauf geklappt hat... fühle mich gerade wie ein
> Ersti
der weg zur erkenntnis fuehrt durch die totale verwirrung. das geht den meisten manchmal so.
> Falls ich mal herausfinde, was doe seltsamen "G-sets" sein
aeh jetzt ist es eigentlich klar. du hattest vorher 2x 'stets' getippt. was google nicht kennt vermag ich dann auch nicht zu identifizieren ^^.
kurz: ich kannte die konstruktion nicht unter der englischen/irgendeiner bezeichnung, aber an sich ist das ganz einfach: eine gruppe G operiert auf einer menge M, dann ist M eben eine G-Menge :)
gruss
--felix
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Hi felixs...
wollte an dieser Stelle nur erstmal "Danke" für deine Erklärungen sagen
Werde morgen in Ruhe deine Antwort durcharbeiten und mich eventuell mit Fragen melden.
gute nacht, dancingestrella
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