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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils die zugehörige Matrix und den Kern.
a) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z}$ [/mm] |
Hi,
ich habe für a) folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }
[/mm]
So jetzt kommt aber das eigentliche Problem. Wir sollen den Kern bestimmen.
Ich weiß vom Kern nur, dass er die Menge aller Vektoren ist die Senkrecht auf den eigentlichen Vektor stehen. Ich hab gegooglet, im wikipedia nachgesehen aber ich finde einfach nichts, was für mich persönlich brauchbar ist! Ich bräuchte mal ne Beispielaufgabe oder halt eine Erklärung/Anfang.
Gruß Thomas
Danke für eure Hilfe!
:-( Warum brauchen wir als BWLer so ein Zeug wie einen Kern? *nicht versteh*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Sa 02.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
kennst du schon unsere  UniMatheFAQ ?!?
Da steht auch, wie man den Kern einer Abbildung bestimmt.
Frag ruhig nach, wenn noch was unklar ist.
>
> ich habe für a) folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }[/mm]
das ist richtig.
> Ich weiß vom Kern nur, dass er die Menge aller Vektoren ist
> die Senkrecht auf den eigentlichen Vektor stehen.
versteh ich irgendwie nicht...
> :-( Warum brauchen wir als BWLer so ein Zeug wie einen
> Kern? *nicht versteh*
ähm, weil ihr mal gleichungssysteme lösen können müsst.
sei v eine Vektor des Kerns und w ein Lösungsvektor eines zugehörigen inhomogenen Gleichungssystems, dann ist (w+v) auch immer eine Lösung des systems!
(ein reales beispiel eines inhomogenen systems darst du dir selbst basteln, aber der kern ist wirklich eine fundamentale Angelegenheit, die man können muss)
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Sa 02.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi DaMenge,
ne diese UNI-FAQ kenne ich noch nicht!
Danke auch für das erklären für was ich das brauche, das macht für mich jetzt mehr Sinn :)
Ich werde jetzt mal versuchen die Aufgabe mithilfe der FAQ zu lösen!
Danke!
Gruß Thomas
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils die zugehörige Matrix und den Kern.
a) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z}$
[/mm]
Die von mir bestimmte Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 } [/mm] |
Hi,
diese Erklärung zu dem Kern ist wirklich gut! Das hilft! Ich habe aber jetzt noch eine kleine Frage.
Ich habe das ganze jetzt so aufgestellt:
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] = 0$
[mm] $2v_1 [/mm] + [mm] 4v_2 [/mm] + [mm] 2v_3 [/mm] = 0$
Jetzt habe ich 2 Gleichungen aber 3 unbekannte!
In dem Beispiel besteht "genau" das selbe Problem, da ist die Rede von "Es gibt einen Freiheitsgrad, da...".
Nun wird in dem Beispiel hingegangen und [mm] $v_3:=1$ [/mm] gesetzt.
Das könnte ich auch in meinem Beispiel tun da ich auch ein [mm] $v_3$ [/mm] habe.
Jetzt die Frage:
1. Wäre es richtig, wenn ich [mm] $v_3:=1$ [/mm] setze?
3. Warum ausgerechnet [mm] $v_3$ [/mm] und nicht [mm] $v_2$ [/mm] oder [mm] $v_1$ [/mm] oder spielt das keine Rolle?
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 03.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Jetzt die Frage:
>
> 1. Wäre es richtig, wenn ich [mm]v_3:=1[/mm] setze?
ja, darfst du, aber beachte mal den Hinweis am Ende.
> 3. Warum ausgerechnet [mm]v_3[/mm] und nicht [mm]v_2[/mm] oder [mm]v_1[/mm] oder
> spielt das keine Rolle?
es spielt keine rolle - setze mal aus Spaß eine andere Variable auf 1 und schau, was für eine erzeugender Vektor dort rauskommt - in welchem Verhältnis stehen die Lösungenzueinander?
aber schöner wäre es, wenn [mm] $v_3=:t$ [/mm] setzt mit t beliebig.
(deshalb "freiheitsgrad")
dann hättest du als Lösung nach dem umformen sowas wie:
[mm] $\vektor{-t\\t\\t}=t*\vektor{-1\\1\\1}$
[/mm]
dies ist die Lösungsmenge für alle beliebigen t !!
wenn du jetzt t=1 setzt wäre das gerade der Vektor, den du raushättest, wenn du [mm] v_3=1 [/mm] setzt , wenn du t=-1 setzt wäre es der Vektor für [mm] v_1=1 [/mm] usw...
viele Grüße
DaMenge
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 So 03.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi DaMenge,
danke für die gute Antwort!
Ich werde das gleich mal nachrechnen.
Gruß Thomas
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils die zugehörige Matrix und den Kern.
a) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z}$
[/mm]
Die von mir bestimmte Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 } [/mm] |
Hi,
also ich habe gerade eben mal das mit dem [mm] $v_1=1, v_2=1, v_3=1$ [/mm] nachgerechnet. Aber bei einem komme ich nicht weiter.
Ich schreibe mal auf was ich gemacht habe:
Gleichungen die ich aus der Matrix abgelesen habe:
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] =0$
[mm] $2v_1+4v_2+2_v3=0$
[/mm]
1. Fall: [mm] $v_1=1$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] =0$
$1 + [mm] v_3 [/mm] =0$
[mm] $v_3 [/mm] =-1$
[mm] $2v_1+4v_2+2_v3=0$
[/mm]
[mm] $2*1+4v_2+2*(-1)=0$
[/mm]
[mm] $2+4v_2-2=0$
[/mm]
[mm] $4v_2=0$
[/mm]
[mm] $v_2=0$
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
2. Fall: [mm] $v_3=1$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] =0$
[mm] $v_1 [/mm] + 1 =0$
[mm] $v_1 [/mm] =-1$
[mm] $2v_1+4v_2+2_v3=0$
[/mm]
[mm] $2*(-1)+4v_2+2*1=0$
[/mm]
[mm] $-2+4v_2+2=0$
[/mm]
[mm] $4v_2=0$
[/mm]
[mm] $v_2=0$
[/mm]
[mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
3. Fall (bei diesem habe ich Probleme): [mm] $v_2=1$
[/mm]
[mm] $v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] =0$
[mm] $v_3 =-v_1 [/mm] | *2$
[mm] $2v_3 =-2v_1$
[/mm]
[mm] $2v_1+4v_2+2_v3=0$
[/mm]
[mm] $2v_1+4+2_v3=0$
[/mm]
[mm] $2_v3=-2v_1-4$
[/mm]
Jetzt setze ich gleich:
[mm] $-2v_1 [/mm] = [mm] -2v_1-4$
[/mm]
[mm] $\blue{0=-4 ???????}$
[/mm]
Was stimmt bei diesem 3.ten Fall nicht? Habe ich etwas falsch gemacht oder muss man das anders lösen?
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
PS:Ich werde das ganze jetzt nochmal mit der Variabel t rechnen wie du mir es empfohlen hast.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Mo 04.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi Thomas,
deine Probleme sind nachvollziehbar - das wurde in dem Artikel der FAQ auch nicht richtig erläutert, welche Variablen nun frei wählbar sind und welche nicht.
also deine beiden Gleichungen lauteten ja:
$ [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] = 0 $
$ [mm] 2v_1 [/mm] + [mm] 4v_2 [/mm] + [mm] 2v_3 [/mm] = 0 $
wenn man dies nun in Zeilenstufenform bringt (also Gauß anwendet), dann steht da (zweite Zeile minus zweimal der ersten Zeile):
$ [mm] v_1 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] = 0 $
$ [mm] 4*v_2 [/mm] = 0 $
hier siehst du nun, dass [mm] v_2 [/mm] schon eindeutig bestimmt ist durch die letzte Gleichung - [mm] v_2 [/mm] kann man also nicht frei wählen !
es folgt also schonmal [mm] v_2=0
[/mm]
(d.h. ich habe mich auch bei den t's verrechnet gehabt^^)
dann bleibt nur noch die erste Gleichung übrig - hier kannst du nun entweder [mm] v_1 [/mm] oder [mm] v_3 [/mm] beliebig wählen - die andere Variable hängt dann von dieser Wahl ab. (also sind beide Variablen frei wählbar, deshalb hattest du bei diesen beiden keine Probleme)
also der richtige Lösungsvektor muss lauten: [mm] $t*\vektor{1\\0\\-1}$ [/mm] mit t beliebig.
(das hattest du auch bei t=1 bzw t=-1 richtig berechnet)
um mal nochmal das Beispiel der FAQ zu zitieren:
$ [mm] v_1+2v_2+3v_3=0 [/mm] $
$ [mm] -3v_2-6v_3=0 [/mm] $
hier sieht man, dass man in der letzten Gleichung [mm] v_2 [/mm] oder [mm] v_3 [/mm] beliebig setzen kann, dann hängt die andere Variable von der Wahl ab - eingesetzt in die erste Gleichung sieht man, dass auch [mm] v_1 [/mm] dann von dieser Wahl abhängt.
[mm] (v_1 [/mm] kann man nicht frei wählen, denn die anderen Variablen sind dann noch nicht eindeutig bestimmt - also bei n Variablen und m Gleichungen (mit [mm] $m\le [/mm] n$) muss man (n-m) Variablen frei wählen so dass der Rest eindeutig ist, dazu geht man in der Zeilenstufenform von unten nach oben vor und setzt jede Variable auf beliebig, die nicht eindeutig durch einsetzen oder andere bereits eingesetzte Variablen bestimmt ist.)
hoffe jetzt ist es ein wenig klarer
(vielleicht muss man den FAQ-Artikel noch überarbeiten (er ist ja schon was älter))
viele Grüße
DaMenge
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils die zugehörige Matrix und den Kern.
a) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z}$
[/mm]
Die von mir bestimmte Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 } [/mm] |
Hi DaMenge,
als erstes möchte ich mich bei dir bedanken, dass du mir so einen ausführliche Antwort geschrieben hast! Das ist mir jetzt klar geworden, dass ich [mm] v_2 [/mm] nicht festlegen kann da es schon definiert ist!
Ich wollte jetzt nur noch wissen, ob die beiden Vektoren
$ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] $
$ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
als Lösung richtig sind.
Sind beide ein Kern oder sind beide zwar verschieden, aber beide ein zulässiger Kern oder ist nur eines der beiden Vektoren ein Kern?
Weil die Aufgabenstellung hieß "jeweils die zugehörige Matrix und den Kern." Also was muss ich da jetzt angeben, kann ich beide Vektoren die ich raus habe angeben oder nur einen? Weil in der Aufgabenstellung von der Einzahl die Rede ist, deshalb komme ich jetzt ins grübeln.
Danke für deine Hilfe!
Gruß Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 04.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Sind beide ein Kern oder sind beide zwar verschieden, aber
> beide ein zulässiger Kern oder ist nur eines der beiden
> Vektoren ein Kern?
genau das dachte ich mir - du hast die FAQ nicht genau genug gelesen.
(bzw es steht nicht deutlich genug da)
beide Vektoren ERZEUGEN den Kern (und beide denselben !!)
deshalb ist es auch besser gleich mit dem beliebigen t zu arbeiten, da sieht man nämlich direkt, welche Lösungsmenge es gibt.
(und der kern ist ja nix anderes als die lösungsmenge des homogenen systems)
also der Kern ist : [mm] $\{ t*\vektor{1\\0\\-1} \}=\{ t*\vektor{-1\\0\\1} \}=\left< \vektor{1\\0\\-1} \right>$
[/mm]
(wobei t jeweils beliebig aus [mm] \IR [/mm] gewählt ist)
Es ist also egal, welche darstellung du angibst!
viele Grüße
DaMenge
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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgenden linearen Abbildungen jeweils die zugehörige Matrix und den Kern.
a) $F: [mm] \IR^3 \to \IR^2, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z}$
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 } [/mm] |
Hi,
ich habe noch einen Lösungsweg aber da blicke ich nicht 100%ig durch bzw. nur beim letzten Schritt nicht mehr. Ich habe ihn auch schon nachgerechnet, komme aber nicht drauf.
I $x + z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z = -x$
II $2x + 4y + 2z = 0$
I in II
$2x + 4y + 2(x) = 0$
$2x + 4y - 2x = 0$
$4y = 0$
$y = 0$
$ker(F) = [mm] \vektor{??? \\ 0 \\ -x}$
[/mm]
Wie komme ich hier auf das x im Vektor?
Unser Übungsleiter hat uns diesen Weg gegeben und er neigt dazu alles recht kurz zu fassen, jetzt komme ich nicht auf den "x"-Wert im Vektor???
Noch ne Anmerkung zu: https://matheraum.de/read?i=206611
Dort hatte ich nicht mit Variablen gerechnet gehabt wie DaMenge es mir empfohlen hatte. Ich habe das heraus bekommen:
$ [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] $
$ [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
Das Stimmt auch im Prinzip, mein Übungsleiter meinte, dass das der "Span" ist und nicht der "Kern". Danke nochmal an dich DaMenge, dass du mir mehrmals geraten hast das mit Variablen zu rechnen :) Dadurch hatte ich es dann doch richtig abgegeben!
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Hallo KnockDown,
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }[/mm]
> [mm]ker(F) = \vektor{??? \\ 0 \\ -x}[/mm]
>
>
> Wie komme ich hier auf das x im Vektor?
Wir wollen ja alle [mm]v[/mm] finden für die
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }v = \overrightarrow{0}[/mm]
gilt. Also setze doch das, was du bisher hast, ein:
[mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }\vektor{??? \\ 0 \\ -x} =
\begin{pmatrix}??? - x\\2\cdot{???} - 2x\end{pmatrix} = 0[/mm]
Also muß [mm]??? = x[/mm] sein.
Grüße
Karl
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Hi Karl,
> Wir wollen ja alle [mm]v[/mm] finden für die
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }v = \overrightarrow{0}[/mm]
>
>
> gilt. Also setze doch das, was du bisher hast, ein:
>
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2 }\vektor{??? \\ 0 \\ -x} =
\begin{pmatrix}??? - x\\2\cdot{???} - 2x\end{pmatrix} = 0[/mm]
>
>
> Also muß [mm]??? = x[/mm] sein.
>
Ah ich glaub ich habs also:
I $x + z = 0 [mm] \Rightarrow \red{z = -x}$
[/mm]
II $2x + 4y + 2z = 0$
$2x + 4y + 2z = 0$
$2x + 4*0 + 2z = 0$
$2x + 2z = 0$
$2z = -2x$
[mm] $\green{z = -x}$
[/mm]
[mm] $\green{z = -x}$ [/mm] in I [mm] $\red{z = -x}$
[/mm]
$-x = -x$
[mm] $\blue{x = x}$
[/mm]
$ ker(F) = [mm] \vektor{x \\ 0 \\ -x} [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $
Müsste so stimmen oder?
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> Grüße
> Karl
Danke für die gute Hilfe!
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Hallo KnockDown,
Also ich kann keinen Fehler in deinen Ausführungen erkennen. Ich glaube zwar, daß du dieses "Einsetz-Schema", was du benutzt nicht immer so ausführlich machen mußt (ich mein jetzt so Sachen, wo nacher nur [mm]x=x[/mm] steht), aber falsch ist es bestimmt nicht.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 07.12.2006 | | Autor: | KnockDown |
Hi Karl,
vielen Dank fürs Korrektursehen.
Ich mache das immer im Forum so ausführlich, da ich froh bin wenn mir jemand hilft. Ich möchte mit der Ausführlichkeit erreichen, dass die Leute die mir helfen, sich nicht noch unnötig in meine Rechnungen hineinversetzen müssen und gleich sehen können was ich tue.
Danke! Schönen Abend noch.
Gruß Thomas
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