Kegelberechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In Welcher Höhe h0 über der Grundfläche ist ein senkrechter Kegel der Höhe h und dem Radius r durchzuschneiden, damit beide Teile
-gleiches Volumen besitzen? |
Mein Ansatz wäre gewesen, anahand eines selbstgewählten Beispielkegels das Volumen zu Berechnen (Bsp. r=1,5 h=4,5--> V=10,60)
und einfach die hälfte dieses Volumens(hier 5,3) in die Formel:
V=1/3 G x h für V einzusetzen um so dann das neue h zu bestimmen.
(daraus würde sich dann h=2,25 ergeben)
meine überlegung war nun einfach den anteil des neuen h zum ursprünglichen zu nehmen: (50%)
da das aber nicht stimmen kann, bitte ich um, hilfe, zumindest für einen Ansatz mit dem ich weiterarbeiten könnte...
Danke schonma im Vorraus!
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In Welcher Höhe h0 über der Grundfläche ist ein senkrechter
> Kegel der Höhe h und dem Radius r durchzuschneiden, damit
> beide Teile
> -gleiches Volumen besitzen?
> Mein Ansatz wäre gewesen, anahand eines selbstgewählten
> Beispielkegels das Volumen zu Berechnen (Bsp. r=1,5
> h=4,5--> V=10,60)
> und einfach die hälfte dieses Volumens(hier 5,3) in die
> Formel:
> V=1/3 G x h für V einzusetzen um so dann das neue h zu
> bestimmen.
> (daraus würde sich dann h=2,25 ergeben)
> meine überlegung war nun einfach den anteil des neuen h
> zum ursprünglichen zu nehmen: (50%)
> da das aber nicht stimmen kann, bitte ich um, hilfe,
> zumindest für einen Ansatz mit dem ich weiterarbeiten
> könnte...
Der abzuschneidende Teil geht aus dem Gesamtkegel durch Streckung um den Faktor [mm]\frac{h-h_0}{h}[/mm] hervor (Streckzentrum: Kegelspitze).
Das Volumen des abzuschneidenden Teils ist daher [mm]V_0 = \left(\frac{h-h_0}{h}\right)^3\cdot V[/mm], wenn [mm]V[/mm] das Volumen des Gesamtkegels ist.
Es muss also, gemäss Aufgabenstellung, [mm]h_0[/mm] so gewählt werden, dass [mm]\left(\frac{h-h_0}{h}\right)^3=\frac{1}{2}[/mm] ist. Du kannst also diese Gleichung einfach nach [mm]h_0[/mm] auflösen.
Nebenbei bemerkt haben wir nicht benutzt, dass es sich um einen "senkrechten" Kegel handelt - ja nicht einmal, dass es sich um einen Kreiskegel handelt; und der Radius [mm]r[/mm] war uns daher auch gänzlich wurst.
Kurzrepetition der zugrundeliegenden Theorie: Geht eine Figur aus einer anderen durch Streckung um den Faktor [mm]\lambda[/mm] hervor, so ist das Verhältnis entsprechender Strecken der beiden Figuren immer gleich [mm]\lambda[/mm], das Verhältnis entsprechender Flächen jedoch gleich [mm]\lambda^2[/mm], und das Verhältnis entsprechender Volumina gleich [mm]\lambda^3[/mm].
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| Aufgabe | | $ [mm] \left(\frac{h-h_0}{h}\right)^3=\frac{1}{2} [/mm] $ auflösen? |
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort, ich hätte noch eine Frage dazu:
es gibt ein Lösungsbuch da steht nur folgendes drin:
[mm] h0=(1-\bruch{1}{2}\*\wurzel[3]{4}\*h= [/mm] ca.0,21 h
wie kommt man denn darauf? und wie löst man $ [mm] \left(\frac{h-h_0}{h}\right)^3=\frac{1}{2} [/mm] $ auf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi Theoretix!
Ich habe folgenden Ansatz: (ich bezeichne die gesamte Höhe mit h, den großen Radius mit r, die Höhe des unteren Teils mit h_0 und den Radius des abgeschittenen Teils mit r_0 - ich denke ihr benutzt dieselben Bezeichnungen)
Also, das Volumen des gesamten Kegels soll ja doppelt so groß sein, wie die abgeschnittene Spitze (oder die Spitze halb so groß, wie der ganze Kegel):
$\frac{1}{3}r^2\pi h=2*\frac{1}{3}r_0^2\pi (h-h_0)$ gekürzt: $r^2 h=2r_0^2\pi (h-h_0)$
Der Strahlensatz liefert: $\frac{r_0}{r}=\frac{h-h_0}{h}$ bzw $r_0=\frac{(h-h_0)r}{h}$
Also $r^2h=2\frac{(h-h_0)^2r^2}{h^2}(h-h_0)$ oder $h^3=2(h-h_0)^3$
Das ist der schon erwähnte Term $\left(\frac{h-h_0}{h}\right)^3=\frac{1}{2}$
Hier ziehst du erstmal die dritte Wurzel: $\frac{h-h_0}{h}=\wurzel[3]{\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\wurzel[3]{2}}=\frac{\wurzel[3]{4}}{2}$
Die linke Seite kannst du noch umformen: $\frac{h-h_0}{h}=1-\frac{h_0}{h}=\frac{\wurzel[3]{4}}{2}$
Nach h_0 aufgelöst ergibt sich das gewünschte $h_0=(1-\frac{\wurzel[3]{4}}{2})h}\approx 0,21 h$
Jetzt alles klar?
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mi 04.07.2007 | | Autor: | Theoretix |
vielen Dank, du hast mir sehr weitergeholfen!
warst meine letzte rettung, hab das dringend gebraucht und dank dir auch alles verstanden jetzt!
MFG
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