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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Sa 12.05.2012 | | Autor: | mastechm |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe die Kostenfunktion f(x) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 30x^2 [/mm] + 350x + 1000 gegeben (siehe Anhang). Auf der Kostenkurve werden durch zwei eingezeichneten Tangenten t1(x) und t2 (x) zwei Punkte markiert. Die Aufgabe besteht darin, zu untersuchen, welche mathematische und ökonomische Bedeutung diese Punkte haben.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)] |
t1 beginnt im Ursprung und berührt die Kostenfunktion. Handelt es sich bei dem Punkt um das BetriebsOPTIMUM?
t2 beginnt im selben Punkt, in dem auch die Kostenfunktion selbst beginnt (also der Schnittpunkt mit der y-Achse). Auch diese Gerade tangiert lediglich die Kostenfunktion. Ich denke, dass es sich bei diesem Punkt um das BetriebsMINIMUM handelt. Hinweise hierfür wären für mich schon sehr hilfreich. Was ich aber vor allem wissen möchte ist, was die MATHEMATISCH Bedeutung dieser beiden Punkte ist. Hat es was mit der Ableitung zu tun?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=491712
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Sa 12.05.2012 | | Autor: | MyBear |
Hallo,
zur mathematischen Bedeutung gibt es eigentlich nur zu sagen, dass es sich um Tangenten handelt, für welche ein bestimmter Schnittpunkt mit der y-Achse vorgegeben ist. Deine Frage zielt daher wahrscheinlich mehr als die wirtschaftliche Beteutung ab, wenn ich dich richtig verstehe. Der eingezeichnete Punkt auf der Funktion könnte der Wendepunkt sein.
Zur Berechnung der Tangenten kann man ganz einfach eine allgemeine Formel für Tangenten aufstellen:
Eine Tangente ist eine Gerade, also gilt t(x) = m*x + a, wobei m de Steigung und a der y-Achsenabschnitt ist. Die Steigung einer Tangente entspricht der Steigung der Funktion, also gilt t(x) = f'(s) * x + a. Der y-Achsenabschnitt lässt sich berechnen, indem man vom Funktionswert x-mal die Steigung abzieht, also gilt allgemein:
[mm]t(x) = f'(s) + f(s) - s * f'(s)[/mm]
Wobei s die Stelle der Tangente an der Funkrion f(x) darstellt.
In diesem Fall ist kann dabei folgenden genutzt werden:
[mm]f(x) = x^3 - 30 x^2 + 250x + 1000[/mm]
[mm]f'(x) = 3x^2 - 60x + 350[/mm]
Die Aufgabenstellung heißt in diesem Fall: Finde eine Tangentengleichung an f(x), für die
a) der y-Achsenabschnitt a = 0 (für [mm] t_1) [/mm] ist.
b) der y-Achsenabschnitt a = 1000 (für [mm] t_2) [/mm] ist.
Die herangehensweise ist also, den Teiler der allgemeinen Tangentengleichung, der den y-Achsenabschnitt beschreibt, mit dem gegebenen Wert gleichzusetzen.
für a) ergibt sich:
[mm]f(s) - s * f'(s) = 0[/mm]
[mm]\gdw s^3 - 30 s^2 + 350s + 1000 - s * (3s^2-60s+350) = 0[/mm]
[mm]\gdw -2s^3+30s^2+1000 = 0[/mm]
[mm]\Rightarrow s \approx 16,7765[/mm]
Die Tangentengleichung lautet also (wenn das bei den krummen Werten denn stimmen kan):
[mm]t_1(x) = f'(s) * x + 0[/mm]
[mm]\gdw t_1(x) = 187,7631 * x[/mm]
Für b) kann entsprechen forgegangen werden, nur ist hier zu berücksichtigen, dass natürlich die Stelle 0 ebenfalls eine Lösung ist, die hier jedoch nicht gesucht wird.
Die Lösung ist [mm]t_2(x) = 125 * x + 1000[/mm].
Ich hoffe, mit der wirtschaftlichen Bedeutung kann dir noch jemand helfen...
Viele Grüße! Bjørn
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