Kern/Homom. v. Permutationen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Sei f ein Autom. von [mm] S_{n}. [/mm] Zu zeigen: [mm] f(\sigma) \in A_{n} [/mm] gilt für alle [mm] \sigma \in A_{n}.
[/mm]
b) Es folgt aus a), dass [mm] \Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{n} [/mm] (f eingeschränkt auf [mm] A_{n}) [/mm] ein wohldef. Gruppenhomom. ist. Bestimme für alle n [mm] \in \IN [/mm] den Kern dieser Abbildung. |
Hallo,
bei der Aufgabe bin ich so vorgegangen, hänge aber an einigen Stellen.
a) Zu zeigen ist: [mm] f(\sigma) \in A_{n} [/mm] gilt für alle [mm] \sigma \in A_{n}.
[/mm]
Da [mm] \sigma \in A_{n} [/mm] ist, gilt sign [mm] (\sigma) [/mm] = +1.
Weiter gitl: [mm] A_{n} \subset S_{n} [/mm] ist eine Untergruppe und Normalteiler in [mm] S_{n}, [/mm] also gilt doch, dass kern (f) = { [mm] \sigma \in S_{n} [/mm] | [mm] f(\sigma)= [/mm] id}= [mm] A_{n}. [/mm] Stimmt das so? Denn es gilt ja, dass jeder Normalteiler eines Gruppenhomom. der Kern dieser Abbildung ist.
Da f ein Automorphismus ist, also insb. bijektiv, gilt doch auch, dass [mm] f(\sigma) \in A_{n}, [/mm] weil [mm] \sigma \in A_{n}. [/mm] Oder kann man das nicht so begründen?
Dann folgt ja, dass [mm] sign(f(\sigma))= [/mm] +1.
b) Gegeben ist die Abbildung: [mm] \Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{n}
[/mm]
Ich habe nun einfach mit n=1,2,3 das ausprobiert:
n=1: [mm] \Gamma_{1}: Aut(S_{1}) \to Aut(A_{1}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{1}. [/mm] Dann lautet der [mm] Kern(\Gamma_{1}) [/mm] = { [mm] \sigma \in S_{1}=(1) [/mm] | [mm] \Gamma_{1}(1)=id [/mm] } = {id} Richtig so?
n =2: [mm] \Gamma_{2}: Aut(S_{2}) \to Aut(A_{2}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{2}. [/mm] Dann lautet der [mm] Kern(\Gamma_{2})= [/mm] { [mm] \sigma \in S_{2}={id,(12)} [/mm] | [mm] \Gamma_{2}(\sigma)= [/mm] id } = ?
Kann mir da jemand weiterhelfen? Ich weiß nur, dass wenn (12) [mm] \circ [/mm] (12) = id ist. Wie gibt man in so einem Fall den Kern an?
n=3: [mm] \Gamma_{3}: Aut(S_{3}) \to Aut(A_{3}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{3}. [/mm] Dann lautet der [mm] Kern(\Gamma_{3})= [/mm] { [mm] \sigma \in S_{3}={id,(12),(23),(13),(123),(132)} [/mm] | [mm] \Gamma_{3}(\sigma)= [/mm] id} = ?
Hier hab ich das gleiche Problem.
Und wie zeige ich das nun für allgemeine n?
Vielen Dank für die Hilfe!
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Mi 06.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> (b)
> [...]
> Und wie zeige ich das nun für allgemeine n?
Nur ganz kurz: fuer $n [mm] \ge [/mm] 4$ schau dir doch mal die Aufgabe von letztens an, die hilft dir da enorm weiter :)
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für deinen Hinweis. Ich hab mir schon gedacht, dass die beiden Aufgaben irgendwie zusammenhängen müssen. 
Stimmt die Teilaufgabe a), so wie ich die gemacht habe?
Dann habe ich die b) nochmal versucht:
Stimmt bei n= 1 [mm] kern(\Gamma_{1}) [/mm] = (1) ?
Bei n=2 und n= 3 bin ich mir nach wie vor unsicher. Da habe ich meinen Lösungsansatz im letzten Beitrag gepostet. Wie komme ich auf den Kern?
Für n [mm] \ge [/mm] 4 habe ich mir die aufgabe von letztens angeschaut, und da stand, dass für n [mm] \ge [/mm] 4, f die Identität auf ganz [mm] S_{n} [/mm] ist. Also ist der [mm] kern(\Gamma_{n}) [/mm] = [mm] Aut(S_{n}) [/mm] oder? Also alle bijektiven Abb. von [mm] S_{n} \to S_{n}
[/mm]
Aber ich versteh die Abb. [mm] \Gamma_{n} [/mm] nicht so genau, was macht die genau?
Danke für die Hilfe,
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Stimmt die Teilaufgabe a), so wie ich die gemacht habe?
> Dann habe ich die b) nochmal versucht:
> Stimmt bei n= 1 [mm]kern(\Gamma_{1})[/mm] = (1) ?
Der Kern ist [mm] $\{ id \}$.
[/mm]
> Für n [mm]\ge[/mm] 4 habe ich mir die aufgabe von letztens
> angeschaut, und da stand, dass für n [mm]\ge[/mm] 4, f die Identität
> auf ganz [mm]S_{n}[/mm] ist. Also ist der [mm]kern(\Gamma_{n})[/mm] =
> [mm]Aut(S_{n})[/mm] oder?
Nein: der Kern ist damit gerade [mm] $\{ id \}$.
[/mm]
> Aber ich versteh die Abb. [mm]\Gamma_{n}[/mm] nicht so genau, was
> macht die genau?
Sie nimmt einen Automorphismus von [mm] $S_n$, [/mm] also eine bijektive Abbildung $f : [mm] S_n \to S_n$, [/mm] und schraenkt sie auf [mm] $A_n$ [/mm] ein, also liefert eine bijektive Abbildung [mm] $f|_{A_n} [/mm] : [mm] A_n \to A_n$ [/mm] (die nach Teil (a) wohldefiniert ist).
Der Kern von [mm] $\Gamma_n$ [/mm] beschreibt dir jetzt, wieviel Informationen durch diese Einschraenkung verloren gehen: Wenn der Kern nur aus der Identitaet besteht, heisst das, dass nichts verloren geht.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Sa 09.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> a) Sei f ein Autom. von [mm]S_{n}.[/mm] Zu zeigen: [mm]f(\sigma) \in A_{n}[/mm]
> gilt für alle [mm]\sigma \in A_{n}.[/mm]
> b) Es folgt aus a), dass
> [mm]\Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}),[/mm] f [mm]\mapsto f|A_{n}[/mm] (f
> eingeschränkt auf [mm]A_{n})[/mm] ein wohldef. Gruppenhomom. ist.
> Bestimme für alle n [mm]\in \IN[/mm] den Kern dieser Abbildung.
> Hallo,
> bei der Aufgabe bin ich so vorgegangen, hänge aber an
> einigen Stellen.
> a) Zu zeigen ist: [mm]f(\sigma) \in A_{n}[/mm] gilt für alle [mm]\sigma \in A_{n}.[/mm]
>
> Da [mm]\sigma \in A_{n}[/mm] ist, gilt sign [mm](\sigma)[/mm] = +1.
> Weiter gitl: [mm]A_{n} \subset S_{n}[/mm] ist eine Untergruppe und
> Normalteiler in [mm]S_{n},[/mm]
Soweit korrekt.
> also gilt doch, dass $kern (f) = [mm] \{ \sigma \in S_{n} | f(\sigma)= id}= A_{n}.$ [/mm] Stimmt das so?
Nein, das stimmt nicht. Warum sollte das so sein? Mal ganz davon abgesehen, dass $f$ ein Automorphismus von [mm] $S_n$ [/mm] ist, also insbesondere injektiv ist und somit einen trivialen Kern hat.
> Denn es gilt ja, dass jeder Normalteiler eines
> Gruppenhomom. der Kern dieser Abbildung ist.
Was soll der Normalteiler eines Gruppenhomomorphismus sein? Du meinst: jeder Normalteiler ist Kern irgendeines Gruppenhomomorphismus.
> b) Gegeben ist die Abbildung: [mm]\Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}),[/mm]
> f [mm]\mapsto f|A_{n}[/mm]
> Ich habe nun einfach mit n=1,2,3 das
> ausprobiert:
> n=1: [mm]\Gamma_{1}: Aut(S_{1}) \to Aut(A_{1}),[/mm] f [mm]\mapsto f|A_{1}.[/mm]
> Dann lautet der [mm]Kern(\Gamma_{1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\sigma \in S_{1}=(1)[/mm] |
> [mm]\Gamma_{1}(1)=id[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} = {id} Richtig so?
Vorsicht, du verwechselst Elemente aus $S_1$ mit Automorphismen von $S_1$!
Das Resultat ist jedoch richtig (nur nicht das zwischen den Gleichheitszeichen).
(Hier bestehen alle auftretenden Gruppen ja genau aus einem Element, es muss also sowieso so sein da eine Untergruppe mindestens ein Element umfassen muss.)
> n =2:
Hier ist $S_2 \cong \IZ/2\IZ$ und $A_2 = \{ id \}$. Da $Aut(\IZ/2\IZ) = \{ id \}$ ist, umfasst $Aut(S_2)$ also auch nur ein Element, womit der Kern auch wieder nur aus diesem besteht.
> n=3: [mm]\Gamma_{3}: Aut(S_{3}) \to Aut(A_{3}),[/mm] f [mm]\mapsto f|A_{3}.[/mm]
> Dann lautet der [mm]Kern(\Gamma_{3})=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\sigma \in S_{3}={id,(12),(23),(13),(123),(132)}[/mm]
> | [mm]\Gamma_{3}(\sigma)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
id} = ?
> Hier hab ich das gleiche Problem.
Auch hier verwechselst du wieder $S_3$ mit $Aut(S_3)$.
Sei $\sigma : S_3 \to S_3$ ein Automorphismus mit $\sigma|_{A_3} = id_{A_3}$, also mit $\sigma((1 2 3)) = (1 2 3)$ und mit $\sigma((1 3 2)) = (1 3 2)$. Du kannst also hoechstens noch die drei Transpositionen $(1 2)$, $(1 3)$ und $(2 3)$ untereinander permutieren. Ueberleg dir mal, welche dieser sechs moeglichen Abbildungsvorschriften $S_3 \to S_3$, die sich ergeben, Gruppenhomomorphismen sein koennen.
LG Felix
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Hallo Felix,
ich hab die Aufgabe jetzt nochmal ausgearbeitet mithilfe von deiner Antwort.
Zur a)
Z.z: [mm] f(\sigma) \in A_{n} \forall \sigma \in A_{n}
[/mm]
Sei [mm] \sigma \in A_{n}, [/mm] also [mm] sign(\sigma) [/mm] = 1.
Da f eine bijektive Abbildung ist und die Ordnung einer Permutation erhält, folgt [mm] f(\sigma) \in A_{n}.
[/mm]
Stimmt das so?
Zur b):
[mm] \Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}), [/mm] f [mm] \mapsto f|A_{n}
[/mm]
Sieht der [mm] Kern(\Gamma_{n}) [/mm] allgemein so aus?
[mm] Kern(\Gamma_{n}) [/mm] = {f [mm] \in Aut(S_{n}) [/mm] | [mm] \Gamma_{n}(f) [/mm] = f [mm] |A_{n} [/mm] = id } ?
n=1:
[mm] Kern(\Gamma_{1}) [/mm] = { f [mm] \in Aut(S_{1}) [/mm] | [mm] \Gamma_{1}(f) [/mm] = [mm] f|A_{1} [/mm] = id} = {id}
Stimmt die Schreibweise jetzt?
Hierzu hätte ich noch ein Problem und zwar, wieviele Elemente hat [mm] A_{1} [/mm] eigentlich, allgemein gilt ja [mm] |A_{n}| [/mm] = n! / 2. Dann wäre [mm] |A_{1}| [/mm] = 1/2??
[mm] A_{1} [/mm] ist ja auch eine Untergruppe von [mm] S_{1}, [/mm] hat also mind. das neutrale Element oder?
n= 2:
Wie kommt man darauf, dass [mm] Aut(\IZ [/mm] / 2) = {id} ist?
Ich hab mir folgendes dazu überlegt:
Ein Element aus [mm] Aut(\IZ [/mm] / 2) wäre eine Abb. f: [mm] \IZ [/mm] / 2 [mm] \to \IZ [/mm] / 2, die ein bijektiver Homom. ist.
Das neutrale Element wird auf das neutrale Element abgebildet, also [mm] \overline{1} \mapsto \overline{1}, [/mm] also kann nur [mm] \overline{0} \mapsto \overline{0} [/mm] sein.
Folgt daraus, dass [mm] Aut(\IZ [/mm] / 2) = {id}?
n=3:
> Sei [mm]\sigma : S_3 \to S_3[/mm] ein Automorphismus mit
> [mm]\sigma|_{A_3} = id_{A_3}[/mm], also mit [mm]\sigma((1 2 3)) = (1 2 3)[/mm]
> und mit [mm]\sigma((1 3 2)) = (1 3 2)[/mm]. Du kannst also
> hoechstens noch die drei Transpositionen [mm](1 2)[/mm], [mm](1 3)[/mm] und
> [mm](2 3)[/mm] untereinander permutieren. Ueberleg dir mal, welche
> dieser sechs moeglichen Abbildungsvorschriften [mm]S_3 \to S_3[/mm],
> die sich ergeben, Gruppenhomomorphismen sein koennen.
Ich versteh nicht, warum [mm] \sigma((1 [/mm] 2 3)) = (1 2 3) und [mm] \sigma((1 [/mm] 3 2)) = (1 3 2) gilt. Sind es die einzigen 3-Zykel, die in [mm] S_{3} [/mm] existieren?
Waraum gibt es z.B. nicht den 3-Zykel (231) oder (312)?
Dann soll ich schauen, wie die 3 Transpositionen untereinander permutieren. Ich komm da irgendwie auf mehr als 6 Möglichkeiten:
[mm] \sigma((12)) [/mm] = (12)
[mm] \sigma((12)) [/mm] = (13)
[mm] \sigma((12)) [/mm] = (23)
[mm] \sigma((13)) [/mm] = (13)
[mm] \sigma((13)) [/mm] = (12)
[mm] \sigma((13)) [/mm] = (23)
[mm] \sigma((23)) [/mm] = (23)
[mm] \sigma((23)) [/mm] = (13)
[mm] \sigma((23)) [/mm] = (12)
Wo liegt mein Denkfehler? Dann ist mir das auch noch nicht so klar, wie ich zeigen soll, welche Gruppenhomom. sind. Muss ich da 2 von den 3 Transpositionen miteinander verknüpfen? Ich weiß nicht genau, wie ich da anfangen soll. Vielleicht könntest du mir da einen kleinen Tipp geben, wie ich da ansetzen soll. Das wäre sehr nett...
n [mm] \ge [/mm] 4:
[mm] Kern(\Gamma_{n}) [/mm] = {f [mm] \in Aut(S_{n}) [/mm] | [mm] \Gamma_{n}(f) [/mm] = f [mm] |A_{n} [/mm] = id } = {id}, da [mm] f(\sigma) [/mm] = [mm] \sigma \forall \sigma \in A_{n}.
[/mm]
Stimmt das so?
Danke für deine Hilfe!!!
Lg, Milka
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> Hallo Felix,
> ich hab die Aufgabe jetzt nochmal ausgearbeitet mithilfe
> von deiner Antwort.
> Zur a)
> Z.z: [mm]f(\sigma) \in A_{n} \forall \sigma \in A_{n}[/mm]
>
> Sei [mm]\sigma \in A_{n},[/mm] also [mm]sign(\sigma)[/mm] = 1.
> Da f eine bijektive Abbildung ist und die Ordnung einer
> Permutation erhält, folgt [mm]f(\sigma) \in A_{n}.[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
>
> Zur b):
> [mm]\Gamma_{n}: Aut(S_{n}) \to Aut(A_{n}),[/mm] f [mm]\mapsto f|A_{n}[/mm]
>
> Sieht der [mm]Kern(\Gamma_{n})[/mm] allgemein so aus?
> [mm]Kern(\Gamma_{n})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in Aut(S_{n})[/mm] | [mm]\Gamma_{n}(f)[/mm] = f
> [mm]|A_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= id } ?
>
> n=1:
> [mm]Kern(\Gamma_{1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { f [mm]\in Aut(S_{1})[/mm] | [mm]\Gamma_{1}(f)[/mm] =
> [mm]f|A_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= id} = {id}
>
> Stimmt die Schreibweise jetzt?
>
> Hierzu hätte ich noch ein Problem und zwar, wieviele
> Elemente hat [mm]A_{1}[/mm] eigentlich, allgemein gilt ja [mm]|A_{n}|[/mm] =
> n! / 2. Dann wäre [mm]|A_{1}|[/mm] = 1/2??
> [mm]A_{1}[/mm] ist ja auch eine Untergruppe von [mm]S_{1},[/mm] hat also
> mind. das neutrale Element oder?
>
Hier gilt die Formel nicht. [mm]A_1 = S_1[/mm] und deswegen [mm]|A_1|=1[/mm]
> n= 2:
> Wie kommt man darauf, dass [mm]Aut(\IZ[/mm] / 2) = {id} ist?
> Ich hab mir folgendes dazu überlegt:
> Ein Element aus [mm]Aut(\IZ[/mm] / 2) wäre eine Abb. f: [mm]\IZ[/mm] / 2 [mm]\to \IZ[/mm]
> / 2, die ein bijektiver Homom. ist.
> Das neutrale Element wird auf das neutrale Element
> abgebildet, also [mm]\overline{1} \mapsto \overline{1},[/mm] also
> kann nur [mm]\overline{0} \mapsto \overline{0}[/mm] sein.
> Folgt daraus, dass [mm]Aut(\IZ[/mm] / 2) = {id}?
>
naja [mm]\overline{0} \mapsto \overline{0}[/mm] ist vielleicht eine etwas merkwürdige Art es zu schreiben. aber im Prinzip stimmt es so. (das Element ist schlicht die Transposition der beiden Elemente und diese muss der Iso wieder auf sich selbst abbilden da du ja bereits gesagt hast das die neutralen Elemnte auf einander abgebildet werden. )
> n=3:
>
> > Sei [mm]\sigma : S_3 \to S_3[/mm] ein Automorphismus mit
> > [mm]\sigma|_{A_3} = id_{A_3}[/mm], also mit [mm]\sigma((1 2 3)) = (1 2 3)[/mm]
> > und mit [mm]\sigma((1 3 2)) = (1 3 2)[/mm]. Du kannst also
> > hoechstens noch die drei Transpositionen [mm](1 2)[/mm], [mm](1 3)[/mm] und
> > [mm](2 3)[/mm] untereinander permutieren. Ueberleg dir mal, welche
> > dieser sechs moeglichen Abbildungsvorschriften [mm]S_3 \to S_3[/mm],
> > die sich ergeben, Gruppenhomomorphismen sein koennen.
>
> Ich versteh nicht, warum [mm]\sigma((1[/mm] 2 3)) = (1 2 3) und
> [mm]\sigma((1[/mm] 3 2)) = (1 3 2) gilt. Sind es die einzigen
> 3-Zykel, die in [mm]S_{3}[/mm] existieren?
> Waraum gibt es z.B. nicht den 3-Zykel (231) oder (312)?
weil zykel zyklisch sind :)
(231) = (312) = (123) & (132) = (321) = (213)
>
> Dann soll ich schauen, wie die 3 Transpositionen
> untereinander permutieren. Ich komm da irgendwie auf mehr
> als 6 Möglichkeiten:
> [mm]\sigma((12))[/mm] = (12)
> [mm]\sigma((12))[/mm] = (13)
> [mm]\sigma((12))[/mm] = (23)
>
> [mm]\sigma((13))[/mm] = (13)
> [mm]\sigma((13))[/mm] = (12)
> [mm]\sigma((13))[/mm] = (23)
>
> [mm]\sigma((23))[/mm] = (23)
> [mm]\sigma((23))[/mm] = (13)
> [mm]\sigma((23))[/mm] = (12)
> Wo liegt mein Denkfehler? Dann ist mir das auch noch nicht
> so klar, wie ich zeigen soll, welche Gruppenhomom. sind.
> Muss ich da 2 von den 3 Transpositionen miteinander
> verknüpfen? Ich weiß nicht genau, wie ich da anfangen soll.
> Vielleicht könntest du mir da einen kleinen Tipp geben, wie
> ich da ansetzen soll. Das wäre sehr nett...
Überleg dir mal das Produkt (13) (23)
geh einfach alles durch: 1 wird auf drei abgebildet und dann auf zwei durch das zweite zykel: 1->2
3 ->1 im ersten Zykel und der zweite rührt 1 nicht an : 3-> 1
2 bleibt zwei im ersten und wird zu 3 im Zweiten: 2->3
also alles zusammen: (231) = (123)
daraus folgt auch das [mm]\sigma((123)) = \sigma((13)) \sigma( (23) ) [/mm] sein muss. Das schränkt dich deutlich ein.
Wenn du gar nicht drauf kommst:
check mal diese Tabelle mit der Automorphismengruppe von [mm] S_3 [/mm] aussieht.
fara.cs.uni-potsdam.de/~hertzi/uncontrolled/mathe06_26.pdf
>
> n [mm]\ge[/mm] 4:
>
> [mm]Kern(\Gamma_{n})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {f [mm]\in Aut(S_{n})[/mm] | [mm]\Gamma_{n}(f)}[/mm] = f
> [mm]|A_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= id } = {id}, da [mm]f(\sigma)[/mm] = [mm]\sigma \forall \sigma \in A_{n}.[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
ja
>
> Danke für deine Hilfe!!!
>
> Lg, Milka
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 13.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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