Kern, Basis, Dimension < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : R3
→ R3 mit
[mm] \phi \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] := [mm] \vektor{x_{1}+ 2*x_{2} - x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} - 2*x_{3}} [/mm]
Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Kern [mm] \phi [/mm] . |
Hallo liebe Matheexperten!
Leider komme ich bei der Aufgabe keinen Deut weiter.
Die Begriffe "Kern", "lineare Abbildung", "Basis" und "Dimension" bereiten mir leider große Schwierigkeiten!
Fang ich mal mit dem an, was ich weiss!
f(x) = [mm] x^2 [/mm] hier ist f(x) das Bild und x wäre das Urbild,
bei der Matrix ist 'X = A*M 'X das Bild und A das Urbild? Ist das richtig?
Der Kern sind die die linear unabhängigen Vektoren? (großes Fragezeichen)
Basis und Dimension sagen mir hier überhaupt nichts, hab schon in einigen Büchern nachgeschlagen, aber verstanden hab ich es leider nciht!
Ich bedanke mich shconmal im voraus für eure Hilfe :)
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo blueberystick und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] : R3
> → R3 mit
>
> [mm]\phi \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}[/mm] := [mm]\vektor{x_{1}+ 2*x_{2} - x_{3} \\ x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} - 2*x_{3}}[/mm]
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> Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Kern [mm]\phi[/mm] .
> Hallo liebe Matheexperten!
>
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> Leider komme ich bei der Aufgabe keinen Deut weiter.
>
> Die Begriffe "Kern", "lineare Abbildung", "Basis" und
> "Dimension" bereiten mir leider große Schwierigkeiten!
>
> Fang ich mal mit dem an, was ich weiss!
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm] hier ist f(x) das Bild und x wäre das Urbild, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei der Matrix ist 'X = A*M 'X das Bild und A das
> Urbild? Ist das richtig?
Hmm, das ist unklar ...
Wenn du eine lineare Abbildung [mm] $f:\IR^3\to\IR^3$ [/mm] hast, so kannst du sie (bzgl. einer gegebenen Basis) immer eindeutig darstellen als [mm] $f(\vec{x})=A\cdot{}\vec{x}$, [/mm] wobei A die sog. Abbildungsmatrix ist. Sie ist vom Format [mm] $3\times [/mm] 3$
Allgemeiner kannst du eine lineare Abbildung [mm] $\phi:V\to [/mm] W$ mit $dim(V)=n, dim(W)=m$ mittels einer [mm] $m\times [/mm] n$-Matrix darstellem als [mm] $W\ni\phi(\vec{x})=\phi\left(\vektor{x_1\\x_2\\\vdots{}\\x_n}\right)=A\cdot{}\vec{x}$
[/mm]
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> Der Kern sind die die linear unabhängigen Vektoren? (großes
> Fragezeichen)
Nein, der Kern ist die Menge der Vektoren aus dem Urbildraum (hier [mm] $\IR^3$), [/mm] die auf den Nullvektor (im Bildraum) - hier ebenfalls der [mm] $\IR^3$ [/mm] abgebildet werden
Löse also das LGS [mm] $\phi\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\right)=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Deine Abbildung [mm] $\phi$ [/mm] kannst du bzgl. der Standardbasis darstellen als [mm] $\phi(\vec{x})=\vektor{x_1+2x_2-x_3\\x_2+x_3\\x_1+x_2-2x_3}=\underbrace{\pmat{1&2&-1\\0&1&1\\1&1&-2}}_{=A}\cdot{}\vektor{x_1\\x_2\\x_3}$
[/mm]
Ihr hattet bestimmt in der VL, dass die Spalten der Abbildungsmatrix das [mm] $Bild(\phi)$ [/mm] aufspannen, untersuche also die Spalten von A auf lineare (Un-)Abhängigkeit, dann hast du die Dimension von [mm] $Bild(\phi)$, [/mm] eine Basis kannst du dann entsprechend der Dimension aus den Spaltenvektoren auswählen ...
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> Basis und Dimension sagen mir hier überhaupt nichts, hab
> schon in einigen Büchern nachgeschlagen, aber verstanden
> hab ich es leider nciht!
Wie ist es denn in der VL definiert worden? Ihr bekommt ja sicherlich solche Aufgaben nicht ohne dass es dazu vorher eine Definition gegeben hätte ...
kurz: eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem eines Vektorraumes bzw. eine maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren (, die den VR erzeugen)
Die Dimension eines VR ist die Anzahl seiner Basisvektoren
Wichtig ist auch die Dimensionsformel: für eine lineare Abb. [mm] $f:V\to [/mm] W$ mit $dim(V)=n, dim(W)=m$ gilt:
$dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))$
Hier also [mm] $dim(\IR^3)=3=dim(Kern(\phi))+dim(Bild(\phi))$
[/mm]
Du kannst also, wenn du zB zuerst das Bild von [mm] $\phi$ [/mm] und dessen Dimension und Basis ausrechnset, sofort auf die Dimension des Kernes von [mm] $\phi$ [/mm] schließen und kontrollieren, ob dein Ergebnis für den Kern stimmt ...
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> Ich bedanke mich shconmal im voraus für eure Hilfe :)
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> Liebe Grüße
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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erstmal ersetzte ich die [mm] x_{1} [/mm] u.s.w. durch a,..,c
[mm] x_{1} [/mm] = a
[mm] x_{2} [/mm] = b
[mm] x_{2} [/mm] = c
dann habe ich folgende Gleichung:
a + 2*b - c =0
b + c =0
a + b - 2*c =0 | 3. Gleichung plus (-)*1.Gleichung
a + 2*b - c =0
b+c=0
-b - c =0 |3.Gleichung plus 2. Gleichung
a + 2*b -c = 0
b+c = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] b = -c [mm] \vee [/mm] c = -b
[mm] \Rightarrow [/mm] a = -3*b [mm] \vee [/mm] a = 3*c
so nun habe ich Linearkombinationen gefunden, aber nun weiss ich wieder nicht weiter, weil ich noch nciht ganz genau die Begriffe Kern und BIld verstanden habe,
Wie bekomme ich jetzt den Kern bzw das Bild heraus, damit ich die Dimension durch die Gleichung:
dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))
löse?
Ganz liebe Grüße!!!
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Hallo nochmal,
> erstmal ersetzte ich die [mm]x_{1}[/mm] u.s.w. durch a,..,c
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> [mm]x_{1}[/mm] = a
> [mm]x_{2}[/mm] = b
> [mm]x_{2}[/mm] = c
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> dann habe ich folgende Gleichung:
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> a + 2*b - c =0
> b + c =0
> a + b - 2*c =0 | 3. Gleichung plus (-)*1.Gleichung
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> a + 2*b - c =0
> b+c=0
> -b - c =0 |3.Gleichung plus 2. Gleichung
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> a + 2*b -c = 0
> b+c = 0
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> [mm]\Rightarrow[/mm] b = -c [mm]\vee[/mm] c = -b
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> [mm]\Rightarrow[/mm] a = -3*b [mm]\vee[/mm] a = 3*c
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> so nun habe ich Linearkombinationen gefunden, aber nun
> weiss ich wieder nicht weiter,
Es gilt ja [mm] $dim(Bild(\phi))=Rang(A)$, [/mm] $A$ Darstellungsmatrix von [mm] $\phi$
[/mm]
Nach deiner Rechnung sind die drei Spaltenvektoren aus der obigen Matrix A also linear abhängig, das [mm] $Bild(\phi)$ [/mm] ist also von Dimension <3 (es wird ja höchstens von zweien der drei Spaltenvektoren von A erzeugt)
Nun schmeiße eine Spalte weg und schaue, ob die restlichen 2 Spaltenvektoren linear unabhängig sind - das werden sie sein, das [mm] $Bild(\phi)$ [/mm] ist also 2-dimensionaler UR der [mm] $\IR^3$, [/mm] als Basis nimm 2 linear unabh. Spaltenvektoren von A
Damit weißt du, dass nach der Dimensionsformel oben der [mm] $Kern(\phi)$ [/mm] die Dimension 1 haben muss, also rechne mal die Lösungsmenge der Gleichung für den Kern aus, die ich ganz oben hingeschrieben habe.
Die sollte dann nach der Dimensionsformel 1-dimensional sein, eine Basis ist genau diese Lösungsmenge
> weil ich noch nciht ganz
> genau die Begriffe Kern und BIld verstanden habe,
>
> Wie bekomme ich jetzt den Kern bzw das Bild heraus, damit
> ich die Dimension durch die Gleichung:
Das dient nur zur Kontrolle, aus [mm] $dim(\IR^3)=3$ [/mm] und [mm] $dim(Bild(\phi))=2$ [/mm] folgt direkt [mm] $dim(Kern(\phi))=1$
[/mm]
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> dim(V)=dim(Kern(f))+dim(Bild(f))
>
> löse?
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> Ganz liebe Grüße!!!
Danke, und Gruß zurück 
schachuzipus
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erstmal VIELEN dank für deine Hilfe, ich weiss das echt zu schätzen :)!
also, wenn ich eine spalte weglasse dann habe ich:
a -c =0
c= 0
ist das so richtig?
die wären linear unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] Dimension = 2
da ich ja für a = 3c und b = -c erhalte ich 1, -1 und 3 kann ich damit etwas anfangen?
leider weiss ich gar nicht wie ich das mit dem Kern anstellen soll!
Liebe Grüße!
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Hallo nochmal,
> erstmal VIELEN dank für deine Hilfe, ich weiss das echt zu
> schätzen :)!
>
>
> also, wenn ich eine spalte weglasse dann habe ich:
welche Spalte? ich erahne, dass es die mittlere ist, schreibe es schöner in Matrixdarstellung, die wirst du noch sehr oft benötigen, also ist dies eine gute Möglichkeit, das einzuüben
>
>
> a -c =0
>
> c= 0
und a-2c=0
Ja, daraus folgt a=c=0 und die beiden ersten Spaltenvektoren der Matrix A, die ich oben hingeschrieben habe, sind linear unabhängig, denn die LK [mm] $a\cdot{}\vektor{1\\0\\1}+c\cdot{}\vektor{-1\\1\\-2}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] ist nur für a=c=0 erfüllbar
> ist das so richtig?
>
> die wären linear unabhängig [mm]\Rightarrow[/mm] Dimension = 2
Ganz genau, als Basis von [mm] $Bild(\phi))$ [/mm] kannst du also diese Spaltenvektoren von A nehmen, also [mm] $Bild(\phi)=\left\langle\vektor{1\\0\\1},\vektor{-1\\1\\-2}\right\rangle$
[/mm]
[mm] $\langle, \rangle$ [/mm] ist der Spann der beiden Vektoren, also die Menge alles LKen der beiden Vektoren
>
>
> da ich ja für a = 3c und b = -c erhalte ich 1, -1 und 3
> kann ich damit etwas anfangen?
>
> leider weiss ich gar nicht wie ich das mit dem Kern
> anstellen soll!
Warum nicht? Ich habe es doch oben genauestens hingeschrieben.
Ich wiederhole: der [mm] $Kern(\phi))$ [/mm] ist die Menge alles Vektoren aus dem [mm] $\IR^3$ [/mm] (Urbildraum), die durch [mm] $\phi$ [/mm] auf den Nullvektor im Bildraum, also im [mm] $\IR^3$ [/mm] abgebildet werden
Zu lösen ist also die Gleichung [mm] $\phi\left(\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\right)=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Also [mm] $\vektor{x_1+2x_2-x_3\\x_2+x_3\\x_1+x_2-2x_3}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
Die Lösungsmenge dieses LGS beschreibt den [mm] $Kern(\phi)$
[/mm]
Am übersichtlichsten rechnest du es mit der Abbildungsmatrix A und bringst
[mm] $A=\pmat{1&2&-1\\0&1&1\\1&1&-2}$ [/mm] mal in Zeilenstufenform, dann kannst du die Lösung "ablesen" bzw. leicht ausrechnen ...
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> Liebe Grüße!
LG
schachuzipus
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