Kehrwert im Sexagesimalsystem < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 18.04.2013 | | Autor: | davux |
| Aufgabe | Bestimmen Sie mit dem Heronverfahren eine Approximation der Zahl [mm] \sqrt{2} [/mm] im 60er-System, d.h. berechnen Sie Zahlen [mm] $x,y,z\elem{1,...,59}$, [/mm] so dass
[mm] $\sqrt{2}\approx 1+\bruch{x}{60}+\bruch{y}{60^2}+\bruch{z}{60^3}. [/mm] |
Hallo,
womöglich nehme ich die Aufgabe etwas zu wörtlich. Das Heronverfahren an-sich ist klar, konvergiert für beliebigen Startwert. Ich habe als Startwert [mm] $x_0=2\cdot 60^{0}$. [/mm] Während die ersten beiden Iterierten weniger Probleme darstellten, hänge ich bei der dritten an der Stelle, wo ich den Kehrwert von [mm] 1\cdot 60^{0}+25\cdot 60^{-1} [/mm] bestimmen müsste. Im Dezimalen wäre das [mm] $(\bruch{17}{12})^{-1}=\bruch{12}{17}$.
[/mm]
Das Umrechnen von Dezimal- in Sexagesimalsystem ist nicht das Thema. In Wikipedia stand zum Dividieren wäre mit dem Kehrwert Mal genommen worden. Die Kehrwerte wären aus Tabellen abgelesen worden. Bei den ersten Iterationen ging es ohne irgendwelche Tabellen, aber ich bezweifel, dass es für meinen gesuchten Wert überhaupt eine passende Darstellung gibt. Es würde ja auch entsprechend der Aufgabe eine Näherung reichen.
Dass ich mir nun einen Wert aus dem Dezimalen hole, wollte ich gerne vermeiden. Daher habe ich zunächst in der Umgebung geschaut.
[mm] $1\cdot 60^{0}+30\cdot 60^{-1}$ [/mm] hat den Kehrwert [mm] $40\cdot 60^{-1}$ [/mm] und
[mm] $1\cdot 60^{0}+20\cdot 60^{-1}$ [/mm] hat den Kehrwert [mm] $45\cdot 60^{-1}$.
[/mm]
Also müsste er ja dazwischen liegen. Natürlich kenne ich die Lösung schon, aber mich irritiert, dass es nicht so einfach von Hand nachzurechnen ist, es sei denn es gibt ein Verfahren, welches mir nicht so geläufig ist?
Es läuft auf viel Rumprobieren hinaus, z.B. so zu erweitern, dass bei Erweiterung des Bruches [mm] $\bruch{1}{1\cdot 60^{0}+25\cdot 60^{-1}}, [/mm] der Nenner möglichst nah an 1 angenähert wird. Damit wird das Problem gewissermaßen verlagert.
Ich hoffe es kann jemand nachvollziehen, was mich hier rumtreibt.
Grüße,
davux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Do 18.04.2013 | | Autor: | davux |
Ich sollte noch erwähnen, dass die Iterationsvorschrift des Heronverfahrens in der Aufgabenstellung [mm] $x_{n+1}=\bruch{x_n+\bruch{a}{x_n}}{2}$ [/mm] angegeben wurde. Mit a=2 umformen zu [mm] $x_{x+1}=\bruch{x_n}{2}+\bruch{1}{x_n}$ [/mm] half auch nicht. Ob es so einen einfacheren Weg gäbe?
Also ich hatte Mal mit [mm] $42\cdot 60^{-1}+30\cdot 60^{-2}$ [/mm] als Näherung an den Kehrwert weitergerechnet, aber das führte mich direkt wieder auf die vorangegangene, sprich eingesetzte, Iterierte. Einzig eine Näherung aus Mathematica führte mich bisher zum Ziel. Nur wie bestimme ich eine Näherung für den Kehrwert, ohne dass ich aufs Dezimalsystem zurückgreife?
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Hallo davux,
ich verstehe Dein Problem in der Tat nicht. Da ist m.E. auch keins.
Leider kann ich hier gerade nicht zitieren; die Schaltfläche funktioniert nicht.
Wenn [mm] x_0=1 [/mm] und a=2 ist, dann suchst Du doch das kleinste n, für das [mm] |wurzel(2)-x_n|<\bruch{1}{2}60^{-3} [/mm] ist.
Das ist schon für n=3 der Fall, und Du bekommst die Darstellung
[mm] \wurzel{2}\approx 1+\bruch{24}{60}+\bruch{51}{60^2}+\bruch{10}{60^3}
[/mm]
Für all das ist es vollkommen egal, in welchen Stellenwertsystem Du rechnest. Der Bruch [mm] \tfrac{12}{17} [/mm] ist ebenfalls in jedem Stellenwertsystem der gleiche, außer dass man Zähler und Nenner vielleicht anders notiert, z.B. im Ternärsystem [mm] \bruch{110_3}{122_3}. [/mm] Na und?
Auch Deinen zuletzt zitierten Bruch bringt man in jedem Stellenwertsystem auf die gleiche Weise in eine geordnete Form:
[mm] \bruch{1}{1*60^0+25*60^{-1}}=\bruch{60}{60+25}=\bruch{12}{17}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Fr 19.04.2013 | | Autor: | davux |
O.K.
Dann mache ich das Mal so, in der Darstellung, die ich gewählt habe.
[mm] \bruch{1}{1\cdot 60^0 + 25\cdot 60^{-1}}=\bruch{60\cdot 60^{-1}}{60\cdot 60^{-1}+25\cdot 60^{-1}}=\bruch{12\cdot 60^{-1}}{17\cdot 60^{-1}}.
[/mm]
Nun hieß es aber, auch wenn es nicht meine Aufgabe ist, die Babylonier kannten damals keine exakte Bruchrechnung. Wie haben sie das folgende eigentlich gemacht? In dem liegt übrigens auch meine Lösung mit der ich mich zufrieden geben kann.
[mm] \bruch{12\cdot 60^{-1}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{720\cdot 60^{-2}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =42\cdot 60^{-1}\bruch{6\cdot 60^{-2}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =42\cdot 60^{-1}\bruch{360\cdot 60^{-3}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}\bruch{3\cdot 60^{-3}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}\bruch{180\cdot 60^{-4}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
[mm] =42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}+10\cdot 60^{-3}\bruch{10\cdot 60^{-4}}{17\cdot 60^{-1}}
[/mm]
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Hallo davux,
> O.K.
> Dann mache ich das Mal so, in der Darstellung, die ich
> gewählt habe.
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> [mm]\bruch{1}{1\cdot 60^0 + 25\cdot 60^{-1}}=\bruch{60\cdot 60^{-1}}{60\cdot 60^{-1}+25\cdot 60^{-1}}=\bruch{12\cdot 60^{-1}}{17\cdot 60^{-1}}.[/mm]
>
> Nun hieß es aber, auch wenn es nicht meine Aufgabe ist,
> die Babylonier kannten damals keine exakte Bruchrechnung.
> Wie haben sie das folgende eigentlich gemacht?
Näherungsweise.
![[]](/images/popup.gif) Hier findest Du eine Seminararbeit, in der die babylonische Rechnung im Sexagesimalsystem vorzüglich und praktisch erläutert wird, einschließlich der Bruchrechnung. Lies (in der pdf-Zählung, die von der Seitenzählung um 2 abweicht) etwa die Seiten 5-7.
Grüße
reverend
> In dem liegt
> übrigens auch meine Lösung mit der ich mich zufrieden
> geben kann.
>
> [mm]\bruch{12\cdot 60^{-1}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
> [mm]=\bruch{720\cdot 60^{-2}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=42\cdot 60^{-1}\bruch{6\cdot 60^{-2}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=42\cdot 60^{-1}\bruch{360\cdot 60^{-3}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}\bruch{3\cdot 60^{-3}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}\bruch{180\cdot 60^{-4}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
>
> [mm]=42\cdot 60^{-1}+21\cdot 60^{-2}+10\cdot 60^{-3}\bruch{10\cdot 60^{-4}}{17\cdot 60^{-1}}[/mm]
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