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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Kern/Bild Größe
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Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Fr 14.09.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Ein Lemma der Vorlesung:
Sei [mm] \phi: [/mm] V-> V linear , dim(V)=n
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \{0,..,n\} [/mm] sodass [mm] ker(\phi^N) [/mm] = [mm] ker(\phi^{N+1}) [/mm]
Es gilt dann auch k [mm] \in\IN [/mm]
[mm] ker(\phi^N)=ker(\phi^{N+k}) [/mm]
[mm] img(\phi^N)=img(\phi^{N+k}) [/mm]
V= ker [mm] (\phi^N) \oplus img(\phi^N) [/mm]



Hallo
Wir haben in der Vorlesung das Lemma bewiesen. Nun sind mir aber paar Schritte nicht klar, die wir da verwendet haben.

1)
Wieso gilt [mm] ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k}) [/mm] ?


2)
Wieso gilt [mm] img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^N)? [/mm]

Also warum werden die Kerne immer größer und die Bilder immer kleiner?

P.S.:
Ich hätte noch eine Frage di da nicht so ganz dazupasst.
Ich stelle sie maL: Wenn zwei matrizen selbe Spektren(also selbe Eigenwerte haben) folgt dann daraus das die Matrizen ähnlich sind?
liebe grüße

        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Fr 14.09.2012
Autor: angela.h.b.


> Ein Lemma der Vorlesung:
>  Sei [mm]\phi:[/mm] V-> V linear , dim(V)=n

>  [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \{0,..,n\}[/mm] sodass [mm]ker(\phi^N)[/mm] =
> [mm]ker(\phi^{N+1})[/mm]
>  Es gilt dann auch k [mm]\in\IN[/mm]
>  [mm]ker(\phi^N)=ker(\phi^{N+k})[/mm]
>  [mm]img(\phi^N)=img(\phi^{N+k})[/mm]
>  V= ker [mm](\phi^N) \oplus img(\phi^N)[/mm]
>  
>
> Hallo
>  Wir haben in der Vorlesung das Lemma bewiesen. Nun sind
> mir aber paar Schritte nicht klar, die wir da verwendet
> haben.
>  
> 1)
>  Wieso gilt [mm]ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k})[/mm] ?
>  
>
> 2)
>  Wieso gilt [mm]img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^N)?[/mm]
>  
> Also warum werden die Kerne immer größer und die Bilder
> immer kleiner?

Hallo,

der Grund wird Dir klar werden, wenn Du einen Beweis versuchst.

Also, leg mal los!

Sei [mm] x\in$ker(\phi^N) [/mm] .
Was bedeutet das?
Und was mußt Du nun zeigen, wenn Du zeigen willst, daß x auch in $ [mm] ker(\phi^{N+k})$ [/mm] ist?

Die Aussage mit dem Bild geht so ähnlich.


>  
> P.S.:
>  Ich hätte noch eine Frage di da nicht so ganz dazupasst.
>  Ich stelle sie maL: Wenn zwei matrizen selbe Spektren(also
> selbe Eigenwerte haben) folgt dann daraus das die Matrizen
> ähnlich sind?

Nein.

LG Angela

>  liebe grüße


Bezug
                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 So 16.09.2012
Autor: sissile

Hallo,
ZZ.: [mm] ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k}) [/mm]

Sei x [mm] \in ker(\phi^N) [/mm] dh. [mm] \phi^N [/mm] (x) =0
ZuZeigen: x [mm] \in ker(\phi^{N+k}) [/mm]
Beweisführung: [mm] \phi^{N+k} [/mm] (x) = [mm] \phi^{k+N} [/mm] (x) = [mm] \phi^k \circ \phi^N [/mm] (x) = [mm] \phi^k [/mm] ( [mm] \phi^N(x))= \phi^k [/mm] (0) = [mm] \phi \circ... \circ \phi [/mm] (0)
wegen Linearität =0


[mm] ZZ.:img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^{N}) [/mm]

Seit t [mm] \in img(\phi^{N+k}) [/mm] so [mm] \exists [/mm] l sodass t = [mm] \phi^{N+k} [/mm] (l)
ZuZeigen: t [mm] \in [/mm] img [mm] (\phi^N) [/mm]
Beweisfrührung: t = [mm] \phi^{N+k} [/mm] (l)= [mm] \phi^N [/mm] ( [mm] \phi^k [/mm] (l))
Bezeichne [mm] \phi^k [/mm] (l) = u
[mm] \phi^N [/mm] ( [mm] \phi^k [/mm]  (l )) = [mm] \phi^N(u [/mm] )
-> t [mm] \in [/mm] img [mm] (\phi^N) [/mm] im ARgument [mm] \phi^k [/mm]  ( l ) = u

Frage 1) Passt das?
Frage 2) Noch eine andere Frage, wieso gilt: [mm] \phi(img(\phi^{N})= img(\phi^{N+1}) [/mm]
Also wieso darf man bild und [mm] \phi [/mm] vertauschen??

LG

Bezug
                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 So 16.09.2012
Autor: fred97


> Hallo,
>  ZZ.: [mm]ker(\phi^N) \subseteq ker(\phi^{N+k})[/mm]
>  
> Sei x [mm]\in ker(\phi^N)[/mm] dh. [mm]\phi^N[/mm] (x) =0
>  ZuZeigen: x [mm]\in ker(\phi^{N+k})[/mm]
>  Beweisführung:
> [mm]\phi^{N+k}[/mm] (x) = [mm]\phi^{k+N}[/mm] (x) = [mm]\phi^k \circ \phi^N[/mm] (x) =
> [mm]\phi^k[/mm] ( [mm]\phi^N(x))= \phi^k[/mm] (0) = [mm]\phi \circ... \circ \phi[/mm]
> (0)
>  wegen Linearität =0
>  
>
> [mm]ZZ.:img(\phi^{N+k}) \subseteq img(\phi^{N})[/mm]
>  
> Seit t [mm]\in img(\phi^{N+k})[/mm] so [mm]\exists[/mm] l sodass t =
> [mm]\phi^{N+k}[/mm] (l)
>  ZuZeigen: t [mm]\in[/mm] img [mm](\phi^N)[/mm]
>  Beweisfrührung: t = [mm]\phi^{N+k}[/mm] (l)= [mm]\phi^N[/mm] ( [mm]\phi^k[/mm] (l))
> Bezeichne [mm]\phi^k[/mm] (l) = u
>  [mm]\phi^N[/mm] ( [mm]\phi^k[/mm]  (l )) = [mm]\phi^N(u[/mm] )
>  -> t [mm]\in[/mm] img [mm](\phi^N)[/mm] im ARgument [mm]\phi^k[/mm]  ( l ) = u

>  
> Frage 1) Passt das?

Ja


>  Frage 2) Noch eine andere Frage, wieso gilt:
> [mm]\phi(img(\phi^{N})= img(\phi^{N+1})[/mm]
>  Also wieso darf man
> bild und [mm]\phi[/mm] vertauschen??

Da kann ich nur wie Angela antworten:

der Grund wird Dir klar werden, wenn Du einen Beweis versuchst.

FRED

>  
> LG


Bezug
                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 So 16.09.2012
Autor: sissile

Hallo,danke
Ich habs vorhin paarmal versucht, habs aber nicht hinbekommen.

$ [mm] \phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1}) [/mm] $

Sei [mm] x\in img(\phi^{N+1}) [/mm]  dh. [mm] \exists [/mm] t sodass x= [mm] \phi^{N+1}(t) [/mm]
Zuzeigen x [mm] \in \phi((img(\phi^{N}) [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in img(\phi^{N}) [/mm] sodass [mm] \phi((img(\phi^{N}))(k))=x [/mm]
Beweisführung: ?

Liebe Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 16.09.2012
Autor: fred97


> Hallo,danke
>  Ich habs vorhin paarmal versucht, habs aber nicht
> hinbekommen.
>  
> [mm]\phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1})[/mm]
>
> Sei [mm]x\in img(\phi^{N+1})[/mm]  dh. [mm]\exists[/mm] t sodass x=
> [mm]\phi^{N+1}(t)[/mm]
>  Zuzeigen x [mm]\in \phi((img(\phi^{N})[/mm] d.h. [mm]\exists[/mm] k [mm]\in img(\phi^{N})[/mm]
> sodass [mm]\phi((img(\phi^{N}))(k))=x[/mm]
>  Beweisführung: ?

[mm] x=\phi(\phi^N(t)) [/mm]

FRED

>  
> Liebe Grüße


Bezug
                                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 So 16.09.2012
Autor: sissile

Hallo, achso jetzt fallts mir wie schuppen von den augen!!

> $ [mm] \phi(img(\phi^{N}))= img(\phi^{N+1}) [/mm] $

>

> Sei $ [mm] x\in img(\phi^{N+1}) [/mm] $  dh. $ [mm] \exists [/mm] $ t sodass x=
> $ [mm] \phi^{N+1}(t) [/mm] $
>  Zuzeigen x $ [mm] \in \phi((img(\phi^{N}) [/mm] $ d.h. $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in img(\phi^{N}) [/mm] $
> sodass $ [mm] \phi((img(\phi^{N}))(k))=x [/mm] $
>  Beweisführung: ?

> $ [mm] x=\phi(\phi^N(t)) [/mm] $

Beweisführung:

> $ [mm] x=\phi(\phi^N(t)) [/mm]

= [mm] \phi(img(\phi^N) [/mm]

Andersrum genauso.

Jetzt noch eine Frage ;P
Zeige: [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1}) [/mm]

Sei x [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] d.h. [mm] \phi^{N-1}(x)=0 [/mm]
ZuZeigen: x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm]
[mm] 0=\phi^{N-1} (x)=\phi^{-1} (\phi^N [/mm] (x))
d.h. [mm] \phi^N [/mm] (x)  ist  [mm] \in ker(\phi^{-1})=ker(\phi) [/mm] laut Lemma
?

Liebe grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Mo 17.09.2012
Autor: hippias


> Jetzt noch eine Frage ;P
>  Zeige: [mm]\phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]
>  
> Sei x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}(x)=0[/mm]
>  ZuZeigen: x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm]

Nein, das waere der Ansatz fuer den Beweis von [mm] $ker(\phi^{N-1}) \subseteq \phi(ker(\phi^N))$. [/mm] Beginne also mit einem [mm] $x\in \phi(ker(\phi^N))$ [/mm] und erschliesse [mm] $x\in ker(\phi^{N-1})$. [/mm]

>  [mm]0=\phi^{N-1} (x)=\phi^{-1} (\phi^N[/mm]
> (x))
>  d.h. [mm]\phi^N[/mm] (x)  ist  [mm]\in ker(\phi^{-1})=ker(\phi)[/mm] laut
> Lemma
>  ?
>  
> Liebe grüße


Bezug
                                                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 Mo 17.09.2012
Autor: sissile

hi,Ich pack es leider nicht

ZuZeigen:$ [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1}) [/mm] $

Sei x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] <=> x [mm] \in img_{\phi}(ker(\phi^N)) [/mm]
ZZ: x [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] d.h. [mm] \phi^{N-1} [/mm] (x) =0

Liebe Grüße

Bezug
                                                                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Di 18.09.2012
Autor: hippias


> hi,Ich pack es leider nicht
>  
> ZuZeigen:[mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]
>
> Sei x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm] <=> x [mm]\in img_{\phi}(ker(\phi^N))[/mm]
>  
> ZZ: x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) =0
>  
> Liebe Grüße

Wenn also $x [mm] \in \phi(ker(\phi^N))$ [/mm] dann existiert [mm] $y\in ker(\phi^N)$ [/mm] mit $x= [mm] y\phi$. [/mm] Es folgt [mm] $x\phi^{N-1}= [/mm] ...$ versuche Du es weiter.


Bezug
                                                                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Di 18.09.2012
Autor: sissile

Hallo,
Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht.

> Wenn also $ x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ dann existiert $ [mm] y\in ker(\phi^N) [/mm] $ mit $ x= [mm] y\phi [/mm] $.

Ich hab gedacht:
Wenn  $ x [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ dann existiert $ [mm] y\in ker(\phi^N) [/mm] $ mit $ x= [mm] \phi(y) [/mm] $.
???

Liebe Grüße

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Di 18.09.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
>  Ich verstehe deinen Ansatz leider nicht.
>  > Wenn also [mm]x \in \phi(ker(\phi^N))[/mm] dann existiert [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]

> mit [mm]x= y\phi [/mm].
>  Ich hab gedacht:
>  Wenn  [mm]x \in \phi(ker(\phi^N))[/mm] dann existiert [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]
> mit [mm]x= \phi(y) [/mm].
>  ???

Hallo,

ja, da denkst Du völlig richtig.
hippias sagt dasselbe, verwendet lediglich eine andere Notation.

LG Angela

>  
> Liebe Grüße


Bezug
                                                                                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Di 18.09.2012
Autor: sissile

Ah okay ;)
> ZuZeigen:$ [mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1}) [/mm] $

Sei x $ [mm] \in \phi(ker(\phi^N)) [/mm] $ <=> [mm] \exists$ y\in ker(\phi^N) [/mm] $
mit $ x= [mm] \phi(y) [/mm] $.
  
ZZ: x $ [mm] \in ker(\phi^{N-1}) [/mm] $ d.h. $ [mm] \phi^{N-1} [/mm] $ (x) =0
[mm] \phi^{N-1} [/mm] (x) = [mm] \phi^{N-1} (\phi(y)) [/mm] = [mm] \phi^N [/mm] (y) =0

Denke es passt,liebe Grüße

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Kern/Bild Größe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Di 18.09.2012
Autor: fred97


> Ah okay ;)
>  > ZuZeigen:[mm] \phi(ker(\phi^N)) \subseteq ker(\phi^{N-1})[/mm]

>  
> Sei x [mm]\in \phi(ker(\phi^N))[/mm] <=> [mm]\exists[/mm] [mm]y\in ker(\phi^N)[/mm]
>  
> mit [mm]x= \phi(y) [/mm].
>
> ZZ: x [mm]\in ker(\phi^{N-1})[/mm] d.h. [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) =0
> [mm]\phi^{N-1}[/mm] (x) = [mm]\phi^{N-1} (\phi(y))[/mm] = [mm]\phi^N[/mm] (y) =0
>  
> Denke es passt,liebe Grüße

Es passt.

FRED


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Kern/Bild Größe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:30 Di 18.09.2012
Autor: sissile

danke, für alle die mir geholfen haben ;)

Liebe Grüße

Bezug
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