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Kathetensatz: Bestimmen v. Längen im Dreieck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 So 04.02.2018
Autor: michl323

Aufgabe
-

Hallo,

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel Beta = 90 Grad. Außerdem die Seite a = 7 und q = 2,5 gegeben.

Da ja üblicherweise der 90 Grad Winkel als Gamma bezeichnet wird, habe ich eine Skizze (Anhang) mit folgenden Überlegungen angefertigt:

- Der Punkt am Winkel Beta heißt B
- Der im Uhrzeigersinn folgende Punkt heißt A, gefolgt von C
- Der Winkel am Punkt A heißt Alpha, am Punkt C: Gamma
- Die Längen a, b und c liegen gegenüber A, B und C
- laut Definition, die ich gefunden habe, liegt die Länge p an a
- q liegt eigentlich an b, hier aber gezwungendermaßen an c

Ich stelle mir jetzt die Frage, ob meine Überlegungen zu der Skizze richtig sind und Falls ja, wie komme ich auf eine der gesuchten Längen b, c, hb oder p?

Danke schon mal!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Kathetensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 So 04.02.2018
Autor: notinX

Hallo,

> -
>  Hallo,
>  
> In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel Beta = 90
> Grad. Außerdem die Seite a = 7 und q = 2,5 gegeben.
>  
> Da ja üblicherweise der 90 Grad Winkel als Gamma
> bezeichnet wird, habe ich eine Skizze (Anhang) mit
> folgenden Überlegungen angefertigt:
>  
> - Der Punkt am Winkel Beta heißt B
>  - Der im Uhrzeigersinn folgende Punkt heißt A, gefolgt
> von C
>  - Der Winkel am Punkt A heißt Alpha, am Punkt C: Gamma
>  - Die Längen a, b und c liegen gegenüber A, B und C

Das nennt man Seiten.

>  - laut Definition, die ich gefunden habe, liegt die Länge
> p an a
>  - q liegt eigentlich an b, hier aber gezwungendermaßen an
> c

Richtig. Die Hypotenuse wird durch die Höhe h in zwei Abschnitte geteilt. Der kürzere davon heißt nach allgemeiner Konvention p

>  
> Ich stelle mir jetzt die Frage, ob meine Überlegungen zu
> der Skizze richtig sind und Falls ja, wie komme ich auf
> eine der gesuchten Längen b, c, hb oder p?

Du hast Recht, das Dreieck ist unüblich gekennzeichnet. Nach üblicher Konvention müssten die Seiten, Winkel und Punkte teilweise anders heißen. Es sind aber nur Namen, die mathematischen Beziehungen dahinter bleiben gleich. Du könntest die Seiten auch beliebig anders benennen, z.B. e, m und t. Es gibt bei der Benennung kein richtig oder falsch.

Ich mach das mal an einem Beispiel deutlich.
Der Satz des Pythagoras wird meisten so formuliert: [mm] $c^2=a^2+b^2$ [/mm]
Das ist schön knapp und handlich und alle wissen, was damit gemeint ist. Genauer ausgedrückt meint man aber:

"Sind a ,b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei a und b die Längen der Katheten und c die Länge der Hypotenuse ist, so gilt [mm] $a^2+b^2=c^2$" [/mm] (Wikipedia)

oder anders ausgedrückt: Die Summe der quadrierten Katheten entspricht dem Quadrat der Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras, formuliert für dieses Dreieck, lautet also:
[mm] $b^2=a^2+c^2$ [/mm]

Genau so gelten auch alle andere anderen Beziehungen, die Du kennst. Nur mit anderen Buchstaben.

Alles klar soweit?

Wie würde denn der Kathetensatz für das von Dir gezeichnete Dreieck lauten?

Könntest Du die Aufgabe lösen, wenn die Bezeichnungen so wären, wie Du sie gewohnt bist?

>  
> Danke schon mal!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Kathetensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 So 04.02.2018
Autor: HJKweseleit


> Richtig. Die Hypotenuse wird durch die Höhe h in zwei
> Abschnitte geteilt. Der kürzere davon heißt nach
> allgemeiner Konvention p

Sorry, aber das ist nicht richtig.
Bei der üblichen Darstellung mit c als Hypothenuse wird immer der Abschnitt auf c von A  B zum Höhenfußpunkt [mm] h_c [/mm] mit p bezeichnet und der restliche mit q.p stößt an a an, q an b. Deshalb ist die Aufgabenstellung hier nicht ganz klar.

Im Zweifelsfall kann man mal für beide Fälle die Rechnung machen, wobei eine relativ kompliziert wird.

Falls q hier an a anliegen soll, ist b=19,6. Falls aber q an c anliegt, gibt es eine quadratische Gleichung mit 2 Lösungen, die man sinniger Weise mit der p-q-Formel bekommt...

Bezug
                        
Bezug
Kathetensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:24 So 04.02.2018
Autor: michl323

Hallo HJKweseleit,

danke auch dir für deine Antwort! Ich kann aber folgendes auch nicht ganz nachvollziehen...

Bei der üblichen Darstellung mit c als Hypothenuse wird immer der Abschnitt auf c von A zum Höhenfußpunkt $ [mm] h_c [/mm] $ mit p bezeichnet und der restliche mit q


... denn in meinen (zwei) Formelsammlungen wird der Abschnitt auf der Strecke c zwischen A und den Höhenfußpunkt H als q bezeichnet.

Gruß, Michael

Bezug
                                
Bezug
Kathetensatz: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Mo 05.02.2018
Autor: HJKweseleit

Meine Antwort war widersprüchlich. Da will man jemanden korrigieren und macht selber Blödsinn.

Bei der üblichen Darstellung mit c als Hypothenuse wird immer der Abschnitt auf c von AB zum Höhenfußpunkt [mm] h_c [/mm] mit p bezeichnet und der restliche mit q. p stößt an a an, q an b. Deshalb ist die Aufgabenstellung hier nicht ganz klar.

Das Unterstrichene ist richtig, aber da liegt ja der Eckpunkt B und nicht A. Lösungsvorschlag kommt.

Bezug
                
Bezug
Kathetensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 So 04.02.2018
Autor: michl323

Danke für deine ausführliche Antwort! Die Skizze, die ich gepostet habe, befindet sich wohl noch in der Prüfung, ich verlinke deshalb mal meine Skizze:

[]Dreieck.png

Das die Bezeichnungen quasi willkürlich gewählt werden können, ist mir soweit klar. Auch, wie ich mit dem Pythagoras rechnen muss, wenn die Seiten anders benannt sind, ist soweit klar. Mein Problem sind eher die Seiten p und q. So gilt z.B. die Formel a² = c * p. c ist die Hypotenuse, also eindeutig definiert (die längste Seite). Damit die o.g. Formel stimmt, muss p und q auch eindeutig bestimmt werden und darf nicht willkürlich gewählt werden. Du schreibst ja, dass p allgemein die kürzere Seite ist. Leider kann ich aber aus den Aufgabenstellung nicht sehen, ob p oder q kürzer ist. Und genau deshalb habe ich auch ein Problem, die Aufgabe zu lösen.

Soweit ich das sehe, kann ich die Aufgabe nicht lösen, wenn ich p und q wie in der Skizze definiere. Würde ich p und q aber vertauschen, würde es gehen.

Ich hoffe, ich konnte so mein Problem besser erklären.

Grüße,
Michael

Bezug
                        
Bezug
Kathetensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 So 04.02.2018
Autor: notinX

Ok, das mit der kürzeren Seite ist natürlich Quatsch, sorry.

Betrachten wir mal diese Grafik:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c3/Kathetensatz.svg/354px-Kathetensatz.svg.png
Das gilt ja allgemein im rechtwinkligen Dreieck. Also so wie es da steht:
[mm] $b^2=qc$ [/mm] und
[mm] $a^2=pc$ [/mm]
Wenn ich jetzt p und q vertausche, muss es so heißen:
[mm] $b^2=pc$ [/mm] und
[mm] $a^2=qc$ [/mm]
Es ist doch für den Wert der beiden Teilstrecken p und q unerheblich welches rechts und welches links ist. Es muss nur das Quadrat der entsprechenden Kathete gewählt werden. Nämlich diejenige, die über der zugehörigen Strecke p oder q liegt.

In Deinem Dreieck muss also gelten:
[mm] $a^2=pb$ [/mm] und
[mm] $c^2=qb$ [/mm]

Oder stehe ich jetzt völlig auf dem Schlauch?

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Kathetensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 04.02.2018
Autor: michl323


> Oder stehe ich jetzt völlig auf dem Schlauch?

Nein, ich bin ganz deiner Meinung! Wahrscheinlich stehe eher ich auf dem Schlauch, aber kannst du mal versuchen, die Aufgabe zu lösen? Hier nochmal die Aufgabenstellung:

gegeben: Beta = 90 Grad, a = 7
gesucht: b, c, [mm] $h_b$, [/mm] p, q

Als Skizze müsstest du allerdings meine verwenden: []Dreieck

Ich habe die Aufgabe inzwischen gelöst (ohne zu wissen, ob es richtig ist), aber nur indem ich in meiner Skizze eben doch p und q getauscht habe.

Bezug
                                        
Bezug
Kathetensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 So 04.02.2018
Autor: Fulla

Hallo Michl,

ich finde die Aufgabenstellung ziemlich fragwürdig...

Vielleicht hilft dir ja die Seite von Arndt Brünner über []rechtwinklige Dreiecke weiter...

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
        
Bezug
Kathetensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:34 Mo 05.02.2018
Autor: HJKweseleit

Lösungsvorschlag:

Taufe p in x um, damit du später nicht mit der p-q-Formel in Konflikt kommst.

Nun gilt:

[mm] h^2=2,5x [/mm] (Höhensatz)   und
[mm] h^2=7^2-x^2 [/mm] (Pythagoras), somit

[mm] 2,5x=49-x^2 [/mm]  bzw. [mm] x^2+2,5x-49=0 [/mm]

alternativ: [mm] 7^2=x(x+2,5) [/mm]   (Kathetensatz)

Nun musst du die quadratische Gleichung  [mm] x^2+2,5x-49=0 [/mm] lösen und bekommst zwei verschiedene Ergebnisse heraus, von denen nur eines brauchbar ist.

Bezug
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