Kern einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A : R2 → R2 die lineare Abbildung mit A [mm] \pmat{ 0 & 1 } [/mm] = A [mm] \pmat{ 3 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1}
[/mm]
. Bestimmen Sie
KernA und dim(KernA).
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Liebe Matheprofis! :)
Als erstes was ist der Kern A und die dim Kern A und wie berechne ich das?
Ich hab keinen Plan von dem ganzen, weil im Skriptum einfach - wie immer - so wenig drin steht ...
aja nebenbei noch: Was ist der Rang einer Matrix bzw. bei dieser Matrize wurde der Rang schon ausgerechnet: ist der Rang = 3, weil 3 1er in der Diagonalen sind?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 39 & 0}
[/mm]
mfg + danke für jede Lösung
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Hallo Matheanfaenger!
> Sei A : R2 → R2 die lineare Abbildung mit A [mm]\pmat{ 0 & 1 }[/mm]
> = A [mm]\pmat{ 3 & 2}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1}[/mm]
> . Bestimmen Sie
> KernA und dim(KernA).
> Als erstes was ist der Kern A und die dim Kern A und wie
> berechne ich das?
> Ich hab keinen Plan von dem ganzen, weil im Skriptum
> einfach - wie immer - so wenig drin steht ...
Dann schau mal in ein Buch über Lineare Algebra!!! Das ist das erste, was man im Studium lernen sollte, dass längst nicht alles in der Vorlesung so genau besprochen wird und man sich das Verständnis selbst irgendwo her holen muss!
Der Kern besteht aus allen Vektoren, die durch die Abbildung (also hier durch die Matrix) auf Null abgebildet werden, die Dimension ist allgemein die Anzahl der Basisvektoren eines Vektorraums. Die Dimension des [mm] \IR^2 [/mm] wäre beispielsweise 2, weil z. B. die Basis [mm] \{\vektor{0\\1},\vektor{1\\0}\} [/mm] genau zwei Vektoren hat (und alle Basen ein und desselben Raumes haben genauso viele Vektoren!).
Abgesehen davon gibt es solche Aufgaben hier im Forum genug, da findest du bestimmt eine, wo wenigstens ein Teil von deinem Problem erklärt wird. 
> aja nebenbei noch: Was ist der Rang einer Matrix bzw. bei
> dieser Matrize wurde der Rang schon ausgerechnet: ist der
> Rang = 3, weil 3 1er in der Diagonalen sind?
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 39 & 0}[/mm]
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl maximal linear unabhängiger Spalten bzw. linear unabhängiger Zeilen (Zeilenrang=Spaltenrang).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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aha :P und was bedeutet das konkret in dem BSP dass der rang = 4 ist? weil keine andere Spalte die Summe der anderen ergibt? ... ajo und beim Gauß-Jordan Algorithmus dürfen nur Spalten addiert etc... werden, aber keine zeilen, stimmt das?
mfg + danke für die antwort
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Hallo,
naja der Rang einer Matrix ist immer die Anzahl der von Null verschiedenden Zeilen bzw. Spalten, wie Bastiane das ja eben schon angedeutet hat.
Du musst deine Matrix mit dem Gauß-Verfahren auf eine Zeilenstufenform bringen, das machst du, indem du geeignete Vielfache einer Zeile zu einer anderen addierst... dann bringst du die Matrix meist in eine obere Dreiecksform, d.h. dass unterhalb der Hauptdiagonalen Nullen als Einträge stehen.
Versuch das mal an einem Beispiel zu verdeutlichen. Lineare Algebra musst du anwenden.. sonst klappts nicht 
Lg, Informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 24.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Der Rang einer matrix ist die Anzahl der linear unabhaengigen Spaltenvektoren=Anzahl der lin unabhaengigen Zeilenvektoren.
Es hat nix mit der Anzahl der 1 in der Diagonalen zu tun! wenn da 4,5,6 stuende waeren ea immer noch 3 lin. unabh. spaltenvektoren.
2.Der Kern besteht aus den Vektoren, die von der Matrix auf 0 abgebildet werden also alle x mit Ax=0
in deiner Aufgabe: erst mal aus den gegebenen Gleichungen A bestimmen, dann den Rang von A, dann den Kern mit obiger Gleichung! (Rang+dimKern=dimRaum=(hier)2)
Uebrigens: normale Studis benutzen nicht nur Skripte, zu praktisch jeder vorlesung gibt es passende, meist auch vom prof empfohlene Buecher! EIN Ziel des Studiums ist, dass du mit Literatur umgehen lernst! Spaeter im Beruf gibts ja auch nicht zu jedem Problemchen nen Skript!
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ok danke für die antworten!
Mein Problem ist, dass ich morgen Mathe-Ue-Test habe und nur heute zeit gehabt hab zu lernen, denn die woche war vollgestopft mit Prüfungen und Präsentationen ... najo und zu unserer Mathe Vo ist noch kein Buch herausgekommen (Mathe für Informatiker) und da ich so und so die Mathe Vo-Prüfung später mache, benutze ich zu den Mathe Übungen nur das Skriptum :) ... normalerweise kauf ich schon Bücher zum VO Stoff
mfg
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