matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesKern-Injektiv
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kern-Injektiv
Kern-Injektiv < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kern-Injektiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Mo 09.01.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Beweise!
Eine lineare Abbildung [mm] \phi: [/mm] V->W ist genau dann injektiv wenn sie trivialen Kern hat d.h. genau dann wenn [mm] ker(\phi) =\{0\} [/mm]

Hallo.
Mir ist klar, dass man zwei Seiten beweisen muss.

ZZ: Sei [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm]  => [mm] \phi [/mm] injektiv
Sei [mm] v_1,v_2 \in [/mm] V mit [mm] \phi(v_1) [/mm] = [mm] \phi(v_2), [/mm] ZZ: [mm] v_1=v_2 [/mm]
[mm] \phi(v_2-v_1)= \phi(v_2) -\phi(v_1) [/mm] = 0
=> [mm] v_2 -v_1 \in ker(\phi) =\{0\} [/mm] => [mm] v_2-v_1=0 [/mm] => [mm] v_1=v_2 [/mm]

ZZ: [mm] \phi [/mm] injektiv => [mm] ker(\phi) =\{0\} [/mm]
[mm] Kern(\phi) [/mm] definiert als [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] {\phi}^{-1} [/mm] (0)

Kann mir wer bei der "anderen Seite" behilflich sein?

Liebe Grüße

        
Bezug
Kern-Injektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:33 Mo 09.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Beweise!
>  Eine lineare Abbildung [mm]\phi:[/mm] V->W ist genau dann injektiv
> wenn sie trivialen Kern hat d.h. genau dann wenn [mm]ker(\phi) =\{0\}[/mm]
>  
> Hallo.
>  Mir ist klar, dass man zwei Seiten beweisen muss.
>  
> ZZ: Sei [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]  => [mm]\phi[/mm] injektiv
>  Sei [mm]v_1,v_2 \in[/mm] V mit [mm]\phi(v_1)[/mm] = [mm]\phi(v_2),[/mm] ZZ: [mm]v_1=v_2[/mm]
>  [mm]\phi(v_2-v_1)= \phi(v_2) -\phi(v_1)[/mm] = 0
>  => [mm]v_2 -v_1 \in ker(\phi) =\{0\}[/mm] => [mm]v_2-v_1=0[/mm] => [mm]v_1=v_2[/mm]

>  
> ZZ: [mm]\phi[/mm] injektiv => [mm]ker(\phi) =\{0\}[/mm]
>  [mm]Kern(\phi)[/mm] definiert
> als [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]{\phi}^{-1}[/mm] (0)
>  
> Kann mir wer bei der "anderen Seite" behilflich sein?

klar:
Wegen der Linearität von [mm] $\phi$ [/mm] ist $0 [mm] \in ker(\phi)\,,$ [/mm] also [mm] $\{0\} \subseteq ker(\phi)\,.$ [/mm] Es bleibt also [mm] $\ker(\phi) \subseteq \{0\}$ [/mm] zu zeigen, bzw. zu zeigen:
$x [mm] \in ker(\phi) \Rightarrow x=0\,.$ [/mm]
Sei also $x [mm] \in ker(\phi)\,,$ [/mm] dann folgt $x [mm] \in [/mm] V$ mit [mm] $\phi(x)=0\,.$ [/mm] Wie oben erwähnt besagt die Linearität von [mm] $\phi\,,$ [/mm] dass insbesondere für $0 [mm] \in [/mm] V$ gilt
[mm] $$\phi(0)=0 \in W\,.$$ [/mm]
Daher
[mm] $$\phi(x)=0=\phi(0)$$ [/mm]
oder, was das auch beinhaltet:
[mm] $$\phi(x)=\phi(0)\,.$$ [/mm]  
Was folgt nun aus der Injektivität von [mm] $\phi$? [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
                
Bezug
Kern-Injektiv: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mo 09.01.2012
Autor: theresetom

hallo!!
> oder, was das auch beinhaltet:

    $ [mm] \phi(x)=\phi(0)\,. [/mm] $

  

> Was folgt nun aus der Injektivität von $ [mm] \phi [/mm] $?

x=0

Frage:

> Wegen der Linearität von $ [mm] \phi [/mm] $ ist $ 0 [mm] \in ker(\phi)\,, [/mm] $ also $ [mm] \{0\} \subseteq ker(\phi)\,. [/mm] $

woher weiß man überhaupt, dass 0 [mm] \in [/mm] V ist?. wenn es in V ist wird es abgebildet auf 0 ja.

Könnte man nicht auch sagen
[mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \phi^{-1} [/mm] (0)
Urbild ist eindeutig. Also hat [mm] \phi^{-1} [/mm] (0) nur 1 Element.
Da [mm] \phi [/mm] linear ist. bildet 0 auf 0 ab. 0 [mm] \in ker(\phi) [/mm]
also [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \{0\} [/mm]
Falsch?

Bezug
                        
Bezug
Kern-Injektiv: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mo 09.01.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> hallo!!
>  > oder, was das auch beinhaltet:

>  
> [mm]\phi(x)=\phi(0)\,.[/mm]
>  
>
> > Was folgt nun aus der Injektivität von [mm]\phi [/mm]?
> x=0
>  
> Frage:
>  > Wegen der Linearität von [mm]\phi[/mm] ist [mm]0 \in ker(\phi)\,,[/mm]

> also [mm]\{0\} \subseteq ker(\phi)\,.[/mm]
> woher weiß man überhaupt, dass 0 [mm]\in[/mm] V ist?

normalerweise steht in den Vektorraumaxiomen, dass es ein Nullelement bzgl. der Vektoraddition gibt. Wie habt ihr denn sonst Vektorräume definiert? Bei Unterräumen steht manchmal:
$U [mm] \subseteq [/mm] V$ heißt Unterraum, wenn gelten
1. $U [mm] \not= \emptyset$ [/mm]
und noch ein (oder zwei) andere Bedingungen. Mit diesen kann man dann [mm] $0_V \in [/mm] U$ folgern. Aber oben ist [mm] $V\,$ [/mm] ein Vektorraum!!

> . wenn es in V
> ist

Mich würde wundern, wenn diese Forderung bei Euch in den Vektorraumaxiomen nicht erwähnt wird ^^

> wird es abgebildet auf 0 ja.

Wegen der Linearität, und etwa, weil
[mm] $$\phi(0)=\phi(0+0)=\phi(0)+\phi(0)\,.$$ [/mm]
Man kann es auch so begründen (mit ein wenig Vorwissen):
Für $v [mm] \in [/mm] V$ und der $0 [mm] \in [/mm] K$ gilt mit den [mm] $K\,$-Vektorräumen $V\,$ [/mm] und [mm] $W\,$ [/mm]
[mm] $$\phi(0)=\phi(0*v)=0*\phi(v)=0 \in W\,.$$ [/mm]
  
Beachte, dass die erste [mm] $0\,$ [/mm] die [mm] $0_V$ [/mm] ist, die 2e und 3e ist [mm] $0_{K}$ ($K\,$ [/mm] ist der "Körper") und die letzte ist, wie angedeutet, [mm] $0_W\,.$ [/mm]

> Könnte man nicht auch sagen
>  [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\phi^{-1}[/mm] (0)
>  Urbild ist eindeutig.

Besser: Die Urbildmenge [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] besteht (bei injektivem [mm] $\phi$) [/mm] aus genau einem Element, und dieses ist [mm] $0_V\,.$ [/mm] Das beweisen wir nun:

> Also hat [mm]\phi^{-1}[/mm] (0) nur 1
> Element.

Ich würde es so formulieren: Die Menge [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] (mit [mm] $0=0_W$) [/mm] (das ist übrigens die saubere Schreibweise - viele Autoren schreiben, wie ihr, aber auch stets [mm] $\phi^{-1}(0)$ [/mm] anstatt [mm] $\phi^{-1}(\{0\})$ [/mm] sogar für nichtinjektives lineares [mm] $\phi$ [/mm] zwischen Vektorräumen - leider!) hat wegen der Injektivität von [mm] $\phi$ [/mm] höchstens ein Element (das heißt erstmal: eines oder keines). Und jetzt zitiere ich Dich

>  Da [mm]\phi[/mm] linear ist. bildet

die Funktion [mm] $\phi$ [/mm] das Element

> 0 auf 0 ab.

Daraus folgt
0 [mm]\in ker(\phi)[/mm]

>  
> also [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]

Absolut korrekt: Das geht genauso und prinzipiell sind das genau die gleichen Überlegungen, wenn sie auch "ein wenig anders verpackt" erscheinen ^^

Gruß,
Marcel

Bezug
                                
Bezug
Kern-Injektiv: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Di 10.01.2012
Autor: theresetom

Ich danke dir sehr ;)
Ich finds toll, dass du dir immer die Zeit nimmst und so ausführlich auf die Fragen eingehst

LG

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]